Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для того чтобы уравнение (6) давало линейную связь между тензораив, скаляр а не должен зависеть от компонент тензоров Р и 5; этот скаляр представляет собой физическую константу, которая из условия совпаде- ния (6) со своим частным случаем (2) должна быть положена равной 2!г. Скаляр Ь может быть связан линейно с тензорами Р и 5, причем 3 силу изотропности вязкости должен представлять собой линейную'кои. бинацию первых инвариантов этих тензоров 5 6). Первым инвариантои тензора напряжений Р служит сумма трех нормальных напряжений Р г+Ргг+Рзг Первым инвариантом теизора скоростей деформаций 5 является сумма дк, дкг дкг которая в рассматриваемом в настоящей главе случае несжимаемой жидкости равна нулю. Первый инвариант тензорной единицы Е равен 3.
Чтобы найти скаляр Ь, приравняем линейные инварианты тензоров в левой и правой частях основного равенства (6). Тогда получим Рн+Ргг+ Рмг 6Ь, откуда ! — (Рм + Ргг + Рзз). 3 Обобщая понятие давления, введенное в динамику идеальной жнд. кости согласно системе равенств р„=р„=р„= — р, примем в качестве простейшего допушения, что в ньютоновской несжимаемой вязкой жид- в ы. ньютоновсккя вязкея жидкость нстк взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальгю кзярявнений, приложенных к взаимно перпендикулярным плон(адик в данной точке среды, представляет давление в этой точке — —,'(Р„+Р,.+Р.,) =Р. (8) Сделанное предположение является дополнительной гипотезой к сйобвсенному закону Ньютона, так как, исходя из общих гидродннами.ссккк соображений, нельзя доказать, что определенная таким образом кзарквнтзая скалярная величина р будет действительно той самой термдкккмвческой характеристикой жидкости нли газа, которая, ианри~сй в случае совершенного газа будет связана с другими термодинами:ссккмв характеристиками газа — плотностью и температурой — форткой Клапейрона.
Правильность принятой гипотезы (8) оправдывается сзвктвкой применения ее в расчетах движений ньютоновской вязкой несккнвеиой жидкости. Согласно (б), (7) и (8) получим следующее выражение обобщеннон закова Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости Р=2!сБ — РЕ= — РЕ+2!еде(У (9) зкк, в компонентной (аналитической) форме, / д!'! дУ ! р~ — т+ — 1 при /~с', ~ дх/ дхс /] (10) рс/ = днс — р+ 2!з— дхс при /=с (не суммировать по с1. Равенство (9) представляет собой реологическое уравнение ньюта!анкой несжимаемой вязкой жидкости. Выпишем в развернутом ниде йсйнулы принятой связи (9) в трех основных системах координат: пра- 1!сутвльвой декартовой (х„х„х,), цилиндрической (г, е, х) и сфернческай (Й, О, в): в арямоугольной декартовой системе (х„х„х,) дтг, дУз дУз Ри = -Р+ 2!з —, Рзз = — Р + 2Р— ', Рзз — — — Р + 2]з —, дх, ' дх, ' дхз / дУз дУз~ Рзз=рзз = )з ~ — + — ] ' ~ дхс дхз ] в с(илиндрической (полярной при У,=О) системе (г, з, з), вспомиквк компоненты йе(У в этой системе [(100) гл.
1], получим дУ, /! ВУ, дУ, з„=-р+29 — ', р„= — р+ 29 ! — ' + — 'гс, р,. = — р+29 — *, дг г де г де ' / ! дсг, д!', Уз ! /дсг, ! ВУз 1 р =Р =р( — — '+ — ' — — '), р-=р-=р! — '+ — — *1, (12) де дг г ' де г де /дУ дУ, ! Рю = Ргг = М ~ + ] ! дг дз в сферической системе Я, В, е) (см. компоненты йе1 У в этой систеке (1О1) гл. 1] дУн / ! дсг Уя Ув ссе В1 звя=-р+ 2р —, рзз= — р+29 с! .
'+ + гт, дгс ' йзспВ де й /с' /! ВУв "гя! Рвв = — Р + 29 ( — — в + — ] ° (13) ~й де гл. х. динлмикл несжимлемои вязкои жидкости / ! дУя дУ» У» '» Рнв = Рвя = !» ! — — + — — — / э (!! д0 дй !! / ( ! д!' ! д!г, !' сна 0 ! Ры=р»»=Р—. — + — — — — / ° »й»1»1 0 де !! д0 !! /дУ» ! дУя Р»к=ряе= !» ( + '» дй !1Мпв де !! Приведенные только что выражения обобщенного закона Ньютона, так же как и аналогичные выражения его в любой ортогональной крх волинейной системе координат, которые легко составить, пользуясь (90) гл. 1, должны лежать в основе рассмотрения пространственных движе.
ний вязкой несжимаемой жидкости. Подчеркнем, что пользование клас. сической формулой Ньютона (2) для криволинейных линий тока путчи замены в ней производной й/йу на а/йп, где и — нормальное к липняк тока направление, недопустимо, что легко проиллюстрировать следую.
шим простым примером. В квазитвврдол» вращении жидкости вокруг неподвижной оси с распределением скоростей по закону У=ь»г (грасстояние до оси вращения) сдвиги, а следовательно, и скорости сдвх. гов отсутствуют. По приведенному в $ 25 определению текучести в ква. зитвердом движении не могут существовать и касательные напряжения. Однако по произвольно примененной формуле (2) получим т= =!»»1У/»(г=!»ь»ФО.
Правильный результат дает в этом случае (У,=0) формула для р„(!2) / дУ«У« '» р„= р ! — ' — — ' ) = р (»а — »в) = О. дг г Упомянем, что в анизотропн»лх вязких жидкостях обобщенный за. кон Ньютона значительно усложняется, так как скалярные коэффицнен. ты вязкости заменяются тензорами, выражающими пространственную анизотропию вязкости жидкости и не связанными с тензорами напряже. ний, деформаций и их производными по времени. $85.
Реологические законы неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых реологическяи уравнением (9), обладает большинство жидкостей, а также все газы. Тонкие суспензии, глинистые растворы, масляные краски дают пра меры жидкостей, отличных по своим свойствам от ньютоновских. Наля. чие у неньютоновских жидкостей разнообразных свойств, отличаюпцц их от ньютоновских, объясняется особенностями молекулярных структур и внутренних, молекулярных движений. Особый интерес благодаря своему широко:лу распространению пред. ставляют «вязкопластические» жидкости, в которых наряду с вязкостью проявляются также пластическое свойства, заключающиеся в налички некоторого предельного напряжения сдвига, после достижения которого только и возникает «текучесть» среды.
Реологнческие законы вязкопла. стических жидкостей обычно приписывают Б и н г а м у (19!6 г.), хотя они были известны уже задолго до этого (в 1889 г) Ф. Н. Шведову, Довольствуясь ранее упомянутым (рис. 147) простейшим случаен плоского сдвигового прямолинейного движения вдоль оси Ох со ско. ростью сдвига в=с(и/с(у, приведем реологическое уравнение такой вязкопластической жидкости в форме т=т,+!»'е при т)тм (!4) $ аз.
Реологические 3АкОны неньютоповских жидкостеи 365 где и — предельное напряжение сдвига, )з' — динамический коэффициспг структурной вязкости (точка над буквой — производная по времекк). При т(т, текучесть отсутствует, т. е. среда ведет себя, как твердое гып. Пример движения вязкопластической жидкости вдоль цилиндрннской трубы кругового профиля разобран в 9 90. Только что описанной вязкопластической модели удовлетворяют, напркмер, движения таких встречаюгцихся в практике сред, как применяекме а нефтепромыслах для промывания скважин глинистые и цементпме растворы'), масляные краски, сточные грязи, а также некоторые гзсгы.
Физическое объяснение особых свойств всех этих жидкостей аскапмвается на представлении о наличии в них при покое некоторой прастраиственной жесткой структуры, которая в состоянии сопротивзягься любому внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им кзпряжеиие сдвига не превзойдет соответствующее этой структуре препепзпое напряжение. После этого структура полностью разрушается и Акдкость начинает вести себя, как обычная ньютоновская вязкая жидмсть при кажущемся напряжении, равном избытку т — т, действительного напряжения над предельным. При уменьшении этого кажущегося пзпряжеиия до нуля, т. е. при возвращении действительного напряжения к предельному его значению, пространственная жесткая структура яоссгакавливается ') . Другие, так называемые «псевдоиластические» жидкости лишены предельного напряжения текучести, но их кажущаяся вязкость определяется коэффициентом, зависящим от скорости сдвига.
Такие «нелииейкнез жидкости (суспензии асимметричных частиц, растворы высокопо,1кмеров) подчиняются реологическим уравнениям типа (Оствальд, Рейкер) т=нел, (16) мед и л(1 почти постоянны в широких интервалах напряжений и ско)асгей деформаций, а кажущийся коэффициент вязкости т/е=йе" ' убыазегс ростом в. Отсутствие предельного напряжения роднит псевдопластические хкдкости с так называемыми «дилатаитными» жидкостями, у которых, з агдичие от псевдопластических, кажущаяся вязкость с увеличением напряжения увеличивается (и)!). Такая закономерность характерна ззя суспензий твердых частиц при высоких их концентрациях, а также крахмальных клейстеров, которые нельзя отнести к концентрированным г)спепзиям твердых частиц.
Особенно большое внимание привлекают в настоящее время вязкогпругие среды, обладающие как свойством вязкости, так и упругости. д кислу таких сред относятся очень вязкие синтетические материалы, а также слабые растворы полимеров в ньютоновских жидкостях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
