Рейнольдс О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия (1123886), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Обозначая, палее, посредством р„ и т. и. средние значения напряжении в объеме 8„ ьсы положим: /с, = /с, —,Р,, и т. д. с 14) дд ( д — = — — — ( — (р„, — рви — '- и и )-- сСС ( д.г + — (/7„— уссс' ' д )+ (1б) д, — — (р., + дп д —; и св ) ' и т. д. Этсс уравнения приближенно справедливы. поскостьку верны и уравнения (1) для молярного движения.
Вычитая почленно эти уравнения из уравнения полярного движения, чы получим: ! — (р', — 'р(пп' — 'и и)+,' (сс'сс' -.— и л')1 —— дл д + — — (/с' + (лп'- — сс'и) — '; (сс'и' — ссгсс')1— ! дсс д + -- (/с'.„—,; « -'" -- '=-) — '; ( '=' — «-' 'д)) дсс' (16) и т, Это есть уравнение для количеств движения относительного полярного движения в каждой сочке. Умножая последовательно уравнения среднего ьголярного движения на и, и, сг, складывая и полагая 2Е= р(ссе+ дэ-з- ьтэ), мы получим; Определим обьеч л, сакпзс образом, чсобы вяриании скоростей и, и, пс от точки к сочке этого объема мотли бысь приближенно приняты постоянными и обозначим чере~ и'и' и т.
д. средние значения квадратов, и произведений скоростей огносител ного мотярного движения. Уравнения среднегсс полярного движения будут слелующссе: Дгснаьсичаскля |еогия движения несжимаемой вязкой жидкости йбб ( —-- с' — д — д — д х— — -ги — +о — +ю — )Е= дг ' сСг ду дх,с [и(Р„.+;]р сг)] — '- —.
[и(Р„, + си 'с')1+ д„[с (Рс;, аи и )] + [г (Р „, + а с 'сс )1 + — [о(р„„+ во сс )] — „— ]о (Рс; -Ь аи и' И [и (Р,. — ' аиии')1 — ' — [и~ (Рт. + Зю'сг)] + — „[и' (Р-. ~ ав' и )1 1 ! д О.с' дх дх .ди —,д~~ —,, ои и'и' — — — ' и'и' — —, и'ни.— -' + " ~ т с "сс' — —; о'о' — + с 'и' — -~ срс до дх дс, — дсу -- ди слс ' " дс' ' -' дх .од,. ди +Рс: —. +Р = д.г до — ио дт -' д= дис, - ди до ' -' дх Это есть приближенное уравнение для энергии среднего асолярногс1 движения в том же смысле, в каком является приближенным уравнение (3) молярного движения, Аналогично, умножая последовательно на и', о', ир уравнения (16') и складывая, мы получили бы уравнение энергии относительного полярного движения для кажлой точки.
Однако, мы получнлп бы таким способом ряд членов, среднее значение которых для обьема Я, равно нулю. Поскольлу все такие члены в уравнении превращения энергии молярного движения в теплоту исключаются при суммировании по обвему 5е, то не имеет смысла вводить подобные члены лля обьема Я,. Поэтому, отбрасывая такие члены, мы получим, полагая 2Е' =- у (сра - — тле — ' с же), СЛЕдУЮШСс' Урави Ение". ,'д — д — д, — дт —, ' — +и — -ь с — —,' и — [Ес = дс д.с ' дх ' сГх) (18) д д . !и 'Р .. — аи " )1 .г — [сс (Р, + аи с' )1 —, —. [сс (Р:, + асс со )! -г ! + — ]ои (р'с, + Эи ссс')1 —; — — [и ' (Р',„+ зсо'о')] + — ]ик (Р'х, аю'ос)] ии', дсс' ди' Р ° .+Ря, .Р:х ..+ ! ов",, диг, дв' дх ' -"' ду ' ' дх ! В правой части равенства сохранены --,—, ди —,, ди, —,—, ди '""'дх " 'д) '" 'дх < дл ' ' ду ' д= только средние значения для об.ьема Яи О.
Рейнольдс Таково выражение для скорости язменения средней для объема Ь, энергии относительного молярного движения. Можно замети~ь, что скорость изменения энергии среднего полярного движения н средней энергии относительного молярного движения дают в сумме скорость изменения полной энергии молярного лвнжения. Складывая выражения (17) н (19), мы получаеч для энергии молярного движения то же уравнение, которое выводится из уравнения (3), если взять средине значения для обьема Ь',. Выражения для превращения энергии среднего молярного движения в энергию относительного молярного движения.
ф 16, Г!ри сложении выражений (17) и (19) единственными членами, которые не войдут в уравнение для средней энергии полярного движения, будут последние члены з правой части обоих уравнений, которые равны, но обратны по знаку. Эти члены не представляют собою никакого изменения полной энергии всего молярного двлжения в целом и могут выражать только превращение энергии среднего движения в энергию относительного движения. А так как онп являются единственными з выражениями.
которые из уравнений (17) и (19) не входят в общее выражение скорости изменения среднеИ энергии полярного движения, то из этого следует, что онн выражают собою полный обмен энергии между средним и относительным молярными движениями. Можно вилеть, кроме того, что действие, выражаемое этими членами, имеет чисто кпнематический характер, так как оно завлснт исключительно от мгновенного распределения скоростей средних и относительных, каковы бы нн были свойства мазерии нли механические причины, обусловливающие это распределение скоростей. Эти члены выражают собою, таким образом, переход энергии из среднего лвиження в относительное и не выражают собою ничего другого.
Иаличне этих членов полностью подтверждает сделанное выше первое заключение в 9 14. Предпоследний шен в правой части уравнения (17) для энергии среднего лвпження выражает собою скорость превращения энергии теплового движении в энергию срелнего молярного движения н совершенно не зависит от относительного движения. Точно так же предпослелний член правой части уравнения (19) для энергии относительного молярного движения является выражением скорости перехода энергии теплового движения в энергию относительного малярного движения и совершенно пе зависит от среднего движения.
$17. В обоих уравнениях (17) и (19) первые члены правой части выражают скорости увеличения энергии соответственно среднего илн относительного движения благодаря работе напряжений и благодаря переносу относительным движением количества движения. Отметим, что в то время как первый член правой части уравнения (19) для энергии относительного движения не зависит от скоростей среднего движения, соответствующий член в уравнении (171 лля среднего движения зависит от относительных скоростей.
динами~век,о»ро~ы~ движения нгсжнчл>ы>ой вязкой жидкое>и 207 Решающее уравнение. У,У и/д,— д — д — д', ,— иг и- — + и — +и> — ! Е'Ыхйудз= ,/ ' д> ' дл ду да«> — ди —,—, ди, —,, ди ои'иэ — + ри'и' + яи'ы' — ди —;, до, —; —, ди = - /' ~' ~ !+,.~ э — + р~" — + Р~ ~ — -+ ! длду~с-- ! ди', ди', ди' >и ! ~ Ил ь) дг. (20) ди> ди' Р«я дл+Рух дг дв>' ~ +1>'..— +1>'ч«д, +Р:«да Это уравнение выражает собою следующие основные соотношения: 1) Единственное полное интегральное влияние, оказываемое на относительное полярное два>кение со стороны среднего молярного движения, выражается в виде полной интегральной скорости превращения энергии среднего движения в энергию относительного.
2) За исключением того случая, когда энергия движения изменнется действием сил или переносом через поверхнрсть объема интегрирования, полная энергия относительного моляриого движения будет увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, больше или меньше полное количество энергии, поступающей в этот объем от среднего движения, чем та энергия относительного молярного движения, которая пРевРашается в тепловую энергию. % 19.
Подставим для напряжений р'„„ р', и т. д. их выражения, "Ределяемые теорией вязкости, приближенная верность которой уже Установлена. ч 18. Интегрируя уравнения по объему, имеющему скоросги сре>снего молярного движения жидкости, мы можем выразить интегрзлы первых членов правой части равенств в виде поверхностных интегралов. Эти интегралы представляют скорость работы, произведенной напра жениями, действующими на поверхности, а также скорость поступающей через поверхность энергии при среднеи движении или прн относительном. Если область и>жегрирования обнимает собою всю систему илн такую часть ее, что полная энергия, приносимая относительным движением через поверхность, равна нулю, то в таком случае скорость изменения полной энергии относительного движения представится в виде разности полного количества энергии, полученной от среднего молярного движения и полного количества энергии, превращающейся в теплоту. Таки>д образом, интегрируя уравнение (19), мы получаем: О.
Рейнольдс Г!олагая таким образом ' дл' , дг' дк" дл' ) » ' 3 ' дх ' ду дг ' дх (21) ,' дл' дг' ', ', ду дл'; и полставляя в последний член уравнения (20), прелставляюшего перехоа энергии относительного движения в теплоту, мы получим: ~~/ д тди' дп', дв"; Г 2 уди' дг', дю';,э 'дт ' дг дх) ' ~ й(дл дг ' д Р есть функции олной температуры. Принимая плотность й постоянной.
имеем: — У / ~ (РН)гГхгГуд== = -" 1 / 62 ['"-.-"='"'+'%1Я ' — ""'1+ /дии итиля лгэл' дгг'лэ сдлк ды'ля -! ( + ! +( — + —.! + !" — + — ) ) гГхаугГс. (231 (,ду дт~ ' ~да дх! лдт дг) — дл -т-; дп —... дд ! дх дг дх ~г и — --. + а т — -!- гг'ии — + ,.~ у1 — дп —,—, дг, —; — —, дг дх дг дх —; дю —,—, дю, --,--, дм +п~ и — — — +та т' — -гта ж' дл дг д= Гдш' Ил' ' я / Ы, д'ю'' я / дгл ди' Лэ! дг дал' ' (,д дл т ~,цг д) 1 1 ! 1а.
Ф~а— ! ! рхдд ~Ух=О, (24) Таково решающее уравнение, дающее условия, прп которых может полдерживаться относительное полярное цвижение. % 20. Напвсанное уравнение одноролно относительно скоростей относительного молярного движения, и ясно, что условие, которое им выражено, не зависит от энергии относительного движения, деленной па;.
Если отношение — ' постоянно, то это условие зависит только от производных средних скоростей, распределения по величине и на- Если энергия относительного молярного движения сохраняется на одном уровне, то, подставляя полученное значение в уравнение !20), эпя полгчпм: Динлмичаскля таогия движания нвсжимаамой вязкой жидкосгп 209 правлению скоростей относительного полярного движения и, наконец, от квздратов и произведений периодов относительного молярного движения, Второй член уравнения, представляющий скорость превращения теплоты в энергию относительного молярного лвижения, всегда остается отрицательныч. !1оэтому, каково бы ни было распределение по величине и направлению относительных скоростей и какова бы ни была изменчивость в пространстве средних молярных скоростей, это уравнение дает низший предел возможной скорости изменения в пространстве.
средних полярных скоростей в зависимости от возможных предельных значений периодов относительного молярного движения, при которых и возможно сохранение этого движения, и затем от количества -'--. До тех пор пока предельные значения периодов относительного малярного движении конечны, низший предел скорости изменения в пространстве средних молярных скоростей не будет равен нулю. Таким образом подтверждается и второе заключение й 14; а вместе с тем и весь ход предыдущего рассуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
