Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 5
Текст из файла (страница 5)
о1 Ше 1пг1. о1 1Чача! Агсп., т. 11, сгр. 80. 1870. закон подовяя пги ьчвтв сил ин..гции и тяжвсти 19 судов. Если, например, величина модели равна '1, величины судна в натур, то для того, чтобы число гч было постоянно, на основании закона Фруда необходимо испытывать модель сулиа при скорости в 1О раз меньшей той, которую будет иметь судно в натуре.
Только тогда формы линий тока, волн и т. д, при испытании модели будут подобны соответствующим формам при движении судна в натуре. В то время как при учете вязкости и инерции, но при пренебрежении тяжестью, механическое подобие возможно только тогда, когда при уменьшении линейных размеров модели соответствующим образом увеличивается скорость, закон подобия Фруда требует в этом случае уменьшения скорости. Отсюда видно, что сочетание обоих законов подобия в предположении одинаковой жидкости невозможно, т. е.
для одинаковой жидкости не может быть никакого закона полобия, который учитывал бы одновременно и сичы инерции, и силы трения, и силы тяжести. При помощи применения жидкостей с различной кинематической вязкостью оба закона подобия могут быть принципиально объединены, однако, практически это не имеет почти никакого значения, так как в нашем распоряжении не имеется жидкостей с достаточно раззичной кинематической вязкостью.
В самом леле, если явлению в натуре приписать индекс 1, а испытанию модели — индекс 2, то нз равенств У а, Ухчв У1 Ух т и ад аж следует, что кинематическне вязкости применяемых жидкостей должны относиться, как з ' =( — ') или — '= ( — х) При испытаниях моделей судов величина результирующей сил трения, т. е. сопротивление трения, обычно такого же порядка, как и величина снл инерции и сил тяжести 1сопротнвление давления и сопротивление волн).
Из этого положения выходят, по Фруду, тем, что при помощи особых опытов определяют сопротивление трения модели и вычитают его из измеренного сопротивления; остаток на основании закона Фруда пересчитывают на судно в натурзльном размере и опять прибавляют соответствующее сопротивление трения. Однако, этот спссоб страдает большой неточностью, так как остаточное сопротивление, полученное в результате вычитания сопротивления трения, не совсем не зависит от вязкости; при этом неточность теы больше, чем меньше применяемая модель. По этой причине в судостроении пользуются для испытаний относительно большими моделями примерно в 5 и больше метров длиною.
Предположение о несжимаемости жидкостей и газов, которое мы сделали при выводе обоих законов подобия — Рейнольдса и Фруда, надо понимать не тзк, что жидкости и газы несжимаемы абсолютно н во всех случаях, а в том смысле, что прн рассматриваемых движениях влияние сжимаемости настолько мало, что им можно пренебречь. О том, в какой мере в этом смысле газы могут рассматриваться несжимаемыми, было сказано в главе ХШ первого тома. 2" законы полозив :)лч тех слу"аев, когда влияние сжичаемости настолько велико (июнь большие скорости илн рази сти высот), что лля ргысчатрив"ечого явления оно ичсет существенное зна ~сннс, монгно состзвить специальный д:и эгих с лучаев закон подобия, учитывая, напри:ер, сичч инерции и с кичасмость.
Однако, и здесь при попьпке учесть третий фактор (например силу тюкестн или вязкость) состав ение закона подобия ока;,~вается невозчыкнызп Тзк кзк сочетание инерпии, тяжести и сжичаемости астре жется в бо гьшннстве пете~ рологи ыскнх гшленнй, то исследов ание тех из них, в которых укззанные тра фактора имеют существенное значение, при помопти испытаний иа моделях — невозможно. б. Вывод:акоиа подобия 1'ейнольдва из уравнения НпвьеСтою а.
Не останавливзясь злссь на выводе обпгих у звнеиий движения вязкой жидкости (сч. гл, !Ч), укажем только, что влияние внутреннего трения сказывается в точ, что к силач на едилипу обьемл в правой части уравнения Эйлера для жидкостей без трения (см. М вб первого тома) прибав жется еще лен )хднф.
Следовательно, урзвненне Эйлера, распространенное иа случай вязкой жидкости, так называемое уршнение движения Нзв е-Стокса (г)зч(ег, Я(окез), имеет слелующуго форму; дш 1 » аг + пг о ятаг( т = й — — пгас( р + — дш. г Р Если в дальнейшем предположитгч что плотность во гсей жидкости постоянна, и понимать под р не полное давление, а разность между полным и весовым давлениями, то тогда д йствле тяжести ви) гр ~ жнлкости, как мы видели в М 2 (см. также Я бй первого точа), кочпенсируется статической подьечной силой, и вышепаписанное уравнение дви,кения примет форму; зш — шо дгас) пг = — — пгаб р ч'- — дш.
1 (3) ш Р Р Необходимо особо подчеркнуть, что исключение силы такести благодаря действию подьемной силы возчожно только внутри жидкости, так что те явления движения, при которых имеются свободные поверхности, должны остаться вне нашего рассмот)зевая, и далее, что плотность должна считаться всюду постоянной, т. е, нсидкость должна предполагаться нес,кючаечой.
Так ьзк лиференпиальное уравнение лвижения не должно зависеть от выбора елинип для различных втодяпгих в уравнение физических величин, как скорость, давтение и т, д,, то от произвола этого выбора мы можем освобо гыьсп если вместо переменных диференпизльного уравнения авелем новые беар змерные переменные. Сделаем это следующим образом: для оп елеленного явления движения выбереиг в качестве елинип измерения некоторые величины, саян по себе п;онзвольные, но лля рассматриваемо~о явления — характерные (например скорость натекания Ь' на фнг. 4, радиус а шара и т, д.), и числа, выражающие результаты измерения при помопги эчих елинип, введем в качестве новых безразмерных пе;еменных в уравнение движения.
ВыВод зАконА половин Рсйнольдса из УРАВнен!!я нАВЬГ-стоксА 21 Следовательно, если )г, а, р и 12 суть постоянные вели шны, харак. терные длв рассмагр.!ваемого явлешш, то скорос!ь . .. . ш = тгйг, алина .. . .. . т= аЕ, хвален не .. Т = Р'2Р. время .. где йг, !'., Р и Т суть безразмерные числа, в которых ныражены результаты измерения физических величин ш, 1, р и г в единицзх )г, а, 22! и ! . Если теперь эти безразмерные ветичины йг, 1., Р и Т ввести в урзгнелие дви,кения, причем учесть, что символ я!ай означает одно. крат:ое диференцирование по месту, а символ й — дв кратное диференцнрование по месту, следовательно, при введении единицы дтины а ! ! перв сй из ннх должен быть умножен на —, а второй — на —,, то в!!за аэ ' сто уравнения (3) получим: !' Ъйг И2 1 Тч 1' — -- + — — Иг2игаб Иг= — — — ' я!аб Р+ — — Ьйг.
(4) ЬТ а л й ая Нри этом еднницз скорости (г не является незав;!симой от единицы !т длины, в чем легко убедиться, если в раэенстне ш = — —, опреде- 2ТГ ' лающем скорость, сделать такую же замену пер менных, как и в уран. нен.,и Нав:е-Стокса. Следовательно, необходимо, чтобы было удовлетвол рено уравнение )г= —, например соответствующим выбором единицы времени 1!. Но в таком с.чучае, определяя ото!ода г! и подставляя в коэ- И фициент — при перном члене левой части уравнения (4), нолучзе 1/2 г, а (что, впрочем, мы долнгны были бы потребовать и на основании погле- 1 '2 дующего).
Поэтолгу после деления обеих частей уравне !ня (ч) на - полу- а чаем: Ъйг — + И'2 пгаб И'= — — ' пгаг) Р+ — Ьйг. Р~ Ъг г Ря Га Тзк как подобие течений ознзчзет тождественность решений относи. тельно безразмерных переменных, то отсюда следует, что диференциальные уравнения различных геометрически подобных течений 2!Ог)т отлн. чзться только т!ножи!еле!!, обшим для всех членов уравнения. Частное — ', представляет собой отношение дав!ения, характерного ,! 2 для рассматривземого явления, к удвоеннот!у динамическому давлению и для геочетрн !еского подобия не имеет з !ачения, так как давление представляет собой тотько пзсснвн!!о реакцию про!ив изменения обьема.
Тзкит! образом получается тот же результат, что и в Ы 4, име !но: для 1 геометрн !Сски подобных тс !Сний !исло — — — — должно быть постояна 22' ным, следовательно, должно быть постоянныч и число г7, законы пОдОБия 7. Связь между соображеиияии о подобии и соображеиияии о рвзиериостях. Все физические законы могут быть представлены в форме, освобожденной от единиц, специально примененных для измерения величин, входшцнх в рассматриваемые законы. Слеловзтельно, в эгу форму булут входить только отвлеченные числа (отношения физических величин), и поэтому соображения о подобии могут быть заменены соображсгпгямн о размерностях.
Из физических величин, вхоляшнх в уравнение Навье-Стокса, единица времени огнозиачно определена через единицу скорости )г и через единицу длины л, давление же лля геометрического подобия течений не имеет зн;шения. Следовательно, сушественными для спектра линий тока являются величины: скорость )г, характерная длина а, масса единицы объема р и вязкость р.
Нозьмем техническую систему основных единиц, т. е. сисгему из единицы силы К, единицы ллины й и единицы времени Т, и вьасним, можно ли составить пз величин )', а, р, р такую комбинацию рь ат.р )г', которая представляла бы сооой отвлеченное число, т, е, имела бы размерность 1; с,теловате ~ьно, надо так полобрать степени л, б,;, 6, чтобы [)Г..ла.рт, цт) Ко. (О, Та ! Я) Лб.''КггтгК" гг [И а1 рг р") = ' ' — - =Кзйзуе. Т!'тйй Приравнивая показатели степеней величии К, (. и Т слева и справа, получаем три уравнения для определения р,; н 3: + О =-. О, (а) (Ь) (с) 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
