Рейнольдс О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия (1123886), страница 10
Текст из файла (страница 10)
! ьо ! 2) Уравнению непрерывности: дп', до' да~' — + — + — =О. дх ду да 3) Пограничным условиям, которые на основании уравнения непрерывности приводят к равенствам: ди' де' дги' и =а =ш = — = — = — =О при у= д. (51) 4) Условиям, налагаемым сииметричностью среднего движения: У~, '' Г д —,, д ~ — (и'и') + — (и'ш') сГз = 2г /(уа). — с Условия (1) — (4) должны быть удовлетворены для того, чтобы скорость и была симметрична при произвольных скоростях и', и', ти', налагакщихся на то среднее движение, которое вытекает из особого решения.
5) Если молярное движение также должно оставаться установившимся, то скорости и', и', тв' должны удовлетворять еще дополнительным кинематическим условиям, которые получаются исключением р из уравнений (38) среднего молярного движения и исключением р' из уравнений (16) относительного молярного движения. Условия (1) — (4) определяют низший предел для критерия. 9 32. фактическое определение условий (5) невозможно. Однако при соблюдении этих условий скорости и', с' а' должны удовлетворять более общим условиям, которые определяются решающим уравнением.
Из этого уравнения вытекает, что как бы малы по сравнению со скоростью и ни были скорости и' а' ш', удовлетворяющие условиям (1) — (4), энергия относительного молярного движения должна будет все же убывать, если превращающаяся в тепло энергии этого движения будет больше той, которая переходит пз среднего молярного движения. О.
Рейнольдс Таким образом, если значения периодических скоростей и', и' ти' тзковы, что отношение функции перехода энергии из среднего молярного движения к функции превращения энергии в тепло принимает максимальное значение меньшее единицы, то сохранение какого-либо относительного молярного движения уже невозможно. Каковы бы ни были дальнейшие ограничения, возникающие из кинематических условий, существование низшего прелела для значения критерия остается доказанным. Выражения для возможных скоростей относительного молярного движения.
й 33. Лля того чтобы удовлетворялись.первые три равенства (50), необходимо, чтобы и', и', тв' были непрерывными периодическими функциями координаты х с наибольшим периодом а н чтобы они удовлетворялп уравнению непрерывносги. 2» Если мы положим У= —, а через л обозначим целые числа от 1 и ' до со, то мы получим выражения: а = ]( †" + †"~ соз (л!х) + ~ †" + †") з|п (лух) 1, ды ](,ду д») ',ду д») ч (53) в' = У [л!и„з1п (лГх) — лф„соз (л!х)], » тв = г (в!Ть 51п (Рз!х) — луд соа (гФ!х)], а удовлетворяющие условию непрерывности. Если функции а, р, т, 3 удовлетворяют следующим условиям: а=3 †т в да д) д! дз ду ду д» д» вЂ” О при у = д, (54) — — ш а функции и», ат, ао зависят только от уа, то, повидимому, таковы будут самые общие выражения для возможных скоростей относительного молярного движения.
Плоскопараллельное относительное молярное движение. $ 34. Если относительное молярное движение совершается так же, как и среднее, в плоскости (х, у), то мы должны повсюду иметь: т = 3 = »в' = О. (55) Выражения (53) представят самый общий вид функций в', и' для случая плоскопараллельного возмущения. Такое ограничение, конечно, совершенно произвольно. Мало того, при выполнении дополнительных кинематических условий, не зависящих Динлмичвскля теогия двнжяния нзсжимлвмой вязкой жидкости 221 от тех условий, которые определяются решающим уравнением, и самый характер движсния при плоскопараллельном возмущении становится совершенно иньпь Однако при определении предельного значения критерия кинематическне условия роли не играют. Предварительный же расчет показывает, что значение низшего предела для критерия почти совпалает с тем, которое получается для общего случая трехмерного движения, Мы приводим поэтому в настоящей статье один только расчет для плоскопараллельного движения, так как оно значительно проще.
Функции превращения энергии н перехода в теплоту при плоско- параллельном движении. д й 35. Обозначим через — (рН ) скорость превращения в теплоту дг энергии относительного молярного движения, т. е. выражение, которое фигурирует в правой части решающего уравнения (43). Мы найдем: / — (рН') гУх ~Му дя = =- У,О 12 [( — "-'!'+%)'1+ ~5) +%)е+ + 2 — — 1 Нх1у ггх. (56) ди' ди' 1 ду дх ) / д, (рН)Гувд= '~ / / У)( (л1)'( „'+Хэ)+ У -' 'ид ''-' + 2 (и1)э ~ — " ' + ! ~ "! 1+ à —."„) -)- à — '1,," )з, ду ~Гя (57) Точно так же выражение для скорости перехода энергии из среднего молярного движения, стоящее в левой части решающего уравнения (43), после подстановки выражений (53) для и' и в' (53) и'после интегрирования по х принимает следующий вид: О" — „, /" —,, йи / Ри и — гГуд — ~1Д и1(и„— '" — 1„— ") — ~ Ыу 1ж (58) На основании равенства (47), выражакнцего в й 31 условие (3): и д й —;,(и — У) = р — (и'и') '' д13 ду (59) Подставим выражения (53) для и' и и', интегрируем по х в пре2е делах от х = О, до х = — ' и отбросим те члены, которые при интегрировании по у дадут иа основании пограничных условий количества, равные нулю.
Мы найдем: О. Рейнольдс 222 иы найдем, интегрируя и принимая в расчет пограничные условия; а, — (и — У) =- ои о I лу р ( и — (оо) = о / и' и' оГу. ~ "о На пограничной поверхности и — (Г равно нулю, а потому +Ь, р / Гро'А=О. (61) Ьо Подставим в 1Гравой части равенства (58) (о'+и — сГ вместо и, примем для и — (У' значение (60) и интегрируем по частям. Замечая, что: л-и и„, — „= — 3 — ".,' = соней (62) Ь„е и (63) мы находим следующее выражение для функции перехода: +ь, +ь, у /(рпп')я у= у, ~4; '-,",— /' у / ~иь-я — ~,.л'") уу+ -Ьо -ь, — ь, +ь, + „~ — / (л~)е(а„~" — оа — ") ГГу >.
(64) Ьо Если и', о' достаточно малы, можно пренебречь последним членом четвертого порядка. Подставляя полученные выражения в решающее уравнение (43), мы можем написать его в следующем виде: 2а ЬаУю +Ьо "./ Ы "' -'+:а+2 ЕФУ+ЙЛ+С' — '')'+( —;"-')",- (65) +ь. 3 / ГУ /,'~,(нгоро — ',","- „— '„',") ~ ЛУ. — 'ь. — 'ь, Пределы для периодов. и 36. В качестве функций у, количества а„ и 3„ определяются пограничными условиями, почему и периоды их ограничены сверху расстоянием 2Ьо между стенками. В направлении координаты к, однако, не существует такого прямого 2я соотношения между Ьа и периодами, выраженными количествами —. лГ Линлмичвскля теория движения несжимаемой вязкой жидкости 223 Пределы для таких периодов по необходнмости существуют и на основании кинематических условий, необходимых для установившегося характера средних молярных скоростей, эти пределы периодов связаны с предельными значениями дла а н 8„, Однако кинематическнеусловия не могут быть определены, пока не получено общего решения для уравнений движения.
Из самой формы решающего уравнения (43) ясно, что такое точное определение этих пределов и не требуется для доказательства существования нижнего предела критерия. Погранлчные условия определяют для а„и р„те же пределы, каново бы ни было значение л1. Таким образом, если ао и р„определены таким образом, чтобы количество 2рЬ,и„ н мы найдем +ь, у ~" ("+~'~+"-'Г( —."л)'+Ы1+(Ы+(Лу') 2"' ~ лу ~ (Ь вЂ” ' — о — )нгу — Ьн — дн где а и ~ суть такие функпии у, что К, является минимумом прн всех значениях 1, а 1 определено затем так, чтобы этот общий минимум, определенный для всех значеняй 1 получил при некотором искомом значении 1 наименьшее значение. Прннимая во внимание пограничные и прочие условия и отбрасывая члены, которые только увелнчнвают числитель, не изменяя значения знаменателя, мы найдем в качестве наиболее общих выражений для а и р следующее: а=~ч~~~а„, шп (2з+1) р~, Я 8 = '5', ~Ьн, я и (21 р)~, ! о ! (68) где яу 2Ьо ' имело минимальное значение, каково бы ни было значение л1, то затем уже можно определить н то значение г1, для которого это минимальное значение наименьшее, поскольку ряды как в числителе, так и в знаменателе становятся более сходящимнся прн значениях п1, более далеких от г1 в обоих направлениях.
Таким путем может быть определено то 2рЬои~ предельное значение, к которому стремится выражение для Обозначая для краткости г!, а„З, соответственно через 1, а, 6, а предельное значение критерия К, через К трао ит (66) О. Рейнольдс 224 для того чтобы уловлетворить пограничным условиям, мы лолжны будем положить: з =: 2г при з четном; з = 2 г+ 1 при з нечетном; о = 2г+1 при г' нечетном; ! = 2(г+1) прн 1 четном. Мы имеем, далее; вслелствие того, что «=О при р= - — ' (т.
е, у стенок) ~ (",+ — ',+о) = о ау и так как — ''=Оприр= о: — ', то 2 (69) ~ЧР [ — (4г — ' 2) Ь„., + 4 (г+ 1) Ь г, [ = О, о « = а, з!и р -'- ав яп Зр, !3 = Ьзяп 2р+ Ь, яп 4р, (70) Эзи выражения удовлетворяют пограничным условиям, когда "з = ого о й =оо,. [ (71) Таким образом в качестве значений для х и,'1, при когорых К, имеет минимум, каково бы ни было значение 7, мы находим выражения: о 1 — = япр-[-з!и Зр; — '= яп 2р+ — яп 4р а1 Ь, 2 н далее: 2ЬΠૠ— — =- соз р — '. 3 соз Зр; са, о!у — — = 2 соз 2р+ 2 соз 4р, 2Ь, ЛЗ ЯЬо аУ 2Ьо,' ЛЬ, ао Ь ! — 'а — ' — 3 — ) = — [ — Зяпр — ЗяпЗР+ яагЬо [ аз ' г(г,) 4 + яп бр + з!и 7р], (72) Произвеля два раза интегрирование, найдем: +о, и 7 ) ду У (Р от о'Ь [ Иу — 1,325 1йьоа Ь, (73) Из выражения для К, видно, что каждый член разложений для «и !о увеличивает значения для Кг на количество, зависящее от г.
Следовательно, К, будет иметь минимальное значение, если динлмичаскля твория движвния нвсжимлвмой вязкой жидкости 225 Вводя обозначение Л вЂ” = 1 мы получаем значение знаменателя 2Ьо 3 в выражении (67) для — К„равное — 1325 Е аЬ . Таким же образом мы находим и значение числителя: Ь ( — '" ) ( Е' (2а'+1,25 Ь')+ 273(10а + 8Ь')+82а*+ 80Ь ).
1»озфициенты при а, и Ья в числителе почти равны, а потому мы не сделаем существенной ошибки, полагая Ь = — а. а— В таком предположеняи имеем: 3 73+2 5,5373+50( т. '~~ 2 3 0,4033 'т2 I (74) Мы найдем минимум этого выражения, равный (75) К, = 517 при (76) = 1,62. Отсюда следует, что в плоской трубе с безграничной шириною значения критерия е — " — "'- ) 517 (») й 37. Полученное значение должно быть меньше искомого значения критерия при рассмотренных условиях движения. Насколько оно меньше, теоретически определить невозможно без определения общего решения уравнений движения, а насколько мне известно никаких опытов еще не было произведено с плоскими трубами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
