Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. !.— Я„ Наука, 1982, с. 303, формула (12). '! Кирх гоф Г. Р. Механика. Лекции по математической физике.— М. Изх.во АН СССР, 1962, 18-я лекция, с. 122 — 197. Согласно доказанной в начале гл. И! теореме Лагранжа можно считать, что движение, вызванное в жидкости перемещающимся в ней телом, будет безвихревым. Потенциал скоростей ф, в отличие от предм. дущих — стационарных движений,— является функцией не только каор. динат, но и времени. Нз равенства У=ягад ф и уравнения несжимаемости жидкости д!и У=О следует, что искомый потенциал ф(х, у, г, 1) должен удовлет.ворять в каждый данный молоент времени уравнению Лапласа ~'ф=-о. (112) Граничное условие непроницаемости поверхности твердого тела в, требующее, чтобы проекции на нормаль и к поверхности а скорости У частиц жидкости, скользящих по поверхности, совпадали с соответствующими проекциями скорости У* точек твердой поверхности, и условие убывания потенциала ф при удалении от тела могут быть записаны в форме = — = У, = У,.
+ (ы' х и') и = — ц,л, + о,л„+ ш,л, + дф ° ° дл + со,(уп,— гл„)+ оу„(гл,— хп,)+ в,(хп„'— уп,) (на а); (113) ф=О(1/)с')-ьО при Я вЂ” ьоо. о В равенствах приняты обозначения: У,„=иоо УР=О„У„=сео, причем проекции взяты на оси Охуг, в данный момент времени совпадающие с О*х*уог*.
Подчеркнем, что для определения нестационарного поля потенциала скорости ф(х, у, г, 1) никакие начальные условия не требуются, так как уравнение (112) не содержит частной производной по времени. Решение в любой данный момент времени Г не зависит от предыстории потока Время служит в этой задаче только параметром, влияние которого проявляется в конкретном виде правой части граничного условия (113), содержащей характеристики движения твердого тела. Пользуясь линейностью уравнения (1!2), будем, следуя Кирхго. фу'), искать решение этого уравнения в форме офз + офз + офз + кфо + Рфо + офо' (114) 1 19.
ОБЩИИ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 321 Уравнения (1!5) не содержат производных по времени. Замечая, чсо правые части граничных условий (115) в системе координат Охуг тождественны с соответствующими выражениями в совпадающей с ней и связанной с телом системе координат 09х"у*г*, убедимся, что решеиии фс уравнений (115) при граничных условиях (1!6) также от времеии ие зависят. Отсюда следует, что равенство (114) представляет искоиое решение для потенциала ф(х, у, г, !) в виде суммы произведений за.
данных наперед функций времени и,'(!), о,'(!), ис,'(с); ос„'(с), ос„'(!),99,'(с), определяющих движение тела в жидкости, на неизвестные функции ф(х, у, г) только от координат. функции ср,(х, у, е) можно интерпретировать как потенциалы скоростей следующих движений жидкости относительно связанной с твер. иыы телом координатной системы: первые три потенциала ф„ф„фв соотиитствуют обтеканиям рассматриваемого тела при его поступагельньсх и рпиномерных движениях со скоростями, равными единице, вдоль осей иоордннат; последние три потенциала ф„ф., ф, — вращательным движеииим гела с единичными угловьсми гкороггялси вокруг осей координат.
фуиицни ф, в связи с этим называют единичными потенциалами. Предполагая, что функции фс определены, перейдем к разысканию вспииого вектора и главного момента сил давления жидкости на движупСвеся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой жидкой сферы большого радиуса с49 с поверхностью о, и применим теорвиу количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени объеме т между поверхностями о и о„.
Обозначим через !) главный вектор количеств движения жидкости в объеме т, через Р— искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о и через Р' — главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности в,; тогда будем иметь — = — Р+ Р', ~Щ сй откуда следует, что (117) Отметим, что в равенстве (!!7) и в предыдущем равенстве производная по времени является абсолютной производной, т. е. выражает быстроту изменения во времени главного вектора количеств движения жидкости по отношению к неподвижной системе координат Охуе.
Вектор Р' найдем по формуле Р' = — ) р«,йоы иуда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа — Коши (у 48), подставить выражение р=рс (!) — — — р— р~ др 2 дс причем по условиям покоя жидкости на бесконечности р- р, У О, ср О прн ссфункция с(!) в последнем равенстве может быть заменена на постояниуис величину р„/р. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого р„, получим Р = Р ) — «ойоо + — ~ У «ойоо. Г дср ,) дС 2 (118) ов гл. ~х. птостелнстввнноа вазвихеевое движения Главный вектор количеств движения жидкости в объеме т, заклп.
ченном между поверхностями о и о„выразим через поверхностные ин. тегралы так: 1Е = ~р(тйт=р~дгайфйт= — р~фпйо+р~ фпбйоб; (112) знак минус перед первым интегралом в правой части объясняется тек, что внешняя нормаль к поверхности тела о является внутренней нор. малью по отношению к объему жидкости т, заключенному между по. верхностями о и о,. Возвратимся теперь к вычислению главного вектора е' сил давления потока на движущееся в нем тело. Согласно (117) для определения вех.
тора Р необходимо вычислить индивидуальную производную от главнь го вектора количеств движения Ц, представленного правой частью фор мулы (119). Составляя выражение производной — = — — 1 рфп йо+ — 1 рфпбйо„ Я7 де д а ж~ а,) (120) б, сохраним пока без изменения первое слагаемое в правой части, а вто. рое выразим как сумму локальной производной по времени, легко ан. числяемой при неподвижности (независимости от времени) поверхности в, в виде — ~ рфпбй =~ р — й .
Г дф д~,) б' дь б, б, и конвективной производной, которая требует для своего вычисления не. посредственного составления предела отношения разности приращеина. го и первоначального значений днфференцируемого интеграла к прира. щению времени. Такой предел, как известно Ц 24), сводится к переносу количества движения сквозь поверхность, т. е. в данном случае к инте. гралу ~ р)т,,Кйвм Подставляя полученные выражения локальной и конвективной про.
изводных в правую часть (120), получим — = — — ~ рфпйо+) р — пбйоб+ ~р)т„,1тйоб дм д Г Р дф д Ж~ ,) д~ бф б, Р = — ~рфпйо+ р ~ ( — )пп,— 1/„,1/) йоб. (121) Устремим теперь радиус Р, поверхности о, к бесконечности. Тогда, рассуждая так же, как при доказательстве парадокса Даламбера (5 73), убедимся, что выражение, стоящее под знаком интеграла в последнем слагаемом правой части равенства (121), имеет порядок 1/Рб. в то время как поверхность интегрирования имеет порядок тс,; следовательно, при Р, -оо слагаемое зто стремится к нулю. Окончательно найдем иска. и, возвращаясь к (117) и (118), найдем следующее выражение главно. го вектора снл давления, приложенных со стороны жидкости к поверх- ности движущегося в ней тела: В ГВ.
ОБЩИИ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 323 мв формулу главного вектора сил давления жидкости на поверхность .ма Р = — 1 р рр о. е ки д (122) Проводя аналогичные рассуждения, найдем выражение главного этмнта сил давления жидкости на поверхность тела М = — )р ррг х и до. и г ь (123) Свввуя принятым ранее обозначениям, зададим главный вектор вг» ,: мвввнй момент К» количеств движения твердого тела, движущегося в ьввкостн.
Тогда, согласно теоремам количеств и момента количеств -меевия в применении к твердому телу, получим уравнения движения зердого тела — =Р'+Р, — =М +М рие' врр р ) е — 1к )рр х р )=м'. Брр> о ь Введя обозначения — ~ р ррп до = В, — ~ р ррг вс и до = в, (! 25) ввреввшем уравнения (124) в сокращенной форме: — 'М'+В)=Р*, — "(К +У)=М.
ри ви (126) Полученным уравнениям дадим следующую трактовку: уравнения „-'квакания твердого тела в жидкости можно рассматривать как уравне'м движения тела в пустоте, если к главным векторам количеств и моивтов количеств движения твердого тела прибавить соответственно доввкательные векторы В и 1, определенные равенствами (125). Назовы вв векторами количеств и моментов количеств движения жидкости, твоединенными к твердому телу. Рассмотрим теперь детальнее полученные выражения (122) главно- в вектора Р и '(1!23) главного момента М сил давления жидкости на мверввость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
