В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если же после толчка мгновеннаи ось хотя с течением времени изменяет свое положение в теле и в пространстве, но„тем не менее, отклонение ее от первоначальной оси все время остается очень малым, то мы называем первоначальную ось устойчивой, 270 зАкОЯ жиВых сил Рассмотрим общий случай, когда три момента инерции Уы Уа, У, для главных осей не равны между собою. Из этих трех моментов один — наибольший, другой — наименьший, а третий — средний.
Легко доказать, что как ось наибольшего момента, так и ось наименьшего момента будут устойчивы. Для доказательства мы кроме закона живых сил применим закон моментов количеств движения. Пусть первоначальное тело вращалось около первой главной оси, обладающей моментом ннерции Ум и имело угловую 1 скоРость Р . НачальнаЯ величина живой силы есть †У,лаа; начальный момент количеств движения для первой оси равен Уппм а для лвух других осей этот момент равен нулю. После толчка тело будет вращаться около некоторой мгновенной оси, не совпадающей с главной. Скорость вращения около мгновенной осн можем разложить на три скорости по главным осям; эти слагающие (они переменные) назовем р, д, г. Тогда живая сила будет равна (см. ф 116); 7'= 2 (У,Р +Уар~+У,~') .
Момент количеств движения после толчка будет иметь своими проекциями на главные оси величины (см. ф 91) У,р, Уад, .У,г. Полная же величина момента количеств лвиження р получится как равнодействующая трех проекций, т. е. будет равна: После толчка тело опять предоставлено самому себе, и внешние силы на него не действуют. Следовательно, при дальнейшем движении как живая сила его Т, так и полный момент количеств движения р, должны сохранять постоянные величины, притом зти величины должны очень мало отличаться от первоначальных значений живой силы и момента количеств движения, имевшихся до толчка, так как толчок по предположению очень невелик. Будем считать толчок бесконечно малым1 тогда, обозначая через а и р бесконечно малые величины, получим: 1) условие постоянства живой силы У1Рг+У да+Уаг'=УгР~о+а; (89) УстойЧВВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 271 2) условие постоянства момента количеств движения (У,р)а+ (У,д)а+ (У, )е = (У1ра)е+ 8.
(9О) Исключим из этих УРавненнй Р и РЕ1 дла этого (89) нУжно умножить на У, и затем вычесть (90) из (89). Получим: "га("гг "га) Ч + "га(Т1 га) г ="ггп аг=я' аг, (91) где (а' — 'р) — бесконечно малая величина До сих пор мы не говорили ничего о сравнительной величине моментов инеРции Ты Ум Уа. ТепеРь пРедположим, что У, — наибольший из них; следовательно, первоначально вращение происходило около оси наибольшего момента инерции.
Тогда У, — Зе > О, У, — 1, ) О; следовательно, оба члена левой части уравнения (91) положительные, а так как сумма их должна быть бесконечно мала, то н каждый из членов должен быть бесконечно мал. Отсюда следует, что д и г должны быть бесконечно малы. Итак, во все время движения по инерции после толчка скорости д н г бесконечно малы; а так как вращение после толчка состоит из трех слагающих р, д, г, то, очевидно, направление мгновенной оси вращения в теле будет бесконечно мало отличаться от первой главной оси, имеющей моментом инерции ум т. е. от первоначальной осн вращения.
Нетрудно доказать, что и в пространстве направление мгновенной оси будет все время очень близко к первоначальному направлению оси вращения. Для этого рассмотрим направление вектора моментов количеств движения. До толчка этот вектор совпадал с первоначальным направлением той главной оси тела, около которой происходило вращение.
Толчок мог изменить направление вектора моментов количеств движения в пространстве лишь бесконечно мало. После толчка внешние силы не действуют, следовательно, положение указанного вектора неизменно. Но он получается как равнодействующий нз трех моментов по главным осям у,р, уед, .Тег, следовательно, направление равнодействующей этих трех векторов может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения, а так как Ттд н Уаг †величины бесконечно малые, то направление скорости р, а следовательно, и мгновенной оси, может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения.
272 зАкОн живых сил Таким образоч приходим к заключению, что в движении, происходящем после толчка, мгновенная ось вращения и в теле н в пространстве будет лишь бесконечно мало отклоняться от первоначальной оси вращения. Следоватмльно, зта ось, т. е. ось наибольшего момента инерции, устойчива. Возьмем теперь случай, когда первоначально вращение происходило около оси наименьшего момента инерции. В зтом случае имеем: У, (Уз(У„следовательно, з уравнении (9!) члены Уз(У,— Уз) ф, Уа(У,— У ) гг обз отрицательные.
Л так как их сумма равна бесконечно малой величине а' — р, то каждый из этих двух членов должен быть бесконечно мал," отсюда следует, что д и г бесконечно малы. Одним словом, мы можем буквально повторить все предыдущие рассуждения и убедимся, что ось наименьшего момента инерции также устойчива, Но, если первоначальное вращение происходит около главной осн, имеющей такой момент У„что У, с У, < Ум то в уравнении (91) член Уа(У, — Уа) г' положительный, а другой член Уа (У, — Уз) ф — отрицательный. Позтому здесь мы не можем сделать заключения, что и и г бесконечно малы. Следовательно, здесь неприменимы и все последующие рзссуждения, с помощью которых мы доказывали, что оси наибольшего и наименьшего момента инерции устойчивы.
Для оси, имеющей средний момент инерции, необходим отдельныЛ, особый разбор вопроса. Мы его не будеч делать, а укажем только на результат: оказывается, что зта ось н е у с т о й ч и в а я. В случае тела враихенпя дза глазных момента инерции равны мекду собою; напризер, У,=УА. Третий глазный момент инерции, а именно, чоиент инерции тела для осн его фигуры, илн больше остальных дзух, или меньше пх обоих, т. е.
Он нли наиболыпий, или наиченьший, Предыдущие рассуждения показывают, что ось фигуры будет всегда устойчива. Можно было бы доказать, что остальные главные оси неустойчивы. 121. Теорема Даниила Бернулли. Прилагая закон живых спл к устаиозившемуся движению жидкости, получим теоречу Д. Бернулли.
Это †основн, главная теорема гидродинамикн, имеющая многочисленные прило кения при изучении течения воды в реках, каналах, трубах„ при исследовании действия воды в водяных двигателях и т. д До недавнего времени теоремА ЛАнинлА БЬРнулли 213 эта теорема была почти елинственным теоретическим результатом, которым пользовались в гидравлических приложениях. Не доказывая эту теорему в общем виде, ограничимся той частной формой ее, которая имеет значение в гидравлике. Укажем точные условия, прп которых имеет место последующий вывод. Мы рассматриваем жидкость идеальную, т.
е., во-первых, несжнмаелгую, а во-вторых, не прелставляющую никакого сопротивления таким изменениям формы, которые не сопровождаются измененнем объема; следовательно, это— жидкость, совершенно лишенная вязкости. Задание таких свойств жидкости приводит к тому, что работа внутренних сил ее равна нулю. Мы также допустим отсуествне трения между жидкостью и стенками сосуда илн трубы, в которых течет жидкость. Мы рассматриваем движение вполне ус|ановившееся, т. е. в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, явления не изменяются с течением времени; направление п величина скорости в этой точке, величина внутреннего давления у этой точки остаются постоянными во все время движения.
разбираем движение тяхселой жидкости в сосуле любой формы АВВС (фиг. 165) между сечениями АВ и СВ и предполагаем выполненными следующие условия 1) допускаем движение правильными струями; 2) давление по всему сечению АВ одно и то же (р,), и все частицы, проходящие через АВ, имея>т одну и ту же скорость ((г,), направленную нормально к АВ; 3) те же условия выполнены и в сечении СВ; злесь давление р„ скорость (ге. В ~ечение бесконечно малого времени гег' частицы, которые были расположены в сечении АВ, пройдуг пуеь ~',еее п придут в А'В', Частицы, находившиеся в сечении СО, пройдут путь $'аеее и займуг полоекенпе С'й'.
Применим закон живых снл к этому движению массы жидкости АСС, нерелвннувшейся в А'В'О'С' Начальная хгнвая сила нашей системы состоит из двух частей. живой силы жидкости АВВ'А' н живой силы жидкости А'В'ОС, Окончательная живая сила тоже может быть рассматриваема как совокупность двух частеи: живой силы жидкости А'В'ВС н живой силы жидкости СВЕ>'С'. Мы видим, что нсивая сила объема А'В'еуС входит как в выражение начальной живой силы, так и в выражение окончательной 18 в. л. Кврввчев 274 закон живых сил живой силы; притом в обоих выражениях живая сила э~ого объема одна и та же, потому что движение жидкости установившееся, т.
е. скорость жидкости в любой точке К этого объема одинакова как для начального момента времена, так и для окончательного. При нахождении живой силы, приобретенной за время гВ, мы должны вычесть начальную живую силу из окончательной; при этом сократится живая сила объема А'В'ЮС, и останется только разность живых сил объемов СОВ'С' и АВВ'А'. Фиг. 1б5. Эти объемы равны между собою, так как жидкость несжимаемая. Если назовем буквою (~ объем жидкости, протекающей через каждое сечение в единицу времени, то указанные объемы будут равны ~)Ж. Вес единицы объема жидкости назовем через т, тогда масса жидкости, протекающей за время Ф, будет равна ЯЖ вЂ ; наконец, искомая приобретенная живая сила выра- Т .
К зится разностью: Перейдем к работе дейс1вующих сил. Мы уже видели, что работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю. Также обращается в нуль работа давлений д, производимых на жидкость стенками сосуда или трубы, в которой она течет; эти давления всегда перпендикулярны к пути, проходимому частицами, движущимися по стенкам, если движение теоРЕИА ДАниилА БеРнулли происходит правильной струей", следовательно, сила н перемещение взаимно перпендикулярны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
