В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Зно представляет собою обобщение первого закона Кеплера. Такой резулщат получится, если момент внешних сил для избранной нами оси равен нулю, например если внешние силы пересекают зту ось или ей параллельны. Мы говорим внешние силы, потому чзо внутренние силы не входят в наши уравнения и ие оказывают никакого влияния на величину площади, описываемой системой. С Величина —,— представляет площадь, описываемую спсте- 2 мой в единицу времени.
Она сохраняет одну п ту же величину во все время движения. 1Об. Закон сохранения площадей. Если внешних сил вовсе нет, то момент ит для любой из координатных осей равен нулю. Тогда для каждой координатной плоскости получим закон сохранения площадей, т. е. описываечые площади будут пропорциональны времени. Такой результат получится для и з о л и р о в а н н о й системы, в которой действуют только внутренние силы, т, е, которая устранена от всяких внешних влияний. 106. Неизменная плоскость. Закон сохранения площадей по своему содержанию тождествен с законом сохранения моментов количеств движении.
В самом деле, 1ак как имеем зависимость нй ве то из последнего уравнения й 104 получаем: р=с, т. е, удвоенная, описываемая в единицу времени, площадь есть момент количеств лвижеиия, взятый для осн, перпендикулярной к той плоскости, на которой рассматриваем проекцию движения. Если система изолированная, то для всех трех координатных осей получаем постоянство момента количеств движения; отсюда следует, что и равнодействующий, или полный момент количеств движения имеет постоянную величину и постоянное направление.
10 в. л, нирпнчее 242 закон площлдвй Плоскость, к нему перпендикулярная, называется н е и зи е н и о й »лоскость>о, так как она остается одна и та >ке во все время движения, Рассл>атривая площади, описываемые на этой плоскости, конечно, получим, так же как и для всякой другой плоскости, что эти площади пропорциональны времени; величина площади для единицы времени равна половине равнодействующего момента. А так как (при разложении на три взаимно перпендикулярных направления) равнодействующая больше всякой из своих составля>ощих, то величина площади, описываемой в единицу времени на неизменной плоскости, больше чем на всякой другой плоскости.
107. Астрономические приложения закона сохранения площадей. Неизменная плоскость нашей планетной системы. Плоскости орбит Земли и других планет изменяют свое положение в пространстве вследствие взаимных возмущающих действий; ни одна из них не может считаться неподвижной и пе может служить для отсчитывания от нее перемещений. Но планетная система, если пренебречь влиянием на нее звезд, есть система изолированная, следовательно, в ней есть неизменная плоскость, которая сохраняет свое положение, и к ней должны быть относимы все разнообразные движения планетной системы. Положение неизменной плоскости определяется тем условием, что она перпендикулярна к оси моментов количеств движения; следовательно, зная массы планет и их скорости, можем определ>нь положение неизменной плоскости нашего мира. Такое определение было сделано Лапласом приблизительно.
Так как орбиты всех больших планет мало уклониются от орбиты Земли, >о неизменная плоскость почти совпадает с земной орбитой; угол между ними составляет около 1о,7698, а долгота восходящего узла — 114е,3979. Эти числа относятся к 1750 г.) они изменяются с течением времени, так как орбита Земли переменяется от возмущений; но изменение их очень л>едлеиное и едва заметное даже за период в 100 лет. 108. Дальнейшее приложение закона площадей к изучению движения солнечной системы. Эллиптическое движение планет есть первое приближение, получающееся ири предположении, что на планету действует только притяжение длльнайшкв пгиложвния закона площадяй 243 Солнца.
Так как, кроме Солнца, планету притягивают и все прочие тела нашей спсгемы, то получается движение, отличающееся от эллппышеского и гораздо более сложное, Но во всяком случае действие Солнца есть преобладающая сила, приложенная к планете. Она значительно больше возмущающих спл, т. е. притяакений других планет. Поэтому отступления от правильного эллиптического движения хотя замечаются при точных наблюдениях, но онн очень невелики.
Это позволяет применить для получения второго приближенна следующий прием. Будем считать, что все-таки планета движется по эллипсу, но что этот эллипс медленно и постепенно измепястся. Мы считаем, что изменяются все элементы эллипса: его большая полуось (а), эксцентрнснтет (а), угол наклона орбиты к неизменной плоскости (р), время обращенпя (Т) и т. д,; все это — не постоянныс величины, а функции временц.
Другнмп словами, мы вводим понятие о мгповени о и эллипсе, беспрестанно изменяющемся. Найдя первое приближение, — т. е. кеплерово эллиптическое движение,— и определив для этого эллипса те постоянные величины, которые его характеризуют (а, е, р и т. д.), мызатем изменяем э~п постоянные, предполагаем их функциями времени.
Вот— сущность метода изменения постоянных, применяемого прп изучении планетных возмущений, Конечно, тот же метод мозкет быть применен и для других задач динамика; это — общий динамический метод. Нелишне заметить, что элементы планетных орбит изменяются очень медленно; найдя величины этих элементов для какого-нибудь мгновения, мы можем применять эти величины без изменения в течение многих лет для нахождения положения планеты и не получим прп этом большой ошибки. Принимая теперь, что двизкенпе по мгновенному эллипсу есть точная картина явлсния, применим ко всей планетной системе закон сохранения площадей.
Но для ускорения вывода введем еще два упрощающих допущения: а) Будем считать Солнце неподвижныя н стоящим в фокусе того эллипса, который описывает планета. Правильнее было бы рассматривать, что и Солнце и планета движутся по эллипсам около общего ях центра тяжести, но так как масса Солнца гораздо больше массы планеты, то движением Солнца можно пренебречь. 16* 244 закон плопЮдей пег )г 1 ег. Ь) проекция ее па неизменную плоскость, умноженная на массу, будет: ги и а' г 1 — ка соа р1 с) площадь, описанная в единицу времени: и к аз 1' 1 — ее созе Т Так как эллипс беспрестанно нзменяется, то последнее выражение мы можем применять только для бесконечно малого времени Ф и для него змеем описанную площадгн икаа г' à — е'еоатж (7О) Т Теперь вспомним третий кеплеров закон: квадраты времен обращений пропорциональны кубам средних расстоящ1й, т.
е,, обозначая постоянную величину буквою г, имеем '): Тг — =с дД ) (71) или Т=3~ сна. г) Строго говоря, имеем: Та (М+ и) — „= сопз1., а" где М вЂ” масса Солнцев гл — масса планеты. Но, таккакотиошениеи к М очень мало, то можно писать уравнеяие (71) и считать с одинаковым для всех планет. б) Пренебрежем движением всех спутников, а массы их присоединим к массе планеты. За координатные плоскости примем неизменную плоскость и две плоскости, к ней перпендикулярные, и выразнм сначала закон сохранения площадей для неизменной плоскости. Называя массу планеты через и, а элементы ее мгновенного эллипса через а, е, р, Т, получим: а) площадь этого эллипса равна: длльнийшяв пгиложвнив закона площлдий 245 Вставляя это в (70), получим площадь, описанную одной планетой: югУа У1 — еа соя 'т г(г. Уа Сложим закие выражения для всех планет. Общая сумма должна по закону сохранении плоьцадей выражаться некоторой постоянной величиной, умноженной на время Ж.
Сложеиие обозначим знаком ~; постоиипые к' с, и можем отбросить; тогда получим: ~(т )' а 'и' 1 — еа соз р) = сопз1. (72) Вот какой результат даст нам закон сохранения площадей. Ои устанавливает некоторую зависимость между измеияющи»ися величинами полуосей, эксцентриситетов и наклонов орби~ всех планет. Эти элементы не могут изменяться так, что происходит увеличение всех величин а, 1 — еа, сову. Некоторые пз иих могут увеличиваться, ио другие при этом должны уменьшаться, так чтобы сумма (72) оставалась равна некоторой постоянной величине.
Эта постоянная представляет собою как бы некоторый н е и з м е и н ы й ф о и д, отпущенный иа все планеты и распределяемый между ними, Такая неизменность уже отчасти предсказывает устойчивость планетной системы. Г!одобиые же результаты мы получим, применяя закон сох1ыиепия плоиьтдей к двум другим координатным плоскосзям, Обратимся к фиг. 151; на ней плоскости координат и плоскость орбигы изображены помощью нх пересечений с поверхностью шара, цснтр которого 8 есть Солнце; лбу есть неизменная плоскость; ось г перпендикулярна к ней; КХМ представляет часть орби гы планеты. Точку М (пересечение па паню» шаре плоскости орбиты с неизменной плоскостью) назовем восходящим узлом; угол МБу есть долгота восходи- щего узла; его назовем и, К и М означают точки пересечения на нашем шаре плоскости орбиты с коордииагнымн плоскостями хну, хну.
Угол и сферического треугольника оГКР есть угол между орбитой и координатной плоскостью гну, Угол лг сферического треугольника ИМТ есть угол орбиты с координатной плоскостью хая, закон площлдгй 246 Уравнение площадей для координатной плоскости хну будет отличаться от (~2) только теч, что вместо угла р нувио поставить угол л, а для координатной плоскости хол— угол т.
Для определении углов и н т проведем перпендикуляр И. к плоскости орбиты КУМ. Он составит с осями х, у, г углы А, гл, р. Плоскость, проходящая через ось Яг и зтот перпендикуляр, пересечет плоскость хну по врямой ЗН, пер- Ф Фиг. 151. пенднкулярной к линии узлов ЯМ. Построим координатную ломаную 50НЛ. Тогда, проектируя И на прямую 8х, получим, с одной стороны, 80 = 8( ° соз 1с, а с другой, 80=ОН соли=Я. юпр.сова. Отсюда сов й=з!яр сова. Точно так же 0Н=И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
