Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 77
Текст из файла (страница 77)
а проекция скорости возмущения й, при заданном числе Маха — порядок 8,' 1п О,. Возвращаясь к принятому обозначению т для обобщенного понятия относительной толщины тела вращения [Т=О(6,) ], окончательно получим следующую ') См. Л ив ма н Г. В. и Р ош к о А. Элементы газовой динамики: Пер. с англ.— Мл ИЛ, !960, с. 290 — 294. ') См., например, Два йт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер. с англ.— Мл Наука, 1983. Простые вычисления показывают, что в этом случае будут справед.
ливы следующие выражения проекций скоростей на поверхности конуса (г=г,(х)): Х l х Та и, = — сопя! агс)1 —, оо = сопз1 ю ~ — ) — 1, О'ГО ЫГО нли, принимая во внимание (172), 1 ! и, = — сопз1 атеей —, оо = сопз1 оз — 1. ыв (мв )' Замечая, что 6, мало, и предполагая, что число Маха не настолько велико, чтобы произведение юО,= !УМ*„— ! О,=М„О, В Ю. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАШЕНИЯ 341 сбшую оценку порядка малости проекций скорости возмущений: й=О(т'1ит), 9=0(т). (174) Отсюда следует, что слагаемые й/У„и (й/У„)' в квадратных скобках равенств (148) имеют один и тот же порядок, так как при не слишком навых т сомножитель!и т слабо влияет на порядок произведения т'!и т. Тах, например, если т=10 ', то й/У„будет иметь порядок 2 10-', а [У/у„)о порядок 10-', т. е. тот же порядок, Сохранив в выражении (148) относительной величины возмущения вас!ности р/р„квадратичный член (и/У„)', имеющий, как мы только ото убедились, тот же порядок, что и первый член 2й/У„, мы тем самым шыаываемся ог допустимости линеаризации уравнения малых возмушевнй.
Однако, как показывает детальное исследование'), можно все же построить корректное первое приближение, основанное на использоваавв лииеаризоеанных уравнений (151) н (152) с граничными условиями (!54) и (155), если для расчета коэффициента давления Р Р 2Р Р Р 2 Р ! „!Уо рбГо Р„И„Р„ДМо„р„ 2 "~ применить вместо неточной формулы (149) разложение (148), сохранив в квадратной скобке два члена, имеющие одинаковые порядки, так что букет (175) со= — 2— Такой подход и используется обычно, когда разыскивается первое приближение в задачах сверхзвукового обтекания тонких тел вращения. Приведем без доказательства полученные в этом первом приближеавв формулы*) коэффициента давления с, и сопротивления с„ передней таста тела (т. е.
без учета так называемого донного давления на кормовом срезе; 1 — длина тела, А(х) — площадь нормального к оси сечения): к с, =- — [и — + — — ~ А" ($) ! и (х — $) о$ — ~ — о ), л'(») 2 1 оа Г г о!го ч а,о ов» с, = — 1п — + — ~ А" Я) [п (1 — $) с%в !А'[!)!о 2 А' [О Г 2п юге (О и,) о ! к — — ~ ~А" (х) А" ($) [и (х — ~) о$о/х. 1 о о Если А'(1)=0, последняя формула сводится к ранее выведенной формуле Кармана (171). Это имеет место в двух случаях: !) если го(/) = =О, т. е. тело не имеет кормового среза, 2) г',(1) =О, т. е.
наклон контура тела к направлению набегающего потока на границе кормового среза равен нулю, что непосредственно следует из очевидного равенства А'(х) =2пг, (х) г,' (х) . Определенное уравнением (152), граничным условием (155) и равенством (175) первое приближение справедливо как для сверхзвуково- ~) 1,1ЕЬ[Ь!11 М. Зцрегзоп!с!!ем раз! Ьоойез о! гечо!пион.— йер. й Меш. Аего.
дев. Соопсй, 1943, 14! 2003. о) См. только что цитированную книгу Г. В. Липмана и А. Рошко, с. 23! — 236. Гл. !х. НРостРАнственное БезВихРеВое дВижение го, так и для дозвукового движений. Это приближение может быть по- ложено в основу теории подобия осесимметрнчных пространственных обтеканий тонких тел вращения. будем иметь два граничных условия ф,(0, $)=Ч',6= — — 'У,Ь'тйВЯ, ф,(0, $)=Ч',О= — — 'У,Ь'т',ЬВЯ, откуда следует первое условие подобия и, , *и,т,' (176) ч»д ч»» Коэффициент давления с, определим формулой (175), в которую подставим значения й и О по (!50) и воспользуемся вновь преобразова. пнем, аналогичным (54) предыдущей главы.
Будем иметь для двух сравниваемых движений 11 — М',1Ч", ! ! дз 1а и,' ч' ~а1! ' 11 — М 1Ч» ! ( дв 12 и, 'р ~а6/' 2Ч»д 1 дв и ч дч 2Ч»» 1 дв и ч дч или и 2 дв 11-М',1Ч' ! г аО ~ »У» Ч дЧ и» Чх ! д$ и,с 2 ав 1! — М,*1Ч, ! ~ дв ~з Ч»» ч дч и, ч* ач Отсюда следуют еще два условия подобия сравниваемых течений и,е„и,с 11-М,')Ч, 11 — М,')Ч', (177) ч, ч, ' и, и, которые присоединяются к условию (176). Исключая отношения У,/Ч»» и У,/Ч»„получим два условия подобия — = — » (1 — М») т»=(1 — Мв) тм т,' т,' $81.
Законы подобия обтекания тонких тел вращения н тонких крыльев конечного размаха Применим вновь, в полной аналогии с тем, как это было сделано в $61 для плоского движения, соображения подобия, позволяющие веста пересчет с одного до- или сверхзвукового обтекания на другое, ему по. добное. Не будем полностью повторять рассуждения $61. Заметим, что в осесимметричном случае, так же как и в плоском, преобразование, ана.
логичное (54) предыдущей главы, сохраняет свою силу и сводит диф- ференциальное уравнение (152)„ составленное для двух сравниваемых потоков, к одному н тому же а»О а»О 1 дΠ— ~ — ~ — — =-О, аР ач' ч дч причем никаких условий подобия преобразование (54) не дает. Различие намечается в условиях подобия граничных условий (!55). Полагая, как и в плоском случае, для обоих сравниваемых потоков г„(х) =Ьт,ЬЯ, гм(х)=Ьт,Щ), ГЛ.
1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ замену переменных Ь з,М~~ — м1(-з,У~~ — м1(=з. *. ~~~ — м1~-ь~'Д вЂ” мк-г, ~,=Ф,Ва,п,ц, ~,=авва.п.Ц, аналогичную (64) предыдущей главы, будем иметь вместо уравнений (180) для каждого потока следующее одно уравнение: Граничное условие (181) в двух сравниваемых потоках приведется к таким: Чтобы онн в подобных течениях совпали, следует положить У,т, Узтз з,У~~ —,мз а.~~~ — Щ' (184) что дает первое условие подобия. В условие геометрического подобия по (182) н (183) будет входить соотношение ь ч'д — м1~- —" ,Ч'д — м.'~.
2йт 2 д1рг 2Ф, де У, дй ' 2Фз де У д$ будет следовать третье ус- с Рз Уз дх 2 дчэ У, 2из Уз дх У, нз совпадения которых для подобных течений ловие подобия сР, с„У, Фз Фз (186) В системе равенств (184) н (186) величины Ф, н Ф, совершенно пронзвольны. Введя обозначения для новых произвольных величин Фз Фз — '=А„— '=А„ У, ' У, будем иметь окончательно следующую совокупность условий подобня (снмвол «1деш» означает «одно н то же», в последнем условии ') В этом случае характерная для осеснмметрнчного движения особенность от.
сутствует н можно пользоваться обычной линейной связью коэффициента давления с н скорости возмущения и. откуда, замечая, что относительное удлинение крыла )1=1з/5, где 3- площадь крыла в плане, в подобных крыльях пропорционально произведению 1Ь, найдем второе условие подобия ~,гд -и,'~-з,м11 — м:г (185) Коэффициенты давлений в подобных системах определяются равен. ствамн ') К ы. законы подовия овтпкания тонких тел впащания 345 кодразумевается «в сходственных точках сравниваемых движений»): -М, ЛГ)1 — М.')-М, — '-М щ )19П А 11 — мк)) А которая может быть заменена одной условной функциональной зависи- мостью АУ Г '; Л У )1 — М' )) .
) А )~ — М'1 (188) Как и в плоском случае, величина А здесь совершенно произвольна; пользуясь этим произволом, можно получать разнообразные законы подобая. 1 Полагая, например, в случае дозвукового обтекания А= )/1 — М'„' лслучям обобщение иа случай тонкого крыла конечного размаха правидз Правдтля — Глауэрта (30) предыдущей главы у(т; л1/г — М'„) с,= (189) У 1 — М'„ Зто правило позволяет после изменения относительного удлинения крымд в)71 — М' раз пользоваться для плоских сечений крыла в дозвуп)зом потоке обычным правилом Прандтля — Глаузрга. Если положить А= 11 — М'„ 1-1, то соотношение (188) приобретает симметричный по отношению к обоим поперечным к потоку направлениям лад угл~~~ — м )). (191) 1~ — М' 1 Только что разобранный случай обтекания газом тонкого крыла был ескован на той же гипотезе плоских сечений, что и упоминавшаяся в ) 78 Малость скорости возмущения в направлении оси Ог (размаха крым) предполагает наличие большого удлинения крыла, что делает обтекклле крыла почти плоским.
Именно этим объясняется бросающееся в глаза сходство полученных законов подобия с соответствующими закокккн для плоского движения (9 61). Различие сказывается лишь в налил ру щ лу)à — м')*рр щ * ьпагчмосги размаха крыла, Интересно хотя бы приближенно оценить влияние этого фактора на укспределение коэффициента давления по крылу. С этой целью можно зоспользоваться материалами теоретического расчета, выполненного Гессом я Гарднером ') для семейства трехосных эллипсоидов, формулы '1 Н е в в д. ')у., О а г й и е г С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
