Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ми координатами 5, и вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как функции комп. лексных переменных, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, вы. ражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и сост. ветствующие граничные условия. а) Рас 121 Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (рис. 127, а) возьмем в меридианных плоскостях г, х эллиитическую систему координат $, и, связанную с г, х соотношениями х = с СЬ $ соз 3), О ~ ~$ ( со~ г = с й $ з1п 1), О ~~ т1 ~~ и, где величина с представляет собой расстояние фокусов семейства координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала коор.
динат. Положим с)1$=Л, соз1)=ц, 1(Л(оо, — 1~р(1; тогда связь между координатами г, х и Л, и будет иметь вид х=слр, г =с )/Лс 1 )/1:)сч. (54) Определив производные дг . ° /! — 1Р дг . ° /Лх — 1 аЛ У Лс — 1' ан У 1-Р*' дх дх — =ср, — =гЛ, дЛ др найдем коэффициенты Ламе [(83) гл. 1) (55) После этого уже нетрудно составить и основное дифференцяальное 4 тз. ОсесимметРичное пРОдольнОе ОБтекАние тел ВРАщения 299 ураппепне Лапласа для потенциала скоростей. По шестому равенству спстемы (84) гл 1 получим ,— ',~()з — Ц вЂ” ",,'1+ —,' ~(! — риф~= О. Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения тпух функций от переменных Л н тз в отдельности цг а (Л)г)4(!з)' (57) тогда в уравнении (56) переменные разделятся н нз равенства а силу независимости Х н 1т будет следовать, что каждая нз частей равенства должна быть постоянной.
Полагая эту постоянную равной л(л+1), где л — целое положительное число, получим для определения 1.(!) и М(р) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка летгпндрова типа (56) (58) — „"(1 — р') — 1 + л (л + 1) М вЂ” () гтп !. сттг ! Зтпм уравнениям удовлетворяют') два класса независимых решений 1) функции Лежандра 1-го рода — лолиномы Лежандра Р„(х), определяемые равенствамн ра()=1 ' ~(") =". Рз( ) = — (Зх' — 1), Р,(х) = — (Бха — Зх), 2 2 и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полнномов (а+1) Р„+т(х) = (2л+1) хР„(х) — лР„, (х); 2) функции Лежандра 2-го рода Я„(х), определяемые равенствами Яа(х)= — !и —, Дт(х)= — х!и — — 1, 1 х+1 1 х+! 2 х — 1 2 х — 1 ч)з (х) = — (Зх' — 1) 1и — — — х, х+1 4 х — 1 2 1 3 х+! Е з 2 Яз(х) = — (5х' — Зх)!и — — — х'+ —, ...
4 ' х — 1 2 3' и рекуррентным соотношением (л+1)Я ~,(х) = (2л+1)хЯ„(х) — л Я„,(х), совпадающим с предыдущнм соотношением для полнномов Лежандра. Представим решение уравнения (56) как сумму двух потенцналов: 1) потенциала тп однородного потока, набегающего на тело со скоростью (7„; этот потенциал по первой нз формул (54) равен го„= (7„х= !1„сл1з ~! Уатте ке р Э Т., В а тс он Дж. Н. Курс современного анализа.-Ч. 11,— М.: Физматгиз,!963, с.
109 и след. и 2) потенциала гп' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (57), ГЛ. 1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВНЖЕННЕ (59) / > ф=сУ ~ Я А !1„(Х)Р„(Я+))1 л=1 (60) Для определения коэффициентов А„найдем выражение функции тока лр. По формулам (1), (26) и (55) будем иметь д1Р Н! Нл д(р 1 дф дф НРНл д(р 1 дф — = — — — = — с (1 — р1) —, — = — — = с (З,э — 1)— дь НР дя дя дя Нь дх дХ нлн, после подстановки разложения (60), — = — сЧI „(1 — р') ',«„Алел —" + Х (1 — р') дЛ дя — =сЧI Оьл — 1) 'Я Ал — "Рл+Р(!ь1 — Ц Переписывая второе равенство в виде — = ~Ч/„(Х' — 1) '~' Ал —" Рл + „ дя л — 1 Функция Р„(х), как полином п-й степени, обращается в бесконеч. ность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же (,1„(х) прн этом стремится к нулю, но зато логарифмическн бесконечна при х=л-1. В случае внешнего обтекания тела координата 1=с)! $ может достигать бесконечных значений, а координата !1 ограничена.
Примем во вннма. ние, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е. обтеканнч за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бес. конечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхноста тела, причем по предыдущему (9 73) должно быть р =о( — '). Из приведенных соображений следует, что искомые частные реше- ния должны иметь вид произведений 1,1„(!ь)Р„(!1) (п=1, 2, ...); подчеркнем, что Отсчет и при суммировании начинается с единицы, а не с нуля.
Это подтверждается наличием следующих очевидных асимпто. тических равенств, справедливых прн больших значениях величины ~, а следовательно, согласно (54), и величины Я= рхл+гл, имеющей тот же порядок, что и )ь: а,(Х) =-1п — --+ — +... =О~-) =0~-), ! А+! ! ! С!1 1!1 2 л — ! л Злл ~ л Н аьр) = — ) !и — — 1=) ~ — + — + ...) — 1 — — +...=О( — )=О~ ). а х — ! ~л ' зх ''') зх "' (,хл !! ~йь)' Таким образом, будем иметь необходимый порядок убывания ф' на бесконечности, если положим р =си„~ А„(1.(ЦР.(р), л=1 где А„— постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхноств тела. Складывая потенциалы ф и ф', получим искомый потенциал ско. ростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на беско. нечности, равной У„, 1 гг ОсесимметРичное пРОдОльнОе ОБтекАние тел ВРАщения 301 подставим под знак суммы выражение для Р„из основного дифферен- пнапьного уравнения функций Лежандра (68) г о(Р„1 Рл=— — ! (! — р') —" ) (и+1) Пр ~- В)о З Тогда будем иметь сг(У (Лг )) ~ч~~ л л Г л 1 [„, ! + ц пл л~ ~ Интегрируя по )г и добавляя необходимую функцию от Л, получим пппнчательное выражение для функции тока 1 г г Г " 2Ал «Г)л г0'л ф= — — и (Л вЂ” !)(! рг)~~ " —" — л+ ! .
(6!) 2 .(.+!) .х й„ Уравнение нулевой поверхности тока будет 2А„г(!2„ЛР„ Х " —" — "+'=' (62) п(л+ 1) гсд Ви Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить коэффициенты А„'). 8 только что цитированной статье определение коэффициентов А„сведена к решению алгебраической системы уравнений первой степени, что прп современном состоянии вычислительной техники представляет просгупг задачу. Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по фоо- птпе „А а Р ! ггрл Дг-Иг~ ( " ЛА " ) 4 л=г л=г (63) Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтепанпе зллнпсонда вращения, меридианное сечение которого имеет уравнение Л=Л,.
Полагая в уравнении (62) А„=О при и>! и Л=Л„получим А— 1 1 1 "о Пптенциал скоростей будет равен по (60) 1 Л + 1 — !. !ив р(Л, р) = си 2 ' Л вЂ” ! Ло+ ! )о — Л вЂ” !ив 2 Хо — ! Лг — 1 'о (64) Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести аппо полуоси эллипсоида а и (г(а, расположенные соответственно по ~) Саь Кар!а и С. Ро!епна! Пои аЬОШ е!оппа!ед ЬОП!ег о! гечо!ицоп.— ЫАСА пер., 1935, ЛЪ 516 302 осям Ох и Ог.
Будем иметь, согласно (54), уравнение эллипса Л=Л, в виде Х2 ее — + =1, сеХ с' (Х 1) откуда следует с )/˄— 1= Ь сЛ,=а, или, вводя эксцентриситет е=с/а, 1 ЛО в е /Л.— —; ь С В этих обозначениях получим (65) Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что, по определению эллиптических координат, в этом случае будет е О, сЛ-РЯ, !л- соз9 при с — «О, где Я и 8 — сферические координаты. Производя разложения (Л>1, е~1) 1 !+— 1п — =!и — =2 !1 — + — + ...), !п — = 2 (е+ — е'+ ...) Л+! +Л Е! ! Л !+е Г Х вЂ” 1 1 'л Л 332 ) 1 — е (, 3 1 —— н заменяя е на с/а, убедимся, что !р при с- О стремится к (/22)Р ~1 + ( ) ~ соз 0 т. е. к известному уже выражению (38).
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут Полагая здесь Л=Л„убедимся, что на поверхности эллипсоида Ул= =О; это и естественно, так как координатные линии (Л) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие 1',=О эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости, Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится ра- венством ееУ !22 ! !+ е 1 — ее!22 е — — (1 — ее! 1п— 2 ! — е Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсонда вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом мож- ГЛ.
!Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ! А+1 — Х 1п — — 1 <р(Л, )л) = — (/ а 2 Х вЂ” 1 — ЕЛ 1 !+е 1 — 1и — —— 2е 1 — е 1 — ее 1 1+1 Х вЂ” !и У.= — — = — и„у 1 д<Р Хе 1 2 л 1 Л2 1 Нл дХ " Хе Ие 1 !+е е — !п — —— 2 1 — е 1 — ее ! Х+! НР д!2 Ле — !22 ! 1+ е е — 1и — —— 2 1 — е ! — ее )' ) $ то. пОпеРечнОе Овтеканг!е тел ВРАщения зоз оо исследовать случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меукцнаппого сечения которого лежат не на оси Ог, а в меридианных оооскостях'), В только что цитированных курсах приводится также ревекке более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оск различны. 9 76. Поперечное обтекание тел вращения Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интеосс и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 127, б) к оси симчетрпц тела.
Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тека вращения под любым углом атаки. Изложим решение задачи о поаеречнол обтекании тела вращения, Б этом случае уже не получается осесимметричного движения. уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, в ортогональной сястеме криволинейных координат, согласно шестому равенству с«стены (84) гл. 1, имеет вид Сохраняя ту же систему координат (7., )х, е), что и в случае осесимнстрнчного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффкцкентов Ляме (55), перепишем предыдущее уравнение в форме — [()з — 1) ~ ]+ — [(1 — р') ~ ]+ ( —,+ —,) — ~=О.
(66) Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций «р=йт()ь, )к) Е(е); тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (66) и разделяя фтккцнп независимых переменных, получим систему уравнений (й— оронзвольное число, которое будем считать положительным и целым) «Ч д Г т дАГ 1 д Г а дкт 1 Хз ра — + йтЕ = 0 — [() — 1) — ]+ — [(1 — р ) — ] — й йт=О, дх~ дЛ3 дт« ~ др 1 Р„а П(1 ра) Первое уравнение имеет решение Е=А соз йе+В з!п йк, второе, если положить йт=х.(Л)М()«) и разделить переменные, может ешь приведено к системе уравнений — [(1 — )ьа) — ]+ [п(п+ 1) — — ] Е = О, дг адЕ! г Аа а~ дЛ~ ! — ха — [(1 — р') — ] + [и (п + 1) — — ] М = О, окающей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра ') р„'(р) = (1 — р )'н " '"' , д„' (Л) = (х 1)'и с)"( ' . (67) дн дтс «! Сн,, например, К н 6 ель И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
