Рейнольдс О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия (1123886), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Жидкость имеет всюду постоянную плотность р и вязкость 9 ггл и течет под действием равномерного градиента давления — в налх правлении оси х между параллельными стенками, неограниченными в направлении з и х и определяемыми уравнениями: у= — б„и у=+4,>. (28) Пограничные условия. 1) У стенок не может быть скоростей, нормальных к пограничной поверхности, т. е. о=О прн у= Ьз. (29) 2) Касательные скорости у стенок равны нулю: и = тв = О при у =- ~ Ьо. (ЗО) Отсюда на основании равенства (21) мы получаем, обозначая и через и: р = — и ди ду О.
Рейнольдс 214 ди , ди ди — -г- — +- — =О мы выводим дальдл ду дх Из уравнения непрерывности нейшие пограничные условия: ди ди дм дх ду да = О прн у = -~- Ь . (31) Особое решение. $27. Если средние скорости имеют везде направление оси х, то на основании уравнения непрерывности они не зависят от координаты х, и периоды движения, как то было указано в ф 8, бесконечны. Уравнения (1), (3) и (9) удовлетворяются с полной точностью. Следовательно, если о=те=и =о =ти =О, (32) то мы имеем условия, при которых возможно особое решение уравне ний длЯ данного слУчаЯ, Решение, возможное пРи любых Ье, —, Р и 1л.
др е' дх' Подставляя в уравнения (1) значения (21) для р„„, р,„и т. д. н заменяя и' через и и тт д., мы получим следующее уравнейие: Р дт дх+1 (,дуа + дгз )' (33) Это уравнение не допускает решения, если в начальный момент жидкость находилась в покое, но при условии установившегося двиди др жения когда — всюду равно нулю а — — постоянно мы найдем для У дг дх Ф уравнения с пограничными условиями; ди и= =О прн у=~да дх следующее решение: 1 др уа — ай И— (34) д 2 Таково одно из возможных состояний установившегося движения с бесконечными периодами скорости л согласно ф 8.
Для этого случая уравнения полярного движения при существовании теплового являются вполне точными на основании сказанного в 3 8, каковы бы нн были значения количеств и Ьв г, в н — . др е~ ' ~ дг' Уравнение (34) представляет выражение особого решения уравнений (15) для установившегося молярного или даже среднего молярного движения, прн котором все количества и', и', р' и т.
д. равны нулю, так что уравнения (16) относительного иолярного движения тождественно удовлетворяются. Динамическая ТЯОРЯЯ движениЯ насжимлемой вязкой жидкости 215 дяя того чтобы отметить скорость и особого решения, я введу следующие обозначения; +ь и пу = 2зоЬ;„, -ь Д.' а1 (35) (7 3 Ц ао У 2 и ао Проверки предпосылок для уравнения движения вязкой жидкости. й 28. Согласно опытам Пуазейля и экспериментам, произведенным впоследствии, результаты теории остаются в согласии со всеми данными опыта, пока скорости и', и', тл' равны нулю.
Так, при средней скорости 376 мм (1,23 фута) в секунду в трубках диаметра 0,014 мм, длиною потока 1,25 мм и при напоре в 30 дюймов ртутного столба обнаружено, что если бы существовало какое-либо скольжение, то его скорость была бы меньше одной тысячной средней скорости потока, хотя касательное напряжение у стенок равнялось 0,2 г)'см-', а градиент скоростей в потоке равнялся — = 215,000. гтг Напомним, что поверхностное сопротивление при ходе парохода со скоростью 25 узлов не достигает 6 фунтов на квадратный фуг. Можно сказать поэтому, что предпосылки относительно пограничных условий и относительно постоянства р проверены с исключительной точностью измерений, как касательных напряжений, так и сопротивления.
Из уравнений движения следует, что такое особое решение, при соблюдении условий его существования всегда возможно, но способ, которым получено это решение уравнений (1), не дает еще никаких указаний на то, является ли оно единственно возможным и могут ли быть осуществлены необходимые условия его существования. Этот вопрос может быть разрешен только экспериментальной поверкой выводов, сделанных из особого решения, или же посредством наблюдений над различными видамп движения жидкости, подобных тем, которые были сделаны в моих опытах с окрашенными струями.
Только фактическое осуществление условий существования такого рода движения при определенных обстоятельствах и лало возможность проверить предпосылку относительно пограничных условий, не допускающую скольжении жидкбсти вдоль стенок, и гипотезу относительно коэфициента вязкости )ь, не зависящего от распределения в пространстве скоростей молярного движения. О. Рейнольдс Свидетельство опыта о возможности других решений.
216 и- 29. Установившееся молярное движение наблюдается почти всегда только в капиллярных трубках. В трубках же ббльшего радиуса оно наблюдается только при незаметно мзлой скорости потока. При ббльших скоростях движение уже становится извилистым и турбулентным, Этот факт свидетельствует о возможности появления при некоторых обстоятельствах иных решений уравнений помимо особого. При таких движениях скорости и, о', ти' подаерживзются в потоке не в виде установившегося поля периодических скоростей, но в виде такого поля относительных скоростей, влияние которого на средние скорости потока имеет установившийся стационарный характер. В этом случае уравнения ['1) справедливы только с приближением.
Применение уравнений движения среднего молярного и относитель- ного молярного. 6 30. Вследствие того, что в рассматриваемом случае скорости среднего молярного движения равны нулю в направлении координат в н з, а среднее движение является установившимся, мы имеем: ди ди о=О та=О --.=0 — =О, ду ' дх (36) д и'и' = О, дх д — ои =О дх (37) и т. д. — ю'и' = 0 дх На основании выражений (21) и равенств (37) уравнения (16) для средних скоростей примут следующий виш дй др /дти дэид ' д —,, д —,—, ) р — = — — + и ~ — —.-+ — „! — Р ( — (и'и') -~- — (и'те') 1 дт дх (,ду- дхе! гду ' дх дп др 1 д —,, д Р— = —— дг ду — р 1 — (о'о') + — (о'тв') 1 (38) 1ду дх )' дм др д —,, д Р д) дх — Р 1 — (тв'о') + — (тд'ш') ) . 1 ду дх Уравнение энергии среднего полярного движения (17) будет следующее: 1 д (ии )+ д (и" ')) "1(~ ) +(~ ! ~+ В то же время средние значения квадратов и произведений скоростей и', о', ю' остаются постоянными в направлении потока, а потому Динлмссчвскля теОРия движения нвсжимьвмой вязкой жидкости 217 Точно так же уравнение лля средней энергии относительного полярного движения (19) примет вид: дЕ д дс — — ду1 (Р „.+.' )+ (с +Р ) с- (Р ° — — (и (р,— еи те )+о (р — аи ти ) -с- ис (р .
+ все'ш Н вЂ” "~2((д')+(д'У+( — ) ' ( +%+ Интегрируем почленно эти лва уравнения относительно у и в прелелах пограничных поверхссоссей, принимая во внимание пограничные условия, а именно, что сс, и', о', тес равны нулю у гранин, и равным образом, чго интегралы относительно - количеств: д — ди) д —;, д дс де с' д* ' ' сж — и — ), — (и рисы'), — и' (р', + ри'Ы) — ),- и лругих должны быть также равны нулю.
Мы по;тучаем, таким образом, для энергии среднего малярного движения уравнение: / ( сс — ~ ~ ~-др + (('ди)+(дсс) Ц „+ -с- р "и'и'.--+ сс'ти' — ау сй. (41) Уравнение же для срелней энергии относительного полярного движения примет вид: ~~ — „Е у~я=- — ~Я~... + ~)а,д, сди' -', сдеся сдыс т сдж' де Л с дл,' ',дус+~ длс ' ' ду ' длу Г ди' дис' -' С ди', ди' С + ~' — + — — — ) + ', — + — 1 ) с1усЫл. (42) сса дл,с ' дл ду с Если среднее малярное движение является установившимся, то из уравнения (41) вытекает, что работа постоянного градиента давления при средней скорости и частью превраШается в энергию относительного молярного движения со скоростью перехода — ~ / р(и'о' — + и'иг' — ') асус1-, а частью в тепловую энергию со скоростью превраШения ~( ди ) + ( ди ) ~ ау с(г О.
Рейнольдс 218 уравнение (42) интегРальной энеРгии относительного молярного движения показывает, что единственная энергия, приобретаемая относительным молярным движением, получается из превращения энергии среднего полярного движения, а единственная энергия, им теряемая, есть энергия, переходящая в теплоту и выражаемая последним членом уравнения. Следовательно, если полная энергия Е' остается постоянной, то энергия, поступающая из среднего молярного движения, равна энергии относительного движения, переходящей в теплоту. Решающее уравнение в таком случае напишется таким образом: / / 8(ип д +и т" д )г/у«тд= — ч / / ~ 2~~ дх)+(ду) Г +( да ) ~+(ду дх) + (да дх ) +(дх + ду) Условия, которым должны удовлетворять скорости и, и', о', и«'.
среднем молярном движении скорость и ф 31. При установившемся должна удовлетворять 1) пограничным условиям: и=О при у= да; (44) 2) уравнению непрерывности: ди дх — =О (45) 3) первому уравнению движения (38). а'и д(« р — +р,— ад Фу пр« (4 8) Из условия (3) вытекает, что если скорость и симметрична относительно пограничных поверхностей, то относительное молярное движение должно распространяться по всей трубе. Таким образом мы находим, что У~ ( д —,, д «г — (««'тк) + — (««тта') / с/а ~д«да (49) д- р(д а+ «а) 8'( д ( )+ — (и ') ~, (46) др д«У нлн же, полагая и =(«+и — с«и — =р —., как и в особом решедх туа нии, получаем уравнение (46) в следующем виде; (д (й — «««да(а — 0' / д д 81, + д а /=Р ~ — (~ив')+ — (л'ы') 1.
(47) дУа ' ха ( ду да 4) Интегрируя уравнение (47) по плошади сечения и замечая, что интеграл левой части равен нулю, мы имеем среднее знзченне: Динлмнчвскля таовия движвння нвсжнмлвмой вязкой жидкости 219 должно быть функцией у'-', а так как такое условие при установившемся среднем молярном движении необходимо, чтобы удовлетвоРялись уравнения (38) и (16) для среднего и относительного молярных движени» то мы и будем считать его среди необходимых условий при разыскании критерия. Скорости относительного молярного движения должны удовлетворять следующим условиям: 1) Условиям (12) для периодов. Если 2с есть размер трубы в направлении координаты д, то эти условик напишутся в следующем виде: л п и и'~Ух = ~' тидх = /'а'Нх = О, в о о +ь, +с (50) / дуда=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
