Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 95
Текст из файла (страница 95)
1Ч; тогда получим рТ вЂ” = ра — Уы. вь (151) Ф $ ОЗ ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЯ ЭНЕРГГ!И В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 413 Согласно этому уравнению изменение энтропии в потоке вязкой жидкости происходит по двум причинам: либо за счет притока тепла д, кснбо за счет потерянной мощности внутренних сил ( — йс„).
Отвлекаясь от притока тепла извне, т. е. считая движение адиабатическим (у=О), накажем, что при течении несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворя- южей обобщенному закону Н ь ю т о н а (9), величина ( — У„) неогрица- ггвьиа н, согласно (151), соответствует в общем случае увеличению эн- гроиии.
Имеем по (19) гл. !Ч и (9) настоящей главы — й(,„=Р 5=2р5 5 — рЕ 5 мн, замечая, что для несжимаемой жидкости (в буквенной индексации) Е 5 = — + — + — =б!чу'=О, ди до сйе дх ду дг — )Чс„= 2р5а ь О, гне (при составлении этой суммы учтено, что квадраты одинаковых не- нннгональных членов попарно объединяются) Равенство (! 51) приобретает теперь вид рТ вЂ” = — Уг„= 295а, да дс (! 54) огкуда прямо следует, что мощность внутренних сил вязкости вызывает рвеничение энтропии, так что работе сил вязкости соответствует необ- рогиямй переход механической энергии в тепло — ее диссипация. Вве- ден для взятой со знаком минус мощности внутренних сил вязкости ( — Ун) обозначение $Ч,„„положив й(„,=2$А5', (155) где 5' определено правой частью (153).
Энергия, диссипированная в единицу времени в конечном объеме т, определится интегралом Лга., = ~ гЧя„,с(т = 2$$ ~ Вас(т. (156) формула (155) позволяет ответить на вопрос, существуют ли такие мнжения вязкой жидкости, при которых механическая энергия не рас- сеивается (не диссипируется) по потоку, Подчеркнем, что диссипированная энергия как сумма квадратов яв- ляется величиной неотрицательной, что соответствует ранее отмеченной воножительности прироста энтропии, выражающей необратимость пере- вода механической энергии потока вязкой жидкости в тепло.
Из выра- жений (153) и (155) следует, что единственным движением вязкой не- сжнмнемой жидкости, не сопровождаемым диссипацией механической внергни, является квиэигвердое ее движение, в котором все слагаемые в квадратных скобках — квадраты скоростей деформаций — обращаются внуль по отдельности. Понятие диссипированной энергии легло в основу установленного Гекьмгольцем ') принципа «миннмума диссипированной энергии», спра') Не1пгьо$1г Н. Хпг Тьеоне нег асаиопагеп 51гдгпе 1п гегЬепдеп Гсйва|аке!- На.-Чегнапд$ ссег па1пга!Ы.-пгеп. Чегеспев.
30 ОН1. 1868. ГЛ Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 414 ведливого для всякого «медленного» стационарного движения, допуска. ющего отбрасывание инерционных членов в уравнениях движения ке. сжимаемой вязкой жидкости, под действием консервативного поля обь. емных сил. Сравним между собой действительное «медленное» движение в яе. которой области, ограниченной замкнутой поверхностью о, с произвольным другим движением той же (несжимаемой, вязкой, ньютоновской) жидкости, совпадающим с ним по скоростям на поверхности о. Обозна. чим через У, Р и 5 вектор скорости, тензоры напряжений и скоростей деформаций в действительном движении, а буквами со штрихами- разности между этими величинами для произвольного и действительно.
го движений, так что для произвольного движения вектор скорости а тензоры напряжений и скоростей деформаций будут равны У+У', Р+Р', 5+5'. Составим, согласно (!56), выражение мощности ?у„„, диссипируе. мой при пропзэольно?и движении жидкости в объеме, ограниченном ао. верхностью а; найдем й?»„= ')(Р-!-Р) . (5-)-5~) ? = т =Г)Р 5~(т+ ) Р ° 5'Ит+ ) Р' ° 5?(т+ Г)Р ° 5'«(т, (Щ Первый интеграл представляет мощность ?У,„„диссипированнук? В г)ействительно?я движении. Второй и третий интегралы равны между со.
бой, Действительно, согласно равенству (9) настоящей главы, Р 5'=2р5 5' — пЕ 5', Р'.5=2р5' 5 — р'Е.5, причем для несжимаемой жидкости Е.5ъ=б?ч У'=О, Е 5=б(ч У=0, следовательно, Р 5'=Р' 5. Докажем, что при сделанных предположениях эти два интеграла равны нулю. Для этого вычислим выражение (суммирование по повто. ряющемуся индексу!) , дрп д, ду1 У' Гд(ЕР— б)ч(РУ') = Ус — ' — — (рпУт) = — рп — = дх; дх.
дх,. = — — Рп ( — + — ) — — РП ~ — — — ) = — РП5О= — Р 5', 2 (, дхТ дх? ) 2 дх дх; ) после чего получим ~ Р ° 5'Нт= ) б!Ч(РУ') ?Ут — ~ У' . П)ч Рг(т. По формуле Гаусса — Остроградского ) б(ч(РУ') Нт = '! (РУ')„т(п = О, так как по условию У'=О на поверхности о. Принимая далее во внимание, что действительное медленное стационарное движение при наличия консервативного поля объемных сил с потенциалом П удовлетворяет уравнению в напряжениях — угас( П + — П)ч Р = О 1 ?? 1 ЗЗ.
ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОП ЭНЕРГИИ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 415 3 тть вследствие этого (с!!ч У'=О по условию несжимаемости) — У Гз!ТР= У' дгайП=б!ч(ПУ ) — Пй!ЕУ =с)!н(ПУ), Р зьлучкм, вновь применяя формулу Гаусса — Остроградского и исполь- зуя условие У'=О на о, — ~'У' . Гдзчрйт= ~6!ч(ПУ')йт=~ПУ.'до=О. Р Наконец, четвертый интеграл, по предыдущему, может быть предстзвлеи в виде неотрицательной величины 2!» ) 5' йт.
с Вернемся теперь к равенству (15?) и перепишем его в виде ~'дис — д'мис = 21» ) 3' йт ~ О. с (158) Отсюда вытекает следующий принцип Гельмгольца: механическая змргия, диссипируемая при действительном «медленном» стационарном Взгзгении вязкой несжимаемой жидкости в некотором объеме, не больмг, чем в аналогичном произвольном движении несжимаемой жидкости с тгм же распределение»з скоростей на поверхности, ограничивающей зтьт объем. Принцип Гельмгольца можно трактовать как вариационньзй принззл минимума диссипируемой энергии 6 ) 53 йт = О. (159) Зют принцип является в известной степени аналогом принципа миник)ыа потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теодда упругости.
Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкосте, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории 1другьсти, может быть положен в основу применения прямых методов ззраацнонного исчисления для решения задач о «медленном» движении. Необратимость процесса диссипации механической энергии обусловзнаает тот факт, что приведенная в движение и предоставленная сама себе вязкая жидкость рассеивает (диссипирует) сообщенную ей механнческую энергию до тех пор, пока не придет в состояние покоя. При 3юы механическая энергия, сообщенная некоторому объему жидкости, будет днссипироваться не только в том же самом объеме жидкости, а дзчнет постепенно распространяться по всей области, занятой потоком, дсрграспределяться в ней.
Это распространение, нли, как говорят, дисзерсия механической энергии осуществляется двумя отличными друг от друга процессами. Первый заключается в простом переносе энергии потоком жидкости и носит наименование конвекции. Второй является результатом наличия в жидкости внутримолекулярного переноса; его называют диффуэией. Природа этого процесса та же, что и у вязкого тредгл, которое, как уже ранее упоминалось, представляет собой макросдьааческое проявление микроскопического (молекулярного) переноса колечества движения. у молекулярного переноса — диффузии механической энергии и здглогичного переноса количества движения — вязкого трения — общей носитель и, как далее будет выяснено, общий коэффициент переносз (диффузии) — кинематический коэффициент вязкости ч. В дальней-- 446 ГЛ.
Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ шем придется встретиться с процессами переноса других величин: за. вихренности, тепла (теплоперенос), вещества (массоперенос). Носителями всегда будут служить молекулы в их тепловом движении, но нз. ряду с коэффициентом т для завнхренности, появятся и другие коэффициенты переноса.
Так, в случае теплопереноса будет использован ко. эффициент температуропроводности, в случае переноса вещества — коэффициент массопроводности. $ 94. Диффузия завихреиностн Выпишем уравнение Н а в ь е — С т о к с а в форме, аналогичной уравнению Г р о м е к а — Л а м б а (32), но вернемся к исходной форы записи вязкого члена — т го1 го1 У=М7'У. К левой и правой частям таким образом полученного уравнения — + го1 У х У = — йтаб !1 — + П + У) + т7АУ (!60) д!с I У1 дг 1 2 применим операцию вихря го1. Тогда, не повторяя выкладок, произведенных в конце $29 гл. Ч пра выводе уравнения Г е л ь м г о л ь ц а (16), и замечая еще, что го1(7'У) =7'(го1 У) =7'й, получим уравнение дисперсии (распространення) завихренности в вяз.
кой несжимаемой жидкости — +(У 7)й=(й 7)У+т7'й дг или в более короткой форме, вводя в левой части индивидуальную про. изводную й по 1, — =(й 7) У+т7зй. (162) ш Уравнения (161) и (162) можно рассматривать как обобщение уран. пения Гел ь м гольца (!6) гл. 7 на случай несжимаемой вязкой жид. кости. Последний член справа представляет собственно диффузию завах. ренности й, причем роль коэффициента диффузии играет кинематический коэффициент вязкости т. В случае плоского потока вектор й перпендикулярен к плоскости течения, а величина (й 7) У, пропорциональная производной от У по направлению перпендикуляра к этой плоскости, равна нулю, так что уравнение (162) в плоском потоке примет вид — = — +(У 7)й=т7зй, (163) Рассмотрим простейший процесс диффузии отдельной прямолинейной вихревой нити в неподвижной на бесконечном удалении от нее жид.
кости. Пусть в некоторый момент времени 1=0 в вязкую несжимаемую жидкость введена бесконечная прямолинейная вихревая нить, которой в перпендикулярной к ней плоскости соответствует вихрь с циркуляцн. ей Г и полем скоростей Г У=— 2ят $9« ДИФФУЗИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ 447 Такое поле может существовать как в вязкой, так и в идеальной явяяости, поскольку плоское безвихревое поле скорости с потенциалом ~ 'г я= ке~ — 1пг)удовлетворяет условию у'ор=О, а единственное гранич! 2гп вм условие !г- () при г-+.со, очевидно, выполняется. Разница лишь в гон, что в идеальной жидкости нет рассеяния (диссипации) энергии и введенный в идеальную жидкость вихрь будет существовать бесконечво долго, а в вязкой жидкости для поддержания движения с полем ско!оотей У=Г/(2лг) необходимо все время подводить энергию, например, вовщая в жидкости тонкий цилиндр, являющийся источником завихренности.
рассмотрим теперь нестационарный процесс, который возникнет, воля в начальный момент 1=0 из индуцированного вихрем движения вязкой жидкости изъять источник завихренности. Предполагая движение плоским и, в силу симметрии, с круговыми вявяямн тока, опустим в уравнении (163) конвективный член !г дгад 1?, оввяый нулю, так как вдоль линий тока завихренность сохраняет постоявяое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
