Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 89
Текст из файла (страница 89)
дм дг Из последнего уравнения этой системы следует, что и! представляет !обо! функцию только х и у, а из первых двух — что р — функция толью г. Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, 88 во всех таких сечениях !!определения скоростей оп!поповы, а давление меняв!оп только от сечения к се!евою, сохраняя в данном сечении одинаковое значевве. Такие движения называют усганоеиашимися. Предыдущая система равенств сводится к одному Левая часть равенства (57) представляет собой функцию только от х и у, правая — только от г; при независимости координат друг от друга зто может быть лишь в случае постоянства левой и правой частей равенства по отдельности.
Введем удобное для дальнейшего обозначение др — = сопв1 = —— дг (88) гве Ьр — постоянное вдоль трубы падение давления на произвольно выбранном участке длины 1. При установившемся движении вязкой жидкости по цилиндриче- сиоП трубе перепад давления Лр, будучи умножен на площадь сечения 1,=5,=5 (рис. 150), играет роль движущей силы бр 5, уравновешиваевой силами сопротивлений трения жидкости о поверхность трубы с равводействующей, равной ) т йз 1, где т (з) — переменное по периметру напряжение трения.
Отсюда непосредственно следует, что давление в цилиндрической трубе должно уменьшаться вниз по течению, а следовательно, Лр>О. Двв трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренвнм, твк и замедленным, такое заключение сделать нельзя. В конкретных расчетах перепад давления Лр на участке трубы дливн ! либо задается непосредственно, либо может быть выражен через вуугпе заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу, ореднюю по сечению или максимальную скорости. Гл. х. динАмикА несжимАемОЙ вязкои жидкости Уравнение (57) сводится к линейному уравнению в частных произ- водных второго порядка в плоскости Оху (уравнению Пуассона) 7»гв = — + — = — —, дала даю Ьр (59) д' др р! ' которое должно быть решено при граничном условии обращения в нудь скорости э на контуре С нормального к оси цилиндра сечения и прн дополнительном условии, определяющем либо заданный перепад даз.
ления на произвольно выбранном участке трубы, либо секундный обь. емный расход сквозь сечение трубы (или вычисляемую по нему среднюю скорость), либо, наконец, максимальную скорость на оси трубы. Поставленная задача с математической стороны аналогична извест- ной задаче теории упругости о кручении призматического стержня'), В качестве первого, иаиболе простого примера интегрирования уравнения (59) разберем плоское ламинарное движение вязкой несжв.
маемой жидкости между двумя плоскостями у=~А, которое можно представить себе как предельный случай течения по призматической трубе прямоугольного сечения, если одну сторону прямоугольнике со- хранять равной 2й, а другую устремить к бесконечности. В этом смысле рассматриваемое движение может быть названо течением жидкости сквозь «плоскую» трубу. В данном случае координата х исчезает, е уравнение (59) сводится к обыкновенному дифференциальному уравне. нию второго порядка Рм Ьр (60) дра м! и его интеграл при граничных условиях ге=О при у=~А будет ге= Р ' [1 — (~Ц .
(61) Распределение скоростей представляется параболой второго порядка. Максимальная скорость ш „достигается в плоскости симметрии потока (у=О) и равна зЛр А| гвювх = ° (62) 2 р! Вычисляя секундный объемный расход, отнесенный к единице длины в направлении Ох, перпендикулярном к плоскости, параллельно ко.
торой происходит движение жидкости, найдем л д=~ юду= — — ' 2 Ьр. Ьа (63) 3 р! -л откуда определится средняя по сечению скорость асср = — — = ил»аз. !7 ! Ьр ° Аз 2 (64) 2А 3 р! 3 Можно отметить существенное обстоятельство: при данном, определяемом мощностью и конструкцией насоса перепаде давления на участке плоской трубы выбранной длины расход пропорционален кубу расстояния между плоскостями, т. е. резко падает с уменьшением этого расстояния и, наоборот, резко возрастает с его увеличенизм. Если задаться потребным расходом, то необходимый для его обеспечения перепад давле. ний, приводящий жидкость в движение, будет меняться обратно пропор- ') См., например, Арутюнян Н.
Х., А б ра м ян Б. Л. Кручанна упругнх таа,— Мс Фнзматгнз, !963. П 5». ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 389 пппппльио кубу ширины щели между плоскостями, Как далее будет покпппво, этот факт еше усиливается при переходе к трубе круглого сечепкп, где расход пропорционален четвертой степени диаметра трубы. Вводя коэффициент сопротивления Л движению жидкости сквозь. щель между плоскостями при помощи формулы (66) 2Л 2 и используя в левой ее части выражение гйр/! через ш„, согласно (64), пп!учим закон сопротивления для плоской трубы Л= —, где йе= 24 срсряь (66) йе У Аналогичное движение будет происходить в «плоском» длинном .!мхе, у которого ширина днища во много раз больше высоты лотка (Шубины потока), если лоток наклонить. Благодаря наличию свободной мперхиости, вдоль которой давление постоянно (оно равно атмосферьпчу давлению в открытом лотке), продольного перепада давления в пп!аке ие будет, т.
е. п(р/псг=О; поперечный перепад давления будет гпдроптагическим, одинаковым во всех сечениях. Вели лоток наклонен к горизонту под некоторым углом а, то роль пйаемвой силы будет играть вектор ускорения силы тяжести. Проекция пгп пп ось Ог, направленную, как и ранее, по потоку, в данном случае ппд углом а к горизонту будет, очевидно, равна Г,=уз!па, так что )рппневие движения жидкости в направлении оси Ог будет иметь вид Лспр рд ебп а + р — = О !Пус ппп (ру 7 — удельный вес жидкости) — = — — зкп а.
Л»Я! т (67) !Пуп Граничные условия будут определяться «прилипанием» жидкости к мпщу лотка и отсутствием трения на свободной поверхности; обозначая мубпиу потока через й, получим граничные условия (ось Ог расположена вдоль днища) ш = О при у = О, — = О при у = й. скср !пу Сравнивая уравнение (67) с (60), видим, что движение в лотке букв!определяться тем же уравнением, что и напорное движение в плоскпй трубе, если положить Ьр — = рд з!и а = у зш а. (68) Интегрирование уравнений (67) при граничных условиях (68) дает ш=т' Яу(26 — у), 2кс мкуда следует, что и в этом случае профилем скоростей будет служить ппрпбола второго порядка, Приводим формулы секундного объемного йппкода, средней и максимальной скоростей; ТА»5!В Я О ТА55!па тыл 51п Я 3 и1ср = э КВ»3ах — и!ср. Зкс А ЗИ 2П5 2 Рассмотрим далее течение сквозь цилиндрическую трубу эллип!пмгкого сечения.
Если сечение трубы представляет собой эллипс гл. х. динАмикА несжимхемоп ВязкОЙ жидкости с полуосями а и Ь, уравнение которого в плоскости Оху хх ух — + — =1 ах Ьх то решение уравнения (59), удовлетворяющее граничному условию об. ращения скорости в нуль на контуре сечения, будет х.х ух 1 ш=А(1 — — — — ~, (69) а' Ь где, согласно уравнению (59), постоянная А определится нз условия — 2А ( — + — ~ = —— Лр ~ ах Ь' ! !х! и будет равна ар а'Ьх А= —— 2!х! ах + Ьх Таким образом, получим распределение скоростей в сечении эллид. тической трубы в виде Лр ахьх / хх ух ! ги =— 1 — — —— (70) 2!х! а' + Ь' А ах Ьх Эпюрой векторов скорости, проведенных из точек сечения трубы, будет служить поверхность эллиптического аараболоида, кривыми одинаковой по величине скорости — изотахами — подобные друг другу эллипсы (с одинаковым отношением полуосей).
Из распределения скоростей (70) найдем максимальную по сечению скорость на оси эллиптической трубы ар ахух Шхах = (7!) 2и! а'+ Ь' после чего распределение скоростей может быть переписано в виде хх ух 1 ш=шмах(1 — — — — ~. (72) ах Ьх Определим секундный объемный расход жидкости Я сквозь сечение эллиптической трубы.
Имеем (~ = О ахс(у =ш,„~~(1 — —, — — У, ) а!х~(у. 5 5 Положим для упрощения вычислений '. х=ю, "=УР'5Р. Тогда интеграл по плошади эллипса сведется к интегралу по площади О' единичного круга и будет равен Я = ш,„аЬ О (1 — х'х — У') г(х' г(У'= ш,хаЬ ~(1 — г'х) 2пг' аг' = а- аЬ!У,х, 2 5' о По (71) получим ! аахуха р 0= — 6 ..= — 1 —. (73) 2 4!х!(ах + Ьх) Среднюю скорость !и„определим как отношение секундного объемного расхода (;! к площади сечения трубы О=паЬ; получим, согласно (73), <~ ! Ар а*Ь' Шср = = пахах = (74) ааЬ 2 4!х! ах -!- Ьх $89 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА 394 Отметим, что, в отличие от плоской трубы, в эллиптической трубе средняя скорость равна половине максимальной.
Эта закономерность сосрзняется и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения. Полагая в предыдущих формулах Ь=а, получим основные формулы дечеидриого течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения. Распределение скоростей (72) примет вид (а — радиус трубы. с'+у =г) В =шаах (1 — — ) е (75) где по (71) акр и~пах = = 2свар, 4ис (76) (77) Тогда, выражая Лр через ш„по (76), получим следующий закон сьпротивления для цилиндрических круглых труб: 64 ЕЬСР~ А= —, где йе= — 'Р яе У (79) Подставляя это выражение А через йе в (78), убедимся, что в случче ламинарного потока сопротивление круглой трубы, так же как и пдоской, пропорционально первой степени средней скорости движения кдддости сквозь трубу. Формула сопротивления (78) только внешне Зпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с яеридиаиным сечением в виде параболы (75), называемой обычно параболой Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследомвщего законы движения крови по капиллярным сосудам и опубликомвшего результаты своих работ в докладах Парижской Академии наук в 3840 г.
Секундный объемный расход по (73) равен пдеар зее! ч выражает известный закон Пуайзеля: при установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую бубу круглого сечения секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса (или диаметра).
В формулировке закона Пуазейля подчеркнуто, что движение установившееся, Под этим понимается наличие одинакового распределения скоростей во всех сечениях трубы. Такой характер движения достигается в части трубы, достаточно удаленной от входа в нее Наоборот, на начальном участке трубы, расположенном за входом, двюкение неустановившееся, и закон Пуазейля несправедлив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
