В.Л. Кирпичёв - Беседы о механике (1950) (1124000), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Притяжение этого лунного кольца ЕЕ (фиг. 14б) на дополнительное кольцо КК Земли дзет пару спл >,>, >>; ось ее лежит в плоскости орбиты Луны и перпендикулярна к оси фигуры Земли. Положение осп пары можно определить еще следующим образом: назовем перпендпкуляр ТМ к плоскости лунной орбиты осью этой орбиты. Осью пары Ц, г,>булет лпн>щ, перпен) баь лары днкУлЯРнаЯ к осп Земли и к оси л>'иной орбиты. Фиг. ! >6. Теперь, рассматривая проис- ходящук> прецессии>, мы видим, что ось указанной пары вполне соответствует скорости пол>оса а и, следовательно, прецессия получает свое есгественпое объяснение. Подобно Луне действует и Солнце.
Н у т а ц и я, >йы считали в виде первого приближении, что плоскость лунной ирбиты совпадает с плоскостью эклиптики. Теперь введем поправку; эти две плоскости наклонены между собой под углом около бв и пересека>отса по некоторой линии, называемой ливией узлов (У>»' на фиг. 147). Наклон лунной орбиты мало изменяется с течением временв, к можно не обращать внимания на это изменение. Но гораздо астгономпчаская пгвцвссня н нгтация 235 существеннее изменение линии узлов.
Она постепенно перемещается, вра~цаясь около центра Земли Т, и делает полный оборот в 18')а лет (приблизительно). Чожао описать это явление, сказав, по перпендикуляр к лунной орбите ТМ описывает конус около осп эклиптнки ТЯ, употребляя на полный оборот 18''а лет'). Фвг. 147. 'гто мы видели, что ось пары, которая производит прецесспю, перпендикулярна к лиипп ТМ и к оси Земли. Следонательно, эта ось пары получает периодическое изменение своего положения с периодом в 18'( лет. Такое изменение осп пары должно отозваться, по теореме Резали, на движении полюса, которое принуждено согласоваться с изменениями оси внешней пары. Поэтому полюс должен описывать не правильный круг, а волнистую линию г) Такое движение узлов лунной орбиты вызывается жжмущаЮ- щим действием Солнца на движение Луны.
236 пгиложвния закона момвнтон количеств движиния с периодом волн в 18г)' дет. Соответственно этим волнам земная ось в своем коническом двпакеняи получает колебания по 9 секунд в ту и другую сторону, то приближаясь к оси конуса, то удадяясь от него. Это явление называется нутацией; оно было открыто из наблкгдеппй Бредлеем в 17чУ г. Для нас это явление представляет интересный пример приложения теоремы Резали ').
г) Подробнее о прецессии земной осн см. в книге: Розе г1. В., Динамика твердого тела. Ленинград, 1932, (Приль рад.) ДВЕ11АДЧАТАЯ БЕСЕДА ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ 104. Вывод закона площадей. Закон моментов количеств движения, служивший предметам двух предыдущих бесед, может быть представлен в другой форме, которая иногда очень удобна для описания некоторых механических явлений. Зта новая форма прежнего закона есть закон площадей. С понятном о п л о щ а д и, описываемой движущимся телом, мы встрстились в первый раз в механике материальной точки, разбирая движение планет вокруг Солнца. По пер- рФ (~ Фиг.
148. Фиг. 149. вому закону Кеплера площадь рор' (фиг. 148), описываемая радпусом-зсктором ро', илущим от планеты р к Солнцу о, изменяется пропорпионально времени. Такое движение планеты примем зз тпп и посмотрим, нзсколько можно подойти к этому типу в общем случае двнжения. Для этого нужно прежде всего обобщить понятие о площади, описьиаемой движущимся телом. Если имеем плоское движенпс материальной точки (фиг. 149) от М к М', то, выбрав в той жс плоскости и р о и з в о л ь н у ю точку О, можем говорить о площади, описываемой точкой М около О, т.
е. о секторе МОМ'. Если у нас несколько материальных точек, 238 закон площлднй то нужно принять во внимание их массы, Условимся для каждой из них брать произведение сектора МОМ' на массу точки гл и за произведениеи этим сохраним название площ а ди, описываемой точкой около центра О. Если движение точки не плоское, то мы можем проектировать его на три координатные плоскости и рассматривать движение каждой проекции отдельно как плоское. Рассматривая, например, плоскость ху, будсм говорить о площади, описываемой около начала координат О. Точнее, будем говорить, что эта площаль описывается около оси Ог, псрпендикулярной к плоскости ху.
Возьмем одну из таких проекций (фиг. 150). Начальное положение материальной точка есть М'(левая тачка фигуры); она движется по М'ММ", и мы рассматриваем площадь, описываемую около точки О. Положим, М что по прошествии времени г точка l массы гл приходит в М; тогда по нашему определенгно площадью, описанной за это время, будет произведение нз массы ьч на пло- 0 шаль сектора М'ОМ; это произвеФнг. !50. денис обозначим буквою ы. Затем предполоягим бесконечно малое приращение времени дг; наша точка пройдет бесконечно малый путь ММ" (М" есть правая точка фигуры); описываемая ею площадь получит бесконечно малое приращение Ьм, которое представляется произведением из гл на площадь МОМ". Припомним следующее рассмотрение бесконсчно малого перемещения, часто лрименяемос в кинематике при изучении ускорений.
Движение ММ" рассматривается как составное из двух. Первое составляющее движение есть равномерное, идущее по касательной, с той скоростью Г, которую дзвжущаяся масса гл имела в точке М; в этом движении за врсмя Ьг проходится путь, равный 1~ Ы, нзображенный на чертеже отрезком ММ. Второе составляющее движение (сга называем девиацией) есть Д(М"; с точностью до величин второго порядка это движение можно считать равноускоренным, с начальной скоростью, равной нулю, н с ускорением, равным 239 вывод закона площлдгй ускоРению А нашей массы гл в точке Л; путь !у!М", пройден- 1 ный в течение времени д1, будет равен —,—. !г.у!я ').
Рассматривая нашу фигуру, видим, что площадь М!чМ" есть велнчпна порядка выше первого, так аак все трп стороны се бесконечно малы. Также и площадь О!тЛ" — величина порядка выше первого, потому что сторона г!у)!" — зтоРого порялка. Поэтому, ограничиваясь величинами первого порядка, мы можем считать равнымп мшклу собою лве площалн: 1) сектор ОММ" и 2] треугольник ОМуч', и вместо сектора можно взять этот треугольник. Площадь его будет равна: — Ъ~!Ь! (! — перпенликуляр из О иа касательную МК). Улшожая пло- щадь на массу т, получим по нашему опредслсншо. им= —, гн1'!.М.
1 Но произведение шр'! есть момент колпчсстяа движения относительно осп, проведснной через О перпендикулярно к плоскости чертеака. Называя его буквою р, получаем: Ью=- Р.М. 1 2 Делим на й! и переходим к пределу, т. е. постепенна приближаем б! к нулю. ум Ли Пределом дроби — будет производная †, следовательхг ле ' но, имеем. Ли ! 19 8) т, е. производная от описанной площади по времени равна половине момента количества дни!кения.
г) Этот способ рассмотрения сводится'к тому, что считают усни рение постоянныч на протяжении пути ММ". '!'огда здесь можно применить законы движения пол действием постоянной силы, т. е. законы параболического движения. 240 закон площлдвй Если имеем не одну движущуюся точку, а совокупность их — систему,— то для каждой точки можно написать уравнение, аналогичное (68), Складывая их, получим в левой части производную от полной площади, описанной всеми точками системы, а в правой части — половину момента количеств движения всей системы.
Следовательно, между описанной площадью и моментом количеств движения системы существует такая же зависимость, как имеющая место для одной материальной точки. Обратимся теперь к общим уравнениям (65)(стр. 201), изображающим закон момен~он количеств движения, и введем в них описанные площади взамен моментов количеств двихсенин. Называя площади, описанные системою на плоскостях координат гОу, иОх, хОу, через Й Р мы получим эти уравнения в такой форме: Здесь Я„М М,— моменты внешних сил для осей кох, тч ординат, Уравнейия (69) выражают прежний закон, но в другой форме; теперь вместо рассмотрения моментов количеств движения мы рассматриваем площади, которые описывают точки системы. Эту форму назовем законом площадей.
Оиа особенно удобна в тех случаях, когда момент внешних сил для какой-нибудь нз осей равен нулю, Тогда получим соответствующее уравнение которое интегрируется и дает: 22 = Сг+ С'. Здесь С и С' — две постоянные ингегрпрованпя. Вторая из них всегда может быть сделана равной нулю. Действительно, она изображает величину площади, уже описанной до начального момента времени. !.1о мы всегда можем условиться считать описанную площадь, начиная с того положения системы, когда г равно нулю; это равносильно положению: С'=О. 241 неизменнАя плоскость Тогда имеем: Я— т. е. описанные площади пропорциональны в ре м е и а и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
