Рейнольдс О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия (1123886), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Насколько мне известгсо, нигде не делалось попыток дать вполне сгрогое определение скоростеи л, о и ю, входящих в уравнения движе- ния. Они определяются обыкновенно в качестве скоростей частицы жид- кости в точке с координатами х, у, х. Это может означать или что и, и, са являются составляющими дейссвительной скорости той мате- риальной точки. которая в данный момент проходит через точку х,у, -, или же, что сс, тй тсс являются средними скоростямн всей массы, заклю- ченной в некотором обьеме, внутри когорого лежит точка х,у, " или, наконец, что зто средние зз данный промежуток времени скорости ма- териальных точек, проходящих через точку х, у, Если принять первое определение, то правая часть написанного выше равенства представляет собою скорость увеличении кинетической энер- гии на единицу объема материи в данной точке.
Интеграл этого выра- жения по определенному ограниченному обьему 5, движущемуся вместе с жидкостью, будет представлять скорость увеличения полной кинети- ческой энергии в этом обьеме, включая сюда и энергию теплового дви- жения. Следовательно, разность между производимой на поверхности о работы я увеличением кинетической энергии может представлять собою по закону сохранения энергии только ту теплоту, которая образуется и которая не составляет энергию движения, Отсюда вытекает следствие: а) Предпосюжение, что второй член уравнения (3) представляет собою скорость превращения теплоты, определяет и, о, се таким образом, что эти количества не могут представлять собою действительной скорости материальной точки, проходящей через данную точку пространства.
Далее, если под и, тс, са подразумевать составляющие средней ско- Рости некоторого объема или для некоторого промежутиа времени, таким образом, чтобы выражения ~~',ри, чаро и ~~рв представляли собою составляющие количества движения, а выражения д~~ Гн — у~~', ра и т. д.— 13' О. Рейнольдс моменты количеств движения той массы, для которой произволится осред. пение то все же возникает вопрос, лля каких же объемов или для ка- У ких промежутков времени определяются средние скорости. Таким образом.
й) Предположение, что второй член уравнения (3) представляет скорость превращения теплоты, определяет объемы н промежутки времени, для которых рассчитываются средние скорости таким образом, чтобы Е могло представлять собою полную энергию среднего движения (моля)- ного), за исключением энергии теплового движения. Уравнения являются приближенными за исключением только трех частных случаев.
й 8. Из рассуждения предыдущего параграфа вытекает, что если второй ч.чен уравнения (3) выражает скорость перехода тепловой энергии в энергию молярного движения, то следует принять одно яз лвух заключений, а именно: можно принять, что ри, ри, йяв выражают составляющие среднего количества движения в некотором обьеме о, заключающем точку х, у, - и относятся к опрелелениому моменту времени. Скорости а, о, ев рассматриваются в качестве функций точки х, у, которая является центром тяжести об.ьема 5и, а й представляет сооою среднюю плотность в этом объеме.
Можно сделать и другое предположение, что рл, (и н йм представляют собою средние значения кочичеств движения в определенной точке х, у, з, но вычисленные для промежутка -. времени. При этом есть средняя плотность за время -.. Если Г есть момент времени, для которого рассматриваются скорости и, и, тл, г' — какой-либо другой момент, а й -- истинная плотность, то, суммируя лля всего промежутка т времени, мы должны иметь з; ((г — (),~,] = о. Уравнения движения предполагают, однако, что (о и, о, ю являн~тсл непрерывными функциями координат и времени. Можно показать, что это возможно только при соблюдении определенных условий относительно распределения средних скоростей, выбора обьема 5„или промежутка времени -..
Среднее н относительное движения материи. )(якове бы нп было движение материи в определенном объеме .'~' в данный момент времени, средние значения составляющих и, и, са скорости будут имев выражения: т (аи) и =. '. и ч. д. (4) т (а) Если принять загем и, о, тл в качестве скоростей точки х, у, мгновенного центра тяжести обьема 5, то количества движения центра тяжести могут быть представлены в виде йи = йи.+ йьл ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИЧАЕМОй Вяэиой ЖИДКОСТН 197 где и' и т. д.
суть скорости относительно осей, имеющих начало в центре тяжести об.ьема 5 и движущихся со средней скоростью 10 О, се. В любом объеме произвольного размера можно определить форму и размеры меньшего объема Ь около каждой точки х, у, л с ташвм расчетом, чтобы эта точка была центром тяжести массы в обьеме Ь'. Г!оэтому скорости движения в данном большем объеме могут быть разбиты на два поля скоростей: на ноле средних скоростей и, О, ти в каждой точке и на поле скоростей и', и', щ' в той же точке относительно средних скоростей. Однако, если и, сч ш должны представлять действительные средние скорости, то необходимо, чтобы суммы ~(рй), У„(оп'), „~,(ощ'), взятые по всему объему Ь около каждой точки, были каждая равны нулю. Для этого необходимо соблюдение некоторых условий.
Действительно, пусть х, у, д суть координаты точки 6 центра тяжести материи, заключенной в объеме Ь; ах', у', з'- — координаты другой произвольной точки в объеме 8. Наконец, пусть а, б, г суть размеры ооъема Ь' в направлении осей х„ у, - 'в), считаемые от точки О (х, у, а). Скорости л, О, Н1 должны быть непрерывными функциями координат, а потому, сдвигая объем Ь' таким образом, чтобы центр его тяжести оказался в точке х', у', -', мы найдем дчя значения скорости и в этой точке выражение: =и,+(х — х)~ —,'х")+(у — у)( — „)+(' — л)~ — „,—,~+..., (б) В котором производные взяты для точки О.
Такие же выражения мы полущт и для и и ич Значение скорости и' в точке х', у', л' получится, если мы вычтем это значение и из соответствующего значения полной скорости и в той 1ке точке. Суммируем теперь эти разности по обьему 8, заключающему точку 6 с координатами х, у, д. По определению мы должны иметь, суммируя по 5, равенства: (7) ~~ [ь (и — - и,,)) = 0 и У [й(х' — х)1 = О, а потому -ьв(влв ) = — ' †. т [о (х — х')Ч ' — ' + — ч [о(Р— Р')'-'[ — + + — ч [о (л — -')я[ [ — ) в.ьи ' ',Н-',, ' * ~(ЕА) т. е. ) То-есть наибольшая длина линейных размеров. Прим.
Нарев. О. Рейнольдс 198 Тем же путем мы получим, суммируя по интервалу' времени -., заключающему момент А следующие Равенства для этого момента; —,(Ри) и Ри =,и+Рц' Х (Р) и лля произвольного другого момента Г' в интервале -. уравнение: , /дй'~ 1 ,, (деих и =и +(С вЂ” г')~ — / +т- (г — 1)е ( — е) + (, дж,) „)'„Р(и~ — и) =О. где Рр(( — Е') = О и Мы получим, таким образом: ~(Рц') = "~~ 8 (г ( )з( 1 Где их (Рц') 1 о где а~ тз У м(Р) 2 ' (, дгу,~ "1 Из неравенств (8А) и (8В) и подобных же дтя лй(Рп ) и л~~~(Рге ) мы заключаем, чго если имеют место равенства: ~У (Ри') = ~~ (Рп') =,'эы (Ртв') = О, в которых суммы берутся, по объему о или для промежутка времени -., то правые части равенств (ЗА) нли (8В) должны быгь всегда равны нулю, т.
е. первые производные по координатам скоростей ц, а, и должны быть постояннымн. Это условие удовлетворяется, если средние скорости от времени не зависят пли меняются равномерно с течением времени, пРичем движение со средними скоростями совершается в одном направлении, если скорости в этом направлении и не изменяются. Действительно, предположим, что среднее движение происходит в направлении координаты х. 1)рн периодическом движении с периодом 2п мы получим, суммируя по объему 2а Ыу йг, (~авенство: ~„(ргУ) = О, как бы мала ни была площадь с(удж А так как средняя скорость может изменяться только в направлении у или з, для которых можно принять Ь н с бесконечно малыми, то при постоянном значении произди водной —.
все перечисленные условия будут в точности удовлетворены. дг Указанные условия будут .также удовлетворены, если среднее движение сводится к равномерному расширению или сжатию илн если оно является движением твердого тела. Указанные три случая, для которых, как легко видеть, изменения средних скоростей везде равномерны в направленки движения илн являются равномерно переменными с течением времени, являются елинственными, для которых условия (8А) нли (8В) точно выполняются.
Линлмическхя твоеия движения нвсжимлвмой вязкой жидкости 199 Условия будут тем не менее приближенно удовлетворяться, если первые производные скоростей и, и, и будут приближенно постоянны в объеме 5. В таком случае можно пренебречь правой частью уравнения (8А) пли (8В). Степень точности этого приближения будет определяться относительной величиной членов д4 а=и а —., и т. д. нлн ч —,е д»'-' по сравнению с членамн ди ди — и т. д. или д» дг ' Г!оскольку в дальнейшем часто придется иметь дело с относительной величиной этих количеств и поскольку для периодических движений относительная величина таких членов измеряется отношением периодов Гв пространстве илн во времени) к значениям а, К с, и -., которые также могут быть в некотором смысле названы периодами скоростей а', т', ш', мы и обозначим эти отношения выражением „периоды" в указанном смысле.
При этом следует заметить, что средние скорости не будут периодическими, т. е, будут иметь бесконечно большие периоды, когда они будут постоянны в направлении движения н равномерно переменны с течением времени. 8 9.' Таким образом мы видим, что сведение скоростей какой-либо системы к сумме средних переменных скоростей и таких относительных скоростей, для которых количество движения (с относительными коростами), отнесенное к обьему с размерами.а, Ь.
с, равно нулю, может быть сделано с известным приближением., Точность такого приближения тем больше, чем больше относительная величина периодов скоростей а, и, м по сравнению с периодами для скоростей и', ю', а~'. Эта точность измеряется отношением порядков величины периодов тех и других скоростей. Тепловое движение приближенно может рассматриваться как движение относительное, Общеизвестный из опыта факт, что количество движения материальных систем нн в какой мере не зависит от теплоты, показывает, что гепловое движение является относительным для того среднего движения, котоцое определяется для объемов физически заметных размеров. Теп-товое движение во всяком случае не является единственно возможным зилом относительного движения материи.
Если тепловое движение является относительным движением в отношении к любому среднему движению с какими угодно периодами, то должна существовать причина такого разделения, причина, исключающая возможность существования других относительных движений помимо тепловых н благодаря которой существуют только такие средние движения, периоды которых п пространстве и времени имеют порядок величины, во много раз О. Рейнольдс 200 превосходящий порядок величины периодов чисто теплового движения В противном случае тепловые движения, как это следует из уравнений (8А) и (8В), не могли бы с высокой степенью приближения являться движениями чисто относительными по отношению ко всем другим видам движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
