Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Отметим еше раз существенную особенность течения: потребный ддд получения заданного расхода перепад давления на данном участке трубы, называемый сопрогивлениеле этого участка, обратно пропорциочадеа четвертой степени диаметра трубы (напомним, что в случае плосюб трубы этот перепад обратно пропорционален третьей степени ширины зазора между плоскостями). Это обстоятельство имеет важное мдчеиие в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы малого диамет)е (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные сосуды ит. п.), а также в случаях движения очень вязких жидкостей. Определим, подобно тому как это было ранее сделано для плоской трубы, коэффициент сопротивления А круглой трубы формулой (78) 2 ГЛ, Х, ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 892 имеет вид квадратичной зависимости от средней скорости.
Истинная зависимость от скорости определяется лишь на основании закона солро. тивления (79), выводимого из уравнения движения жидкости. Формула (79) останется верна и для эллиптической трубы, еслз под ее эффективным диаметром понимать величину д, квадрат которой представляет собой среднюю гармоническую от квадратов большой 2 малой осей эллипса 1 1 Г 1 1 1 ! аа + ЬА Р 2 Ь(2а)' !2Ь)'Э 8 а'Ь' в чем легко убедиться, подставляя в (78) выражение из (74). Распределение скоростей (75) в цилиндрической трубе круглого се.
чения можно получить и непосредственно, заменив в левой части урав. пения (59) лапласиан его выражением в полярных координатах. Будев иметь по (85) гл. 1 при цилиндрической симметрии и отсутствии азиму. тальной составляющей (80) Интегрируя, найдем общее решение !е = — — г' + С 1и г + С . ар 4!и (81) Из условия ограниченности скорости на оси трубы прц г О следует, что С,=О; вторая постоянная найдется из условия ге=О при г=а, что приведет к параболическому профилю скоростей (75).
Решение (81) представляет ббльшую общность, чем ранее приве. денное (75). Так, например, пользуясь равенством (81), получим рас. пределение скоростей в области между двумя соосными круглыми ци. линдрами радиусов а и Ь)а. Подчиняя решение (81) граничным уело. виям ге=О при г=а и г=Ь, .+ г' 3 х (боковые стороны). Составляя обращающееся в нуль на контуре сечения треугольной трубы произведение у (у — 1ГЗх — — ) (у+ ~73х — — ), получим распределение скоростей в сечении (82) а также формулы расхода и средней' скорости кар г (Ьз — а')А1 Лр Г А Ьэ — ач Ч !г = — ~ЬА — а4 — 1, ш,г — — — ~ЬА+ аз — — 1 . (83) 89! ( !п(Ыа) э' 8р! ь !Е(Ь/а) э' Приемом, аналогичным использованному при составлении решения (69) для цилиндрической трубы эллиптического сечения, удается по.
строить решение для призматической трубы, сечением которой служит равносторонний треугольник. Направляя ось Ох по основанию треуголь. ника, а ось Оу — по высоте, будем иметь уравнения прямых, образующих стороны треугольника (а — сторона): у О (основание)„у= — ш ~з 2 я вя пРимеРы Решения уРАВнений нАВье — стоксА 393 убедимся, что лапласиан в плоскости (х, у) от этого произведения равен постоянной величине ( — 2а)сЗ); следовательно, искомое решение будет се= Р у у — '1с Зх — ' у+ ~с Зх — ' Секундный объемный расход сквозь сечение треугольной трубы н средняя по сечению скорость равны ав$~ 3 ЛР ав ЛР с ср— 320 Р! 80 Вс! Коэффициент сопротивления рс в формуле Р сь Ьр а 2 булет, как и в предыдуших примерах, обратно пропорционален рейнпльдсову числу авм а — + — = — 1, абв а в при $=~х, !т1) <1 и при т1=-1-1, !$! <х.
этого уравнения воспользуемся известным рядом (85) Для решения фурье ( — 1)л 2п+1 )х/4, если 1б!< 1, 2п+1 2 10, если !б~= 1. (86) Тогда уравнение (85) можно представить в виде (!9! <х) дссь' дсв' 4 ( — 1)л ! 2п+1 и — + — = — — ь, соз ~ — — ь), д1в дч!с и ~.' 2п+1 ~ 2 х л=с рспсеане этого уравнения естественно искать в форме ряда /2л+ ! п и'= ',~~ У'л(т!) СОЗ ~ — — '9), 2 х ) л=с внотором, согласно (86), первое граничное условие системы (85) уже внлолнеио.
(87) (88) рс= —, ке= —. 180 сьсьа ие Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу и протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу тврямоугольнпгл сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Оу„ перез 23, а основание, параллельное оси Ох, через 2хй, где х — любая положительная постоянная.
Ось Ог, как и ранее, проведем через центр прямоугольника и направим вниз по потоку. Преобразуем уравнение (59) к безразмерному виду, приняв за масштаб длин высоту Л, а за масштаб скоростей — имеющую размерность Л' ЬР снорости величину — †. Введем следующие обозначения для нор ! выл безразмерных переменных 3, в) и и*с — ц= — ", ш'= —" х Р, мн! (84) Л Л !РЬР Подставляя их в (59), составим безразмерные уравнения и граничные условия ГЛ. Х ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОИ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ Подставляя разложение (88) в уравнение (87) и приравнивая ко. эффициенты при косинусах с одинаковыми аргументами, получим систе. му обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих означает пра. изводную по т)) о 4 — 1)л )л ( ) !л — о (89) У„=О при т)=~1 (п=О, 1,...). Общие решения этих уравнений можно представить в виде Ул = А„+ Вл с)т ( — — т!1 + Сл Й ! — т!), 2 х 2 х где постоянные А„определяются путем непосредственной подстановка выражения (90) в уравнение (89) и оказываются равными ( — 1)л 2 х ! 6хо ( — 1)л 2„! 1 л со тсо (2л+ 1)о ( — -л)' 2 х/ (91) а постоянные В„и С„находятся из граничных условий (89), т.
е. из са. стемы уравнений Таким образом, найдем Ал Вл= — ", Со=О (а=0,1, ...), (2л+! л ) (92) где числа А„уже определены равенствами (91). Возвращаясь к (88), найдем искомое решение в безразмерной форме соз ( — $) (93) „(2л+1с ) и в размерной о(о"о~ о) 1 !6хо Асар ( — 1)л ш = — — ~~ ло )с! (2л Ь!)о л=л соз ( ' — ) . (94) (2л+! х ) (95) 7'(х) = — — — (!)с — + — !)с — '' +...), 16 1024 Г лх ! Зсгс 3 лох (, 2 Зо 2 Опуская простые вычисления, заметим, что секундный объемный расход Я и средняя по сечению скорость пс„ будут определяться равен. ствами (параметр х) ! представляет собой отношение ширины прямоугольного сечения 2х/г к его высоте 2а) ар О Арал (~ = — х)со7" (х), ю,р — — — — — р ! (х), 4р! 4хьо !6р! $8О.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 395 з функция 1(х) имеет следующие значения: !0 42 !00 ! 1(к) 2,249 4,213 4,661 5,300 5,333 4,997 5,053 3,659 5бр= ~т а(з .1=Р— ! т дз 1=РТ„У, Р,) Относя расход Я к ширине трубы 2хй, т. е. вводя величину 0)(2хй) и после этого переходя в выражениях Я' и тв„к пределу при л+ао, найдем по последнему столбцу таблицы ДРЛР ЬРЛ» 1б 2 АРЛР АРЛа 16 ! ЬРЛа я' = — у (х) -р — — = — —, та,р -» — — — — —— 8Р1 бтьг 3 3 Рг !бит 3 3 зьг аполвом соответствии с формулами (63) и (64) для плоской трубы. йолагая в соотношениях (94) и (95) х=1, получим решение задачи о течении несжимаемой вязкой жидкости по призматической трубе квадратного сечения. Вводя, как и ранее, коэффициент сопротивления уь формулой Ртьср уьр=й —— 2Л 2 л выражая в левой части Ьр через ш„по второму равенству системы (95), найдем после простых преобразований закон сопротивления призлзтлческих труб прямоугольного сечения Х= — —; йе= !26 1 ~аср2Л (96) Яе У(х)' к Переходя к пределу х-~со, получим вновь закон сопротивления плоской' трубы (66), а при х=!, по только что приведенной табличке, и заков сопротивления трубы квадратного сечения.
Для приближенной оценки сопротивления цилиндрических или прагматических труб сложного фигурного профиля применяют прием сравнения сопротивлений этих труб с эквивалентной им по сопротивлению трубой круглого сечения, у которой за радиус (или диаметр) принилзется так называемый «гидравлический» радиус г, (или диаметр с(„= =уг,), равный Отношению площади нормального сечения 5 трубы (рпс, 150) к периметру Р сечения: ! 5 гг= а(р= 2 Р Прием этот очень груб и имеет смысл только, если у сравниваемых тууб сечения геометрически близки друг к другу.
Чтобы пояснить смысл этого приема, установим сначала связь между перепадом давления Лр на некотором, произвольно выбранном участм трубы 1 и суммарным трением по внутренней, как говорят, «емоченлой» поверхности этой трубы. Примем во внимание, что, как указывалось в начале параграфа, движение жидкости во всех сечениях одинаково. Это соответствует равновесию объема жидкости, ограниченного двуля сечениями (рис. 150) 5,=5,=5 трубы, находящимися друг от друга аз расстоянии 1, н боковой поверхностью трубы, равной произведению периметра сечения Р на длину участка 1.
Условием равновесия служит очевидное равенство (т.— переменное по периметру сечения напряжение трения, дз — дифференциал дуги периметра) ГЛ. Х. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 396 где т означает среднее по периметру напряжение трения т„. Отеюдз, используя введенное понятие гидравлического радиуса, получим Ьр тч» гы (9Л т. е. среднее по периметру цилиндрической (призматической) трубы нв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
