Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 91
Текст из файла (страница 91)
пряжение трения равно перепаду давления на участке трубы длиной в гидравлический радиус. В частном случае плоской трубы с расстоянием между параллель. ными плоскостями 2)т будем иметь на единицу длины в поперечном х потоку направлении 5=2)ь 1, Р=2 1, т„=5)Р )т, й„26; в круглой трубе радиуса а— 5=па', Р=2па, г„=а)2, 41, а.
Напряжение трения т„в круглой трубе совпадает по величине с перепадом давления на участке длиной в полрадиуса трубы, т. е. Ьр а 1Ьр т = — — = — — й. 2 4 (98) Аналогично для напряжения трения т на проведенной внутри круглой трубы коаксиальной цилиндрической поверхности произвольного ра. диуса г будет Ьр г 1 2 следовательно, деля обе части последних равенств одно на другое, по. лучим соотношение (у — расстояние поверхности от стенки трубы) т=т~ — =т,„~1 — — ~ » ут а а) (99] 9 90.
Установившееся движение вязкопластической жидкости по цилиндрической трубе кругового профиля Рассмотрим установившееся ламинарное движение по цилиндриче. ской трубе кругового профиля вязкопласгической жидкости, реологическое уравнение течения которой, согласно помещенному в начале $85 выражающее линейность связи между напряжением трения, приложен. ным к площадке, перпендикулярной к вектору-радиусу любой точки векоторого сечения относительно центра сечения, н величиной этого вектора-радиуса. Подчеркнем, что при выводе соотношения (97) никак не использовалась ламинарность движения и свойственная этому режиму эпюра скоростей. Соотношение (97) может быть применено и к турбулентному движению жидкости по цилиндрической (призматической) трубе произвольной формы сечения, точно так же как равенства (98) я (99) — к ламинарному и турбулентному движениям в цилиндрической трубе круглого сечения и в плоской трубе.
Более того, эти равенства, выражающие баланс движущего жидкость перепада давления с тормозящим движение сопротивлением тре. ния, могут применяться к движениям любых сплошных сред по цилиедрическим трубам, в частности к движениям неньютоновских жидко. стей. Простейший пример такого движении составит содержание следующего параграфа. В вк гсткновившвкся движении по цилиндричнскои тргвн 397 ровенству (14), представим в форме (г — текущий радиус точки, а — ра- лаус трубы) т — то чего е= — — = !о' аг 0 пр!' то(т(т«ь при т~т .
(100) Напомним, что в этом равенстве т — напряжение трения в любой моне сечения трубы, приложенное к площадке, перпендикулярной к ра- лнусу трубы, т,— харакгерное для данной вязкопласгической жидкости ш пуедельное напряжение, рого только и начинается ч гечекие жидкости; !!в 1 ! л!намнческий коэффици-, ~ ш, шо енг структурной (пласти- Т ш чесной) вязкости. В связи с тем, что гранвнн применимости реологического закона (100) Рис. !5! тказвны в величинах т, ллн облегчения интегрировании этого равенства полезно принять в ка- честве аргумента само напряжение т. С этой целью, пользуясь равенст- вок (99) предыдущего параграфа, перепишем (100) в виде т — то йь агь Нт тш аш, 'го( т(тш гч аг ат аг а ат р т го (101) Несложное интегрирование при выполнении очевидного граничного !кновнн ге=О при т=т. приведет к следующей связи скорости с напряженнем трения в той же точке: т„а 1 — ~! — 2 — "+ — ) 1 — — ~ т,(т(т.
т~о то —, ( 1 — — ) = сопз! = гр„ т = — то. 2!С ~ т,„) (102) Напряжение т может быть выражено по (98) через заданный перепел давления Лр на участке длиной 1. Уравнение (102) дает следующую ' 21«о ! . лпюру скоростей (го = — !: Л 1' а«Лр Г го 4!то 1 — [! — — — — )! — — )~, г,(г(а, 4и'1 ~ ао азр ! а, а'Лр Г 21то ~ 0(г =г,. 4!о'! ~ аЛр ) (103) Как видно, эпюра скоростей состоит частью из поверхности параболонда вращения (от стенки трубы до цилиндрической поверхности рай!уев г,), а частью из плоской площадки, перпендикулярной к оси труНы (в центральной части трубы внутри только что указанной цилиндунческой поверхности) (рис. !51).
В этой центральной части трубы вязноплвстическая жидкость движется, как твердый стержень. При ЬргЫ И2т,го такой «твердый стержень» заполнит все сечение трубы и по свойгтву «прилипания» вязкой жидкости к твердой поверхности жидкость останется неподвижной. 398 Гл. х. динАмикА несжимлемои вязкои жидкости Если в равенствах (103) положить г,=О, что соответствует т,=й, т.
е. перейти к обычной ньютоновской вязкой жидкости, то эпюра скорэ отей приведется к известному уже параболоиду вращения, а плоская площадка исчезнет. Имея эпюру скоростей, легко определить секундный объемный рас. ход Я вязкопластической жидкости сквозь сечение трубы. Вычислензе Я можно проще всего осуществить, переходя в интеграле расхода а а а а Я= ~24пвгйг=п~ик((г') =п(гаи4] — и ~ г' — Ь = — и~~с — 4(г а Г а р ам е О О О О от независимой переменной г к т по формуле (99).
Будем иметь, вос. пользовавшись реологнческим законом (100), та ,О(, . ) 4 каО ] 1 (,4,4) ТО ( О О)1 ~т р э Заменяя здесь т. его выражением через Лр по (98), получим фор. мулу Бекингема При Т,=О и 14'=14 вернемся к известной уже формуле Пуазейля (77). Средняя по сечению скорость в„по (105) будет равна Используем ту же формулу сопротивления (78), что н для ньюто- новской вязкой жидкости. К сожалению, в данном случае равенство (106) относительно Лр просто разрешено быть не может.
Поэтому прн. меним следующий прием. Из (106) следует ~~( О )~ (107) с другой стороны, из (106) можно определнть рейнольдсово число (108) Безразмерное число рант,/]4" не содержит Лр. Оно характеризует вязкопластические свойства жидкости. Совокупность равенств можно рассматривать как параметрическое ]роль параметра играет величина 4т,Ц(аар) ] выражение закона сопротивления вязкопластических. 4 м установившиеся движннин элнктпепповодноп жидкости 999 юцнестей движению в трубах.
Исключая из последней системы разгеств параметр 4«Л(с(бр), получим егкуда следует общий вид закона сопротивления движению вязкоплапиеескнх жидкостей по трубам круглого сечения Таким образом, в теории подобия течений вязкопластических жидестей по круглым цилиндрическим трубам имеют место два критерия едобия: 1) число Рейнольдса Рюе и лзз йе= Р л (109) ырантеризующее влияние грухтурной вязкости, и 2) так называемый «параеегр пластичности» П=— теп' г Р юе ееределяющий эффект ллагмеяости жидкости.
Ю л Указанные критерии могли бы быть заменены и другими, ееедсгавляющими различные м комбинации '). лз На рис. 152 представлен зашя сопротивления (109) в логарнфмическом масштабе. Загон представлен в координатах 1~2Ре, 1дХ) в виде семейства езраллельных прямых с пара- негром П. Значению П=О со- Ркс. !52 атветствует нижняя прямая, выражающая обычную закономерность )е=64Яв для нормальной вязкой данности. Прямые семейства опираются своими нижними концами на кривую, отвечающую переходу ламинарного движения обычной вязкой ьлдности в турбулентное.
тг-г лгг дух ну~ не 9 91. Установившееся движение электропроводной вязкой жидкости по трубам при наличии поперечного магнитного поля о современных металлургических процессах широко применяют управление движением жидких металлов по трубам и каналам при помола внешних, постоянных или переменных магнитных полей. Возникавшее прн этом смешанные гидродинамические и электромагнитные проблемы входят в сравнительно новую область механики жидкости и газа, носящую наименование магнитной гидродинамики (МГД)*).
~) См. ранее уже цпткроаапяую монографию; Уилки неон У. Л. Некьютоковскее жадкеегк/Пер. с англ.— Мл Мпр, 1964. г) Основы электродпкампкк, знание которых пепбходпмо для понимания содержазее ееюаящего параграфа, а также более широкое изложение этих вопросов см. в кпм- гл. х. динАмикА несжимАемОН Вязкои жидкости Ограничимся разбором случая стационарного движения несжимае. мой жидкости, имеющей постоянный коэффициент электропроводности н находящейся под действием внешнего стационарного однородного маг.
нитного поля. Будем пренебрегать наличием в жидкости свободных электрических зарядов. Магнитную проницаемость (общепринятое обозначение 1х, которое уместно сохранить в настоящем параграфе, не следует смешивать с обозначением динамического коэффициента вязкости; приходится для последнего пользоваться выражением произведения рт плотности жидкости р на кинематический коэффициент вязкости ч) бу. дем считать одинаковой для всех жидкостей и твердых границ, прирав. кивая ее значению 1х, в пустоте. Отвлечемся, наконец, от действия всех объемных сил, кроме пондеромогорной силы (силы Лоренца) !'ХВ, где у — плотность электрического тока, возникающего в движущейся со скоростью У электропроводной жидкости с коэффициентом электропровод- ности о за счет местного электрического поля с напряжением Е и маг. нитного поля с магнитной индукцией В, определяемая обобщенным за.
коном Ома (110) ,7' = а(Е+ т' Х В). При принятых упрощениях подлежащая рассмотрению система уравне. ннй МГД сводится к следующей: р (й и) 1г = — йгаб р + рч17аГ+ ~ Х В; бзч У = О; (П 1) го1 В = ре,/, д)ч В = О; го1 Е = О, г)1ч Е = О, причем к ней должен быть присоединен закон Ома (110). Основной особенностью магнитогндродинамических исследований является тот факт, что по самому существу явлений оказывается совер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
