Рейнольдс О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критерия (1123886), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2) К следующей предпосылке: составляющая в любом направлении скорости молекулы может быть разложена на составляющую средней скорости (например и) всех молекул, лежащих в ближайшей окрестности к данной молекуле, и на составляющую (например 1) относительной скорости, которая является разностью полной скорости молекулы и скорости средней (например и). При этом и и $ так связаны между собою, что, обозначая через М массу молекулы и суммиргя по всем молекулам ближайшей окрестности, мы должны иметь: .~~~ ~(М[) = О, ~~.', (Мие) = 0 и т. д.
и, с другой стороны, ~ч'„[М(и+ [)в[ =,~, [М(ив+ гя)] Геометрический принцип 1) нужен только для того, чтобы провести разделение между энергией среднего движения и энергией внутренних движений молекул с целью исключить всякие геометрические соображения, связанные с предпосылкою 2), из рассмотренна внутренних движений молекул. То, что предпосылка 2) имеет чисто геометрический характер, видно уже из того, что ее смысл связан с распрелелением некоторых количеств в пространстве и данный момент времени. Ясно, что вопрос о том, можно ли провести укаэанное в предпосылке разделение прн каких-либо видзх распределения и если возможно, то при каких именно, является задачей для чисто геометрического решения. Если не считаться с кажущейся очевидностью предпосылки 2) и рассмотреть ближе, что в этой предпосылке предполагается, то станет сразу ясной необходимость дальнейших определений, Составляющая и средней скорости всех молекул, находящихся в окрестности какой-либо точки, скажем Р, вяжет быть только средней скоростью всех молекул в некотором объеме 5, заключающем Линьмнчвскья тзогия лвижвння несжимаемой вязкой жидкости 189 точку Р.
В таком случае и есть составляющая средней скорости механической системы, заключенной в объеме 5, и определяется как таковая для всех точек внутри 5. умножив и на массу всех молекул в объеме 5, мы получим составляющую полного количества движения системы, заключенной в 5. Олиако по предпосылке 2) скорость и и ее производная должны быть непрерывными функциями положения точки Р, и эти функции лолжны непрерывно изменяться даже внутри 5.
Таким образом и не лолжно являться составляющей средней скорости всей системы в 5, но только средней скорости в данной точке Р. Хотя бы это явно и не высказывалось, преполагается, что объем 5 выбирается таким образом, чтобы точка Р была центром тяжести системы, заключенной в 5. Определив, таким образом, положение Р относительно 5, мы лолжны еце дополнительно определить самый объем 5 так, чтобы количества и и другие скорости могли непрерывно изменяться с положением точки Р Это условие может быть всегда выполнено, если размеры и форма объема 5 могут непрерывным образом изменяться с положением точки Р.
При подобном определении относительного положения Р и 5, а также размеров и формы 5, можно, далее, выразить условие для распределения и, при котором сумма .~,(М!) равна нулю, т. е. условие для среднего количества движения. Пусть 5п и, и т. д. относятся к некоторой точке Р,. Пусть Р есть другая точка, относительные координаты которой относительно Р, равны к, у, з, а 5 — объем и и — скорость, относящиеся к точке Р. Точка Р, есть центр тяжести 5„а центр тяжести 5 лежит в точке Р с координатамн х, у, ж Как бы много нли мало ни различались между собою 5' и 5„объем 5 всегда выбирается так, чтобы составляющие и и другие были непрерывнымн функциями координат х, у, з. Таким образом а может отличаться от и„даже если Р находится в объеме 5,.
В таком случае согласно с предпосылкою 2) сумма ~'„(Ми), составленная для объема 5„будет представлять собою составляющую количества движения материальной системы, находящейся в объеме 5,. Таким образом, для того чтобы условие для среднего количества твнжения было выполнено, необходимо, чтобы среднее значение количества и для обьема 5, было равно и„т.
е. равно составляющей средней скорости системы в 5,. При сделанных геометрических определениях это условие может быть выполнено только при некоторых видах распределения количества и. По самому определению скорость и есть непрерывная функция координат х, у, з, поэтому М(и — а,) может быть разложено в ряд по степеням координат. Беря интеграл этого ряда по объему 5, и приравнивая его нулю, мы получим условие для среднего значения составляю:цей количества движения. Благодаря ограничению, которое налагается определением объема 5 на изменение координат, мы получаем таким путем геометрическое условие для распределения скоростей и. Из самого опрелеления срелиего количества движения ясно (это следует, впрочем, и из всего хола рассуждения), что рассматриваемое условие будет удовлетворено, если скорость и остается постоянною.
Мы найдем затем, что это условие для средних количеств движения 190 О. Рейнольдс выполняется с полной точностью при некоторых других видах распределения скоростей, тогда как при всяком другом распределении оно уже удовлетворяется только с приближением, для которого возможно, однако, дать определенную опенку. Получив пз выражения среднего количества движения те условия, которым должно удовлетворять распределение скоростей и и других, мы должны еше из выражений для М(и — а') и других вывести те условия, которым должны еше удовлетворять и скорости ": и др. Согласно этим условиям суммы ~М(и!) и других, взятые по объему Я,, должны равняться нулю одновременно с суммами У~М(и — и') и др.. В таком случае условие для среднеИ энергии будет выполняться наряду с условиями для количеств движения.
Оказывается, что при таком распределении средних скоростей и и других для того, чтобы можно было разделить энергию движения на энергию средних скоростей и энергию относительных скоростей, мы еше должны ввести новые условия, которые налагаются на распределение относительных скоростей ! и др. Эти условия для относительных скоростей, очевидно, удовлетворяются скоростями чисто теплового молекулярного движения.
Только в связи с тепловым двизкеиием эти условия и рассматриваются в настоящей статье. Из рассмотрения самих геометрических оснований теории и условиИ для тех распределений скоростей и и других, к которым применим с полной точностью принятый метод анализа, вытекает, что тот же метод может быть обобщен для изучения движения любой системы соответственным введением другого определения значениИ употребляемых символов. При этом методе можно обойтись и без исключения внутренних движений молекул, как то обыкновенно делается в теории газов.
Подразумевая под а, и, еа скорости (непрерывного поля скоростей или нет) движения материи в данной точке, пол И вЂ” плотность и обозначая, далее, через 7с и т. д. средние скорости (вместо введенного выше обозначения и), а через и' и т. д. — относительные скорости, мы получим совершенно те же геометрические условия для средних количеств движения и для энергии средних скоростей.
Эти условии . будут выражены таким же образом, так что вся теория окажется приложимой к любой механической системе самого общего вида. 1) Лля того чтобы получить условия для распределения скоростей полярного движения, при которых удовлетворяются условия для среднего количества движения. и при которых возможно разделение энергии молярного движения и движения теплового, следует под и и т.
д. и под И подразумевать действительные скорости и плотность молекул в данной точке. Объем '5 должен иметь размеры, соизмеримые с расстоянием молекул или же тех периодических смещениИ, которые они испытывают. В таком случае условия лля распределении скоростей и и других, совместимые с условиями для средних количеств див~кения, будут относиться к распределению скоростей молярного движения, при котором энергия движения может быть разделена на энергию полярного движения и энергию движения теплового.
2) Если условия пункта 11 удовлетворяются с достаточноИ степенью точности, то условия для средних скоросгеИ могут озноситься и сред- Динлчнчаскля твогия движяния насжимлвмой вязкой жидкости 191 ним молярным скоростям. Если под обозначениями и и другими мы будем подразумевать молярные скорости 1обозначенные через и в пункте 1)), а размеры обьемов Я примем того же порядка, как периодические или вихревые перемещения при пульсациях скоростей, то дополнительные условия, совместимые с условиями для средних количеств движения, будут уже относиться к средним полярным скоростяч для того, чтобы было возможно разбить полную энергию молврного движения нз энергию среднего молярного движения и энергию относительного полярного движения. Подведя таким способом определенное геометрическое основание под аналитический метод исследования кинетической теории газов, мие удалось доказать следующие положения (февраль 18, 1895 г.): а) Заключение, к которому пришел Г.
Стокс, что функция рассеяния представляет собою скорость, с которою энергия движения переходит в тепловую, дает точное определение скоростей и, о, тв в качестве составляющих срелней скорости жидкости, уточняя самое определение. Ь) Уравнения, основанные на этом определении, имеют место и оказываются справедлнвымн только в том случае, когда осреднениое движение, за исключением движения теплового, является установившимся.
с) Факт возможносзи существования тако~о установившегося осредненного движения, при котором происходит в то же время переход энергии это~о движения в тепловую энергию, показывает, что существует опрелеленпая причина, отлеляющая осредненное движение от теплового, благодаря которой периоды осредненных скоростей, как ьо времени, так и в пространсзве, отличаются по величине от периодов, соозве~сзвующнх аепловым движениям. В то же время энергия осредненного движения непрерывно превращается в тепловую энергию без перехода .ерез какое-либо промезкуточное состояние двизкения. 6) Если осредиенное движение неустановившееся (за исключением теплового движения), то, каким бы установившимся ни был характер потока зкидкос н в целом, указанные уравнения будут справедливы только с изве тным приближением.
Это приближение увеличивается с увеличением отношения размеров периодов осредненного движения во времени и в пространстве к соответствующим периодам теплового движения. е) Если указанная причина разделения движений и явление превращения энергии являются следствием общих коренных свойств материи, а не только рзссмотренных видов движения, то подобные иге явления дол кны быть обнаружены в отношении осредненного молярного дни>кения, с олиой стороны, и относительного молярного (за исключением теплового), — с другой. Существование подобных явлений должно сказываться в виде совершенно общих законов, вроде необъясиенных до сих пор законов сопротивления жидкостей, общего закона рассеяния энергии нли второго закона термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
