Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 85
Текст из файла (страница 85)
же и другие дополнительные требования, без выполнения которых реше- 1) См. очерк «Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом», помещенный в конце второго тома монографии «Современное состояние гидроавродинамики вязной жидкости» (Под ред.
С. Голдстейнац — М. ИЛ, 1заз. с. 356. Я 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НГСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 373 яке задачи не будет единственнылг, а иногда и вообще может не сущестяяяять, Таковы требования плавности обтекаемой поверхности или налияяя яя ней конечного числа изломов нли разрывов кривизны, условия, намгяемые на распределения физических величин, непрерывность, сущестяяяяяяе производных и т. п. Иногда в число условий единственности входят некоторые интегряяьные равенства, подобно тому, как это имело место в идеальной кядкости, где прн расчете подъемной силы крылового профиля (гл. ТТП) ягяользовалась «присоединенная» циркуляция.
В динамике вязкой жидкости аналогичную роль играют задание величины импульса струи при рясяете явления распространения струи в пространстве, затопленном то(г же жидкостью, задание сопротивления тела для определения течеяяя в аэродинамическом следе за ним и т. п, й 87. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости й(етод подобия весьма плодотворен при изучении не только гидро1яяякаческих, но и многих других физических и технических вопросов.
Прежде всего следует отметить прямое назначение этого метода как яаучаого обоснования приемов моделирования действительных, «наггряых» процессов в лабораторных условиях. Метод подобия позволяет устанавливать требования, которые следует предъявлять к лабораторнюй модели и проведению на ней исследуемого процесса для того, чтоян результаты моделирования могли быть использованы для проектирояаяая реальных объектов.
Кроме того, обработка лабораторных изяереяяй и обобщение результатов этих измерений в виде эмпирических фяркул также ведется согласно указаниям метода подобия. Ио это чисто прикладное значение метода подобия далеко не исцяряывает общую его ценность. Вот уже много лет, как метод подобия яспользуется и при теоретическом изучении явлений как способ предскаяяяяя внутренней структуры переменных и параметров, входящих в выящямые из теории аналитические соотношения, а иногда даже и самой форин этих соотношений.
Стоит вспомнить, например, выведенные в м. У(П и 1Х соотношения подобия до- и сверхзвуковых обтеканий тон»як тел, а также изложенные в тех же главах построения «автомоделькцк» решений. В настоящей и последующих главах придется встретиться со многими примерами использования идей метода подобия. Два физических явления называют подобными, если величины, харякгеризующие одно явление, могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые во всех точках множители, называемые коэффициентами подобия, Пусть гр(г; 1), а(г;1), г«(г; 1) соответственно представляют некотояые в общем случае нестационарные поля распределений физических ;калярных, векторных или тензорных величин в пространственно-вреяекной области (г; 1); здесь г — вектор-радиус точки, а его проекции (х, у, г) — координаты этой точки.
Сравним с этим явлением некоторое другое, характеризуемое соответственно скалярными, векторными или геяззриымн функциями гр(г; Е), а(г; Е), гя(г; Е) в области (г; Е). Простраяственно.временную точку ЛЕ(г; Е) будем называть «сходственной» го отношению к точке г»1(г; г), если векторы-радиусы этих точек (или и координаты) и соответствующие моменты времени могут быть полуяеяы одни из других простыми линейными преобразованиями г =йгг (пли хе йгх, У=/ггУ, ге йгг); я =йг1, (35) в которых коэффициенты подобия й, и й, одни и те же для всех точек гл.
х. динлмикл нвсжимлимон вязкон жидкости 374 сравниваемых областей и, кроме того,— подчеркнем этот факт — коэффициент подобия яг — один и тот же для всех координат, т. е. не зависит от направления координатных осей в пространстве. Рассматриваемые два физических явления будем считать подобными (в первоначальном смысле этого слова), если характеризующие их функции ф, а, Я и ф, гг, (7, определенные в сходственных точках областей (г; г) и (г; г), могут быть получены одни из других также простыми линейными преобразованиями ф=(гчф гг =й гг Ю= ГгеЮ (36) с одинаковыми для различных сходственных точек значениями коэффа циентов подобия й„й., )гч и — подчеркнем это опять — одинаковыми ко. эффициеитами подобия: (г, для всех проекций вектора а и 7гч — для всех компонент тензора Я.
Расширяя только что высказанное определение подобия, введен еще афтринное подобие; о нем уже была речь в гл. Ч!Н и 1Х. В случае аффинного подобия совокупность преобразований (35) и (36) заменя. ется следующими более общими преобразованиями: (37) ~7 = )гч„А , бг = 7г,„„ Я и т. д., справедливыми в «сходственных» точках, определяемых формулами пе- рехода Исключая из равенств (39) и (40) коэффициенты подобия Йь Йь я, и т.
д., можем преобразования (36), справедливые для сходственных точек, в которых, согласно (35), будет г Т 7 ° х х г г (41) х=й„х, у й„у, х=(г,х, г=/г,1. (38) Коэффициенты подобия й„ lг„,, ..., /гч„„, йч,„,..., й„, й„, й„так же как н ранее, не меняются при переходе от одной точки к другой, но изотропии уже нет и й,„Ф7г,„~)г... 7гч„„Ф(гч,„чь..., )г,чьй„~й.. Преобразования (35) и (36), характеризующие обычное подобие, или (37) и (38) — аффинное подобие, можно интерпретировать еще иначе, если для каждого из рассматриваемых явлений ввести некоторые постоянные величины, характеризующие количественный порядок (мас. штаб) переменных физических величин, описывающих явления.
Этн постоянные величины будем в дальнейшем называть масштабами соответ. ствующих переменных величин (длин, времени, скоростей, давлений н др.). В области одного из сравниваемых явлений, скажем первого, в котором обозначения не имеют черточек сверху, обозначим через Е и Т какие-нибудь характерные длину и время и примем их за масштабы этих величин; в области другого явления аналогичным образом выделим соответствующие масштабы Е и Т. Ограничиваясь для простоты пока случаем простого подобия, будем иметь, согласно (35), Т, = (г,(., т = й, Т.
(39) Точно так же определим и масштабы Ф, А, Я* и Ф, Я, сг* для величин ф, а, Я, ф, гг, Ч; при этом будет Ф=й Ф, А=7г А, Я'=лагг (40) $8Е ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 375 квреписать в форме безразмерных соотношений щ ч Ф Ф (42) Применяя обозначение «Ыегп» для указания одинаковости сравнивискых безразмерных величин в сходственных точках областей, где проикают исследуемые явления, будем иметь следующее, заменяюшее (4!) и (42) определение подобия явлений: ч а .
4) — = Ыет, — = !с1еш, — — — Ыет, Ф А о' (43) г — = !с1еш; — = Ыет. б Т вЂ” =Ыеш, — =!с!еш, х . е Ь Внииа словами, два подобных явления в сходственных пространственкв.временных точках областей их протекания отличаются между собой юлькю масштабами описываюи(их.явления величин. Отсюда сразу следует, что если в дифференциальных уравнениях, сввничимх и начальных условиях, а также других условиях единственности решений этих дифференциальных уравнений перейти от обычных вмхерных переменных к безразмерным, которые могут быть получены 8!тки отнесения размерных величин к их масштабам, то как сами телврь уже безразмерные дифференциальные уравнения, так и соответствующие им безразмерные граничные, начальные и другие условия единсгввнности, станут одинаковыми для обоих сравниваемых явлений.
Все, что утверждалось сейчас для подобных явлений в обычном !ввтреблении термина «подобие», полностью относится и к случаю аффввнвго подобия, с той лишь разницей, что при аффинном подобии для вкзных координат должны быть выбраны разные масштабы длин: Х, У, Е; точно также и для разных проекций векторов а„, а„, а, различные масигкбм, скажем, А„, А„, А, и т. д. Напомним, что как раз такое примекекке метода аффинного подобия имело уже место в гл, 87П! и 1Х настоящего курса. Подобие обтеканий тел идеальной несжимаемой жидкостью (или, кто то же, идеальным газом при малых числах Маха) обеспечивалось врвстмм геометрическим подобием обтекаемых тел и их подобным расположением относительно набегающих на них потоков в сравниваемых течениях (равенством углов атаки и других углов, определяющих покажеиие тела относительно набегающего на него однородного потока). Так, плоские обтекания двух круглых цилиндров идеальной несжикаемой жидкостью при условии Г/()7 а) =Ыегп (см.
Ч ВО) были подобкн между собой независимо от того, каковы радиусы цилиндров, скорос- 78 квбегаюших потоков и плотности жидкостей в сравниваемых теченим. Прн этом в сходственных точках потоков были одинаковы и коэффкциенты давлений с„а следовательно, в конечном счете и коэффициекты подъемной силы с„. Для двух геолсетрически подобных крыловых профилей гидродинаякчвское подобие потребовало бы еше одинаковости углов атаки и, кроке того, выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о конечности скорости на задней острой кромке. Пространственные обтекания геокегрячески подобных тел, подобно размещенных в однородных потока.с 8188льных несжимаемых жидкостей с различными скоростями, подобны. Перейдем к рассмотрению условий подобия двух изогермических ввглхов ньютоновских вязких несжимаемых жидкостей с различными, вв постоянными плотностями и вязкостями.
Следуя только что указанно- Гл. х динАмикА несжимАемОЙ вязкОЙ жидкости зте му приему сравнения безразмерных дифференциальных уравнений и со ответствующих им граничных и начальных условий, приведем уравнении Навье — Стокса (29) к безразмерному виду, выбрав в качестве масштабов времени, длин (в частности, координат), скоростей, давлений и объемных сил соответственно некоторые характерные для потока постояиные величины: Т, 1., У, Р, Г.
Обозначая штрихом безразмерные значения времени, координат, скоростей, давлений и сил, положим (здесь удобнее пользоваться буквенной индексацией: х, у, г, и, о, Го) 1=Т!', х=Ьх'л у=Ьу'л г=Ьг', и = Уи', о = Уо', ил = Уш'! р = Рр', (44) Р ГГ Г ГГо Г ГГ Подставляя эти значения (, х,..., и,..., р, Г., в уравнения (29), получим ди' Уе I , ди' , ди' , ди' т — — + — ~и' — + о' — + Го' — ) = Т др Ь ~ дх' ду' дг') Р др' + оУ (дги' + дги' + Уи' ! рЬ дх' 1г !,дх'е ду г дг'г / ' У до' У' !, <Ил', до', до' Т дг' Ь ~ дх' ду' дг' (45) Р др' оУ /Уо' део' Уо' рЬ ду' Ь' дх'г ду'е дг' дв' Уг /, дв', дв', йа' т Т д!' Ь ~ дх' ду' дг' ) Р др' + МУ (дгв' + д'в' ) Ув') РЬ дг' Ь' !, дх'г ду' дг'г / после чего, сокращая обе части первых трех уравнений на соответствую.
щим образом выбранную комбинацию масштабов Т, Ь, У, Р и физиче. ских констант, уменьшим на единицу число составленных из них комплексов в уравнениях. Так, предполагая в общем случае, что конвективные ускорения не опущены, разделим обе части первых трех уравнений на Уг(Ь; будем иметь ди', ди', ди', ди' 5)! — + и' — + о' — + ил' — = ду дх' ду' дг' ! ° др' ! /Уи' Уи' Уи' ! = — Ä— Ео — + — ~ + — + —, Рг дх' Ре ~длв ду'г дг'г ) до', лИл', до', до' 5)г — +и' — + о' — + ил' др дх' ду' дг' ! др' ! / дго' дго' дго' ! = — Ä— Ео — + — ~ — + + — ), (46) Рг ду' Яе ~дх'г ду'г дг'г ) дв', дв', дв', лЬо' 5)! — + и' —, + о' — + а' — = д!' дх' ду' дг' ! ' др' 1 / Ув' Ув' дгв' ! = — Г, — Еи — + — ~ — + — +— Гг дг' Яе ~ дх'е ду'г дг'г ) ' ди' й~' дв' — + — + — ==О дх' ду' дг' в вт, пОдОБие течениЙ пязког! несжимАемОЙ жидкОсти 377 В уравнения (46) вошли следующие безразмерные одночленные ьопплексы, называемые «числами подобияяч Р— =5(т — число Струхала, — = Еи — число Эйлера, УГ р !ке (47) И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
