Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3); 3) внутреннее трение жидкости оказывает движению верхней пластинки сопротивление, которое для единицы площади пропорционально гралиенту скорости; следовательно, возникает напряжение сдвига лги т = р.-„—, 1закон трения Ньютона) >Гу ' тле )т есть множитель пропорциональности, являющийся мерою вязкости; ОСНОВНЫЕ ПОНЯТНЯ ГНДРОДИНАМИКН он представлнет собой материальную постоянную, сильно зависящую от температуры, и называется козфициентом вязкости или просто вязкостью. В то время как в упругом континууме (сплошной среде) напряжение сдвига пропорционально деформации (изменению угла) у, именно: прнчеи дг (ст — модуль сдвига, с — перемещение точки в направлении х), в жидком континууме, как покззывает экспериментальное наблюдение, имеет место ат пропорциональность напрянсения сдвига с к о р о с т и деформации аг' В самом деле, если в равенство ат а, аРт т .'.
р — "= Ф вЂ” = р — (~--) ' ат аг э ~ эг) подставить следовательно, то получается соотношение: дл т= — р— аг которое, как мы увидим ниже, в № 12, подтверждается экспериментом. И. Законы подобия, 4. Закон подобия прн учете енд инерции н вяэкоетп. Перейдем теперь к законам механического подобия. Прежде всего выясним, при каких условиях формы течения каких-нибудь жидкостей нли газов вокру~ или внутри геометрически подобных тел сами гео- У~ метрнчески подобны. Так, например, если взять течении двух жидкостей (из которых ,> одна может быть также газом) ) ()'„ вокруг двух различных по величине шаров (фиг. 4, а и б), "-Ъ- —..~. то возникает вопрос: какие условия дОлЖны быть соблюдены, щнт е. лвввв тока вокруг лвуя рвялнчння по вь лнчнне щлрае, чтобы линии тока обоих течений были геометрически подобны? Ответ, очевидно, будет следующий: отношение сил, действующих на элемент объема в подобно расположенных точках обоих течений, должно быть постоянно во всякий момент времени.
В зависимости от различных сил, которые приходится рассматривать прн решении той или иной залачи, мы получаем из указанного условия, необходимого и достаточного для подобия двух спектров линий тока, различные законы механического подобия. Прежде всего мы остановимся на важнейшем случае, когда кроме сил инерции и трения всеми остальными силами можно пренебречь. Этияе самым мы предполагаем, что жидкость или газ для наблюдаемого течения может рассматриваться несжимае- г т — ату яуг мой и, далее, что не существует никаких свободных эр поверхностей, так что действие силы тяжести в виде статической подъемной силы исключается. Если мы требуем, лу чтобы под действием комбинированных сил инерции и вязкости движения двух частиц жидкости, подобно расположенных относительно шаров, изображенных иа фиг. 4, были геометрически подобны, то это возможно, как было щ х сн тренвн,лезет у. сказано, только в том случае, когда отношение действую- щняне нв вле.
щих на обе частицы жидкости сил инерции к силам трения одинаково в любой момент времени. Составим выражения сил инерции и сил вязкости, действующих на элемент объема жидкости. Выражение для силы трения на единицу обьема легко получить, если рассмотреть элемент жидкости, ось х которого расположена по направлению его движения (фиг. 5). Тогда разностью сил сдвига, возникающих (Е законы подоена при движении тако~о элемента, будет. т+ г(у Иг~у дх~(л ИхдуЖа, ( а) а: х а аг у а~ откуда и получаем выражение для силы трения на единицу объема в виде: дт ау или, на основании равенства (3) главы ! (стр.
14): а'-л р-,—, Выражением силы инерции на единицу объема будет произведение массы на ускорение, отнесенное к единице объема. Если и есть компонент скорости частицы жидкости в направлении оси х, то соответствуюзл щим компонентом ускорения при установившемся движении будет и —, вы следовательно, сила инерции на единицу объема будет равна дл рл — —, э Зи 3и Компоненты в ллух других направлениях, и†и ш †, а для неустаиоэ Зи вившихся течений — также член р — можно не рассматривать, так как для аг геометрически подобных течений все эти члены ведут себя в точности так же, как взятый нами компонент в направлении оси х.
Таким образом, если не учитывать силы тяакести и сжимаемости, то два течения будут механически подобны тогда, когда во всех точках, подобно расположенных относительно рассматриваемых тел, будет постоянно отношение: ди ави†сила инерция сила трения Эаи Ьг Возникает вопрос: как изменяются эти силы, когда изменяются вели. чины, характеризующие рассматриваемое явление: скорость У натекающей на тело жидкости, радиус а шара, плотность р и вязкость р. Очевидно, что для механически подобных течений скорость и частицы жидкости в какой-нибудь точке течения пропорциональча скорости У невозмущенного течения (переход от одной системы течения к другой сводится к изменению применяемой единицы времени).
Поэтому, обозначая знаком - пропорциональность двух величин,мы можем написать: и У. Разности скоростей в соседних точках также пропорциональны скорости У, т. е. ди-- У. ЗАКОН ПОДОБИЯ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ИНЕРЦИИ И ВЯЗКОСТИ 17 Теперь, если учесть, что для механически подобных течений вокруг геометрически подобных тел разности координат каждых двух подобно расположенных соседних точек пропорциональны соответствующим линейным размерам геометрически подобных тел 1например в случае шаров, их радиусам), то оаазывается, что изменение компонента скорости жида кости в направлении осн л в какой. нибудь точке течения, т.
е. --, йх пропорционально †, и, следовательно, сила инерции пропорциональна а ' р ь'а и Так как по тем же основаниям йаи е ~йи1 а,а ау 1,ау,) ие* то сила трения пропорциональна и для отношения силы инерции к силе трения мы получаем: йи Га ри — р —- сила инерции йх и Р сила тренин ааи 1Т дуа аа г ч К?э Л ы =~ —,~ = — ~,, %=у. и=р- КТ г)а) т а 11. есть длина, Т вЂ” время, К в сила), следовательно, 1= Ч КТЯ Еа Ь вЂ” )та1 = — —.— й=1. йа КT Т 2 сааре- я аереаеааяяаа, т.
и. Следовательно, если для течений вокруг тел, геометрически подобных и подобно располоркенных относительно течений, величина — Уа одинакоза, то следует ожидать, что будут подобны также н линии тока. Это и есть содержание закона механического подобия. Если, например дело идет о двух течениях одной и той же жидкости с одинаковой температурой и плотностью ) — =сопз1.) вокруг двух шаров, из которых Один и Р в два раза больше, чем другой, то течения в обоих случаях будут геометрически подобны в том случае, когда скорость натекания жидкости нз больший шар будет в два раза меньше скорости натекания жидкости на меньший шар, так как тогда величина — 1'а будет иметь одинаковое Р значение для обоих течений. Так как величина -с- ~'а представляет собой отношение двух снл, то она безразмерна и поэтому не зависит от применяемой систеиы основных единиц.
В этом можно убедиться н непосредственно, если для рассматриваемых величин ввести их размерности. В технической системе основных единиц 18 законы подовия Так как величины р и р встречаются часто в сочетании ~-, то для этого р' отношении ввели обозначение / и называют его кинематическим коэфициентом вязкости, или просто кинематической вязкостью. Размерно/г стью кинематической вязкости будет —.. Полученный нами закон подобия (1) впервые открыл Осборн Рейнольдс (ОгЬогпе Кеупо!бз) при исследовании течений жидкости в трубах, к которым мы еще вернемся в № 28.
Поэтому величину — ~'а= - называют числом Рейнольдса и обозначают ее буквою /г. Ниже р 1/а н а мы увидим, в какой широкой мере введение втой безразмерной величины открыло путь дальнейшему развитию современной гидродинамики Прн помощи числа Рейнольдса для большого числа явлений течения была обнаружена до того неизвестная внутренняя связь. 5.
Заков подобии при учете сил ииерции и тяжести. В прелыдущем номере мы предполагали, что лействие силы тяжести не проявляется (так как не было свободных поверхностей). Теперь мы нгп я выражение закона подобия, учитывая силы инерции и силы тяжести и пренебрегая силами трения и сжичаемостью, Для этого мы опять математически выразим, что для механически подобных течений в подобно расположенных точках отношение сил, действующих на элемент объема в этих точках, должно быть постоянно в каждый момент времени. Следовательно, в нашем случае во всех точках, подобно расположенных относительно обтекаемых тел, должно быть одинаково отношение силы инерции к силе тяжести. Так как сила тяжести на единицу объема равна весу единицы объема у=рх' (// — ускорение силы земной тяжести), то достаточным и необходимым условием геометрического подобия спектров линий тока (если при этолг ие учитывать вязкости и сжимаелюсти) будет: ди ри— сила инерции ах = — — ' = сопз1.
силл тяжести ри аи 1/з В № 4 мы вилелн, что и — изменяется пропорционально — (где 1' азах а начает скорость вообще произвольную, но характерную для рассматриваемого течения, а а — такую же длину), следовательно, написанное равенство можно написать также в виде: (2) сила инерции 1'Я = — = сопз1. сила тяжести ад Этот закон подобия был найден Фрудом ') и поэтому называется законоч 1/Я Фруда. Отношение —, прелставляющее собой опять безразмерное число, аа ' называется числом Фруда и обозначается буквою /и, Закон Фруда находит широкое применение везде там, где вследствие наличия свободных поверхностей жидкости проявляется действие силы тнжестн, так, например, в первую очередь, прн исследовании моделей ~) угон д е: Тгапг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
