Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(196) й ! Г д(йУв) дУ го1, У й [ дй дО иаи дУВ дУс! й — — — + У =-О. дй дО (! 96) 8 силу прямолинейности образующих конической поверхности разрыза движение за нею будет безвихревьсм. Это позволяет к уравнению (!95) присоединить еще условие отсутствия завихренности, которое в уазбнраемом частном случае осесимметричного меридианного движения будет, согласно (86) гл.!, иметь вид Гл тх. ПРОЕТРАнственное ВезвихРеВОе дВижение При отсутствии завихренности во всей области течения имеет месте уравнение Бернулли, которое можно записать в форме (С вЂ” константа) ае = С вЂ” (Уя + 1 е).
2 (197) Совокупность уравнений (195), (196) и (197) представляет собой замкнутую систему уравнений, которые и должны быть положены в ос- нову решения поставленной задачи осесимметричного сверхзвуковоге обтекания кругового конуса. Граничными условиями будут: а) условие непроницаемости поверхности обтекаемого конусе (8=8,) У,=О при 8=8,; (198) б) условия на поверхности разрыва (р — угол образующей коннче. ского скачка с направлением набегающего потока) Уле=Ухсоз~, Уе,— — — Р' Ухз)п~ при 8=~, Ре которые идентичны условиям на плоском косом скачке Я 62); первое из них выражает условие постоянства проекции скорости на направле.
ние образующей конического скачка, а второе — сохранение секундной массы газа при прохождении газа сквозь скачок. Решение поставленной задачи будет авгомодельным, т. е. такик, которое позволяет вместо системы уравнений в частных производных (199) а) Рис. 140 (195) и (196) использовать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. С такого рода автомодельными задачами мы уже имели деле ранее (центрированные волны в нестационарном одномерном и стационарном плоском двумерном движениях). Используем коническую симметрию граничных условий задачи и будем искать решение уравнений из условия, что все параметры движения и состояния газа являются функциями только полярного угла 8 и не зависят от радиус-вектора Я.
Такое решение является частным случаем более общего класса пространственных конических движений газа, которые могут быть и не ме. ридианными, т. е. заключать и азимутальную компоненту скорости'), При сделанном предположении уравнения (195) и (196) приведутся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений гтг е Онг УлУе — + (Уе — ае) — — (2Ул+ Уе с1д8) ах = О, — — Уе — — О, ЕЕ ез ЕЕ ') См, например, Ф е р р и А. Лэродинамина сверхэвуновых течений Пер, " англ. — М.) Гостехнэдат, 1953, гл. ХП.
а аа. пРОдОльное сВеРхзВукОВОе ОБтекАние кРуГОВОГО кОнусА 35! матерая в силу второго уравнения еще упростится и окончательно примет аад гГУе и (УЛ+ Увс!99) л е (200) Иэ ' Уе ие ' ив Классическую интерпретацию первого из этих уравнений н основанамй эа ией простой графический метод интегрирования системы (200) аредложил А. Буземан '). Обозначим через и, о проекции вектора скорости У соответственно алесь симметрии Ох (рис. 140) и перпендикулярное к ней направление Оу. Проекции и, о связаны со сферическими компонентами У и У, равенствами и=У,совΠ— У,в!пО, О=У,в!ПО+У,СОЗО, (201) так что ли мул "уе — = — сов Π— — яп Π— У~ в!и 8 — Уе сов О, йэ гсэ не л гг и ггув — = — в1п О + — в сов О + Ул сов Π— Ув в(п 8.
Иэ ЛЕ гтэ г.учетом второго равенства (200) первый и последний члены в правых нетях взаимно уничтожаются, и остается гти / г™а 1 . йе г ггуе х — = — ~УН + — ) вш О, — = ~Ул + — ) сов О. (202) Е ~ ив ) ' ИВ ~ ие ) Обозначим через с(в дифференциал дуги годографа яйг (рнс. 140, б). Тогда из (202) следует, что и-ггь~ть -(г,+ — '!ге, иэ / (203) Кроме того, косинусы углов между касательной 11 (рис. 140, б) к го- аографу в точке № и осями О'и и О'о, пропорциональные с(и/г!О и гЬ!дО, саааааы с косинусами сов О и сов(п/2 — 8) =з(п8, определяющими на- правление радиус-вектора О!а!=Я по отношению к осям Ох, Оу или 0'и, О'е, равенством — сов О + — в! п 8 = О.
гги ГГР ле в Отсюда следует, что касательная ГГ перпендикулярна к ОАГ, а нормыыя образует с осью О'и угол О, который можно рассматривать как ааавлэительиый к углу смежности (кривизны). Таким образом, из равенства (203) с точностью до знака вытекает формула радиуса кривизны И годографа дд в точке №г ггг ггум 8! = — =Ул+ — .
гтэ иэ При этом первое из уравнений системы (200) сводится к выражению а!деуса кривизны годографа через сферические компоненты вектора скорости, угол радиус-вектора точки потока с осью абсцисс в физической глоскости и местную скорость звука Ул+ Уес!99 (Уе/а)а — 1 '! Впаептапп А. 11гэсме ап! Кеке!гоггпгяе врпаеп Ьег Ветееяппя гпИ ОЬег. гсЫгаеасэтггпп191сеп.— Еепасьг.
!. апяете, Ма1Ь. п. Месь., 1999, Всг. 9, № 6. ГЛ. 1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ Радиус кривизны годографа имеет, естественно, размерность скь. рости. Можно привести формулу (206) к безразмерному виду, если, нв. пример, разделить обе части последнего равенства на максимальную скорость У =1 — а.
Тогда, пользуясь обозначением (22) гл.[/1, / Г+~ а — 1 получим 1/ „— У'тьс)к9 )/я/)х + (У /Ъ' ) с!а 9 упах 2 ()х /у )а/(1 уа/уа ) ! [2/(Ь вЂ” 1)1 ха/(1 — т) — ! (206) тя = (Уя/У|пах), та = (Уь/Узпах) а т = (У/ |пах) ° Пользуясь формулой (205) или ее безразмерным видом (206), нож. ио простым графическим приемом строить годографы скоростей частиц газа. и/Уххах / Сг ьг Рис. 141 Рис. 142 Располагая заданной скоростью У, или величиной )/т, и углом 9, в точке № физической плоскости, найдем положение точки М,а в плоскости годографа (рис.
141). Проектируя вектор У, на направление радиус- вектора и перпендикулярное к нему направление, находим У„и У,а илв ут,п и ут1а, в плоскости годографа равные соответственно отрезкаи Ь,М; и О',[„. По формуле (206) находим радиус кривизны годографа в точке М,', в безразмерном виде равный 12/(а — 1)1 тхв/(1 — тх) — 1 Проводя дужку кругаМ,М,радиусом Я„примем ее приближенно зв искомую дужку годографа ду.
После этого найдем вновь значения У та=О'Ма, 1/т я =1.аМ„)/тав —— О'/.х и новое значение угла 9=9„оеределяемое направлением Мх'С,. Определив затем по (206) новое значение Ях/У, проведем этим радиусом дужку М,Л/, и т. д. Таким обра. зом, искомый годограф представляется приближенно совокупностью соприкасающихся дужек окружностей. Остается лишь показать, как в изложенном графическом методе ис- пользуются граничные условия.
Зададимся наперед некоторым значени. и Ю ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРКВВУКОВОЕ ОВТЕК44494Е КРУГОВОГО КОНУСА 353 н4)глп р между образующими конического скачка и направлением наппгающего потока, а также числами М, и 4., набегающего потока. Тогда, мбпрая соответствующую этим числам строфоиду (рис.
97), по заданпепу 8 определим точку Е (рис. 142) на строфоиде. Для этого можно, например, провести луч О'6 под заданным углом б к оси О'и, а затем из .-войной точки В строфоиды опустить на луч О'6 перпендикуляр В6. 1мпп пересечения этого перпендикуляра со строфоидой даст искомую гпчху Е, а отрезки О'6 и Е6 — радиальную 1'„и поперечную )г„компоненты вектора скорости газа на поверхности конического скачка непосредственно после прохождения через него.
Отрезки О'6 и В6 равны соответственно тем же компонентам до скачка: )тщ и (У„. Имея эти данные, можно применить графический метод Буземана и, пычпеляя последовательно по формуле (205) или (206) центры кривизны гпдографа, построить при помощи малых дужек кругов кривизны ископы11 годограф. Построение следует вести до тех пор, пока угол радиус. пгпгора текущей точки К годографа с осью О'и (рис. 142) не станет равпып углу полураствора О, обтекаемого газом кругового конуса. Эта точьп ((, станет конечной точкой графического построения, а отрезок О'К, ппределит предельное значение скорости на поверхности обтекаемого кап)тп. ' Задаваясь различными значениями угла 8 (но сохраняя значение д,) и повторяя указанное построение, получим геометрическое место то- мпКЬ которое представляет собой кривую, благодаря ее специфической форне обычно называемую «яблоковидной».
Таким образом, можно заранее сетку строфоид, построенную для 1мппчных значений М, и Л, (рис. 97) дополнить сеткой яблоковидных правых и годографов, что позволит сравнительно просто решать задачи продольного обтекания круговых конусов, угол раствора которых отплпет условию наличия присоединенной к вершине конуса ударной БПДНЫ. Практический способ построения фронта конического скачка весьма преет (рнс. 142).
Выбрав по значению безразмерной скорости набегающего яп конус потока соответствующие ударную поляру и яблоковидную прпвую н построив угол О„равный углу полураствора конуса, найдем положение точки К„определяющей величину и направление скорости на поверхности конуса. Спускаясь из этой точки по отрезку кривой годографа и точку Е, определим вектор скорости непосредственно за фронтом скачка. Опуская затем, так же как это делалось при решении задачи о папском скачке, перпендикуляр О'6 на прямую В6, проходящую через течку Е, определим угол р направления фронта конического скачка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
