Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 70
Текст из файла (страница 70)
ке направлениям вращения частиц жидкости вокруг свободных вихрь вых линий. Примем следующую гипотезу плоских сечений: при достаточно больших удлинениях крыла конечного размаха обтекание каждого плот. кого сечения потока, удаленного от концов крыла, можно рассматрн. вать как плоский поток с местной скоростью на бесконечности, равное сумме векторов скоростей потока на бесконечности впереди крыла и скорости, индуцированной свободными вихрями пеленал в соответствующей точке несущей линии. Эта гипотеза, сообщающая условным плоским сечениям потонг смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла конечною размаха к решению изложенной в гл.
ЧП задачи о плоском обтекании крыловых профилей, образующихся в пересечении крыла конечного раэ маха плоскостями, нормальными к оси крыла, и к последующему сум. мированию результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое дону. щение имеет смысл только для крыльев большого удлинения. Обозначим через а (рис. 130) угол атаки набегающего потока нг бесконечности перед крылом, т.
е. угол между вектором О„и хордой сечения крыла, и назовем этот угол геометрическим углом атаки. Взе. дем в рассмотрение также действительный (или эффективный) угол атаки и, как угол между местной скоростью на бесконечности У„и то! же хордой. Угол между скоростями О и У обозначим через ас и иг. зовем углом скоса потока, или индуктивным углом. Как видно из рис.130, а,=сх — ас. (81) Найдем проекцию йо, на ось Оу элементарной индуцированной ско. рости в точке О' (рис. 129) от вихревой полоски, ограниченной вихре ными лучами, выходящими из точек М и М'. Рассматривая эту полоск1 как вихревую нить с циркуляцией йГ и применяя формулу (22) при а~ =90', 0=0', получим вг с лг йос — —— 4л г — 0 4л Л", с — 0 (82) 2-3 у гвг лт гщ и.'т ос= — — 1!ш т — — + ь — — ' 4л н-~о (ь э сто г — 0 1 сс0 г — Ос) г+ь (83) Здесь (рис.
129) йГ(0, йЦ>0, г(~ и по (82) до, О, что как раз и соответствует показанному на рисунке расположению точки О', где определяется элементарная индуктивная скорость по отношению к вихревому лучу, выходящему из точки М. От элементарной индуктивной скорости йос перейдем к полной индуктивной скорости о, в точке 0', производя суммирование величин йос по всем элементарным полоскам вихревой пелены, исключая ту, которая исходит из отрезка несущей ли. нии (г — г, г+е), заключающего внутри себя точку О' с координатой г. Это объясняется тем, что, как известно, вихревая нить не индуцирует определенных скоростей в своих точках, которые являются особыми точками поля скоростей вокруг вихревой нити. Величина г может быть выбрана сколь угодно малой и в результате указанного суммироваиин будем иметь следующее выражение индуктивной скорости: 4 78 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА З1З Входящий в эту формулу предел носит наименование главного знасеяая (в смысле Коши) несобственного интеграла ') (84) Подразумевая в дальнейшем, что интеграл (84) должен быть вычислен 8 смысле своего главного значения, определенного в правой части (83), оупен иметь в кратком обозначении с С стг (85) 4л,) ст~ а — й Будем предполагать, что индуцированные скорости О! малы по срав- нению со скоростью набегающего потока У„.
Это как раз соответству- ет, как нз дальнейшего станет ясным, случаям малых углов атаки, для потерях справедлив линейный закон связи между коэффициентом подь- емяой силы и углом атаки. Тогда, замечая, что (рис. 130) пс а! = 1дас= — —, и„' подучим, согласно (85), формулу для индуктивного угла или скоса по- тока ! ас= — ~— Г стг Вй (86) 4нтт г аЬ г — Ь Для вычисления индуктивной скорости н индуктивного угла будем предполагать заданным распределение циркуляции по размаху Г(г). Представим его в форме тригонометрического ряда Г(8) = 4У 1 'Я Аа з(п п9« (87) а=! тде угол 8 связан с переменной по размаху координатой г равенством г= — 1с05 В.
(88) Концам отрезка несущей линии (г= — 1, г=1) соответствуют значеяпяе=вне=и; при этом циркуляция Г обращается в нуль. Если распределение циркуляции симметрично относительно начала вордннат (г=О, О=я/2), то должно быть Г(О) =Г(п — О) и, следовательно, А,=А,=...=А,„=...=О. Вычислим по (87) производную с(Гус(Г, полагая параллельно с (88) «=-1 соя О'1 будем иметь « М вЂ” = —: — '=4У 1~ЯУ', аА„созпв' =4У 'Я НА.
стс Лв' !те' С 5сп О 5«п О Подставляя это выражение в формулу (85), получим выражение япдуктивной скорости ос(О)= — —" ~"'~;, " с(О' = — — " 'Я пА„)", с(О'. н „~ е — е ° "~ ° в — с.в 8 а ! 3 !) См., например, С м и р но в В. И. Курс высшей математики. Т. И!.— Мк ГТТИ, П33, с. 415; Т. 1Ч.— Мл Гостехиадат, 1941, с.
240. Гл. гх пРОСТРАнстВенное БезВихРеВое дВижение 3!4 Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего главного значения и равен ') со5 ЛВ 18г П 51П ПВ Э со5  — со5 0 51п 0 е так что окончательно получим следующие выражения: индуктивной скорости пт(О) = — У ~~~ лА, (89] 51П В а по (8б) и угла скоса ас(О) =" ,лА,—" 51П В (90) причем с точностью до малых величин второго порядка относительно и, можно положить У„, =)'У;+",=У„~Г+а)=У„; таким образом, вместо предыдущей формулы получим 1И=!ПУ „1'с(г. (91) Вычисляя составляющие по осям координат, получим в принятои приближении (рис. 130) 1И,=сИяпат-1И аг=рУ Гагг(г, 1И, = гИ соз а! — 1И = рУ Г дг и, интегрируя по размаху, 1 )с, = рУ ) Г (г) аг(г) с(г, )с„ = рУ ~ Г (г) йг.
(92) Для вычисления интегралов воспользуемся вновь тригонометрнче. скими представлениями циркуляции (87) и индуктивного угла (90). Бу. дем иметь в ЮО Р, =4рУ* 15~~ А,з!п лО ~~ тА ' — з!ПОЮ= 5!П В 5 5=1 м=1 = рУ'„(21)' у; тА„А ) з)ППОБ!пт95(В, п,м=1 Замечая, что по свойству ортогональности функций синусов кратных дуг Гз!ППОБ!ПтОДО=)п'2 "'" "=т (О, если л=~т, ') Вычисление этого интеграла можно найти, например, в книге: Г оп у б е а В.
В, Лекции по теории крыла.— Мс Гостекиэдат, !949, с. 2! — 2!6. Перейдем к определению снл, действующих на крыло конечного размаха. Для отрезка несущей линии длины с(г будем по теореме Жу. ковского иметь элементарную силу, перпендикулярную к местной скорости на бесконечности У,„(рис. 130) и равнук по величине ЕИ=рУ,„Г п1г, а 78 элементАРнАя теОРНЕ кРылА кОнечнОГО РАзмАхА 3!5 получим Йл = и — (2!)''Я ЛА'„'. рУ" (93) Аналогично найдем 1 й~=р(! ) 1'(а) "к=-4РУ' !'~ ~ч~~ А з!ппйяпйдО = О л=1 л л =р()1 (2!)О'~~ А ~з!плОЗ!НОйО. л 1 О Во по только что указанному свойству ортогональности синусов кратных дуг — при и=1, з1пнО з!п О йО = ~ 2 О О при п)! и сумме, входящей в предыдущее равенство, сохранится лишь один член, так что будет )чп — — и — (2!)' А,.
ри'„' (94) 2 Рзссматривая обтекание крыла конечного размаха как равномерппа, поступательное и прямолинейное его движение со скоростью У„в ппкояшейся на бесконечности жидкости, естественно назвать составляещук1 )(„, направленную в сторону, противоположную движению тела, Гппретивлением крыла, а составляющую )т„, перпендикулярную к направлению движения и несущей линии, подъемной силой. Вместе с тем, Отмечая вихревую природу сопротивления, представляющего часть подь- аной силы в потоке, скошенном вблизи несущей линии благодаря инпуктпвному действию вихревой пелены, это сопротивление называют индуктивныи сопротивлением. Обозначим через 5 площадь крыла в плане, т. е. проекцию его на пкпскпсть хОЕ, содержащую скорость набегающего потока и ось крыла (песушую линию).
Введем в рассмотрение коэффициенты индуктивного сопротивелния си н подъемной силы с„, положив Д )~л СО1 = с„= 1 1 — Р()О . З 2 — РУО О" 2 Тпгдп, пользуясь (93) н (94), найдем (2!)О ~1 О (2!)О сла — 11 — ~'.
НАл, с„= и — Аа. (95) Величина (2!)О (96) (97) л=1 а случае крыла, прямоугольного в плане, равная отношению размаха крыла 2! к его хорде Ь, называется удлинением крьсла. Вводя эту величппу в (95), получим окончательно следующие формулы коэффициеитоп индуктивного сопротивления и подъемной силы: л с„с = пЛ ')!', ЕА„; сп — — пЛА1. Гл. !х.
пгостРАнственное Безэихгеэое дзижега!е з4в Как это непосредственно следует из первого равенства системы (95), индуктивное сопротивление представляет собой сумму существенно положительных величин. Отсюда следует, что индуктивное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной силе (А,ФО) будет минимальным, если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю. Это, согласно равенству (87), соответствует распределению циркуляции 1'=4 У „1А, з)п О, (98) или, если вернуться к переменной г по (88), (99) Переписывая последнее равенство в виде Гь г' + — =1 (4У !А!)ь Р 4У 1А,=-Г, А =— Г 4У ! Уравнение эллипса будет Гз гэ — + — =1.
Г' т (100) (10!) Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим. По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индуктивное сопротивление минимально. В связи с этим крыло с эллиптическим распределением циркуляции имеет в теории крыла принципиальное значение; рассмотрим основные его свойства. Прежде всего из формул (89) и (90) сразу следует, что при эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего размаха. Действительно, подставляя в формулы (89) и (90) значения коэффициентов А„ Г Ат= —, А,=Аз= ...
=О, 4У ! получим 1' Г ос= — —, а!= 4! 4У Ю (102) Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
