Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 63
Текст из файла (страница 63)
гася в теории прнтяження, электроста. тике и др. е! 3. Поток диполя в безграничной жидкости получим, используя прнен Ю наложения потоков. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника е стока с равными по абсолютной веля. Рнс. 116 чине мощностями ~Я. Расположим сток (рис. 116) в точке А прямой линии АЕ, источника точке А', находящейся от точки А на расстоянии АА'=бе. Определив потенциал скоростей ф в некоторой точке М с вектором-радиусом АМ=С образующим угол 0 с направлением прямой АЕ; найдем (т'=А'М) — —, +— 4лт' 4лт $ 65 ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 279 Предположим теперь, что источник сближается со стоком, а мощппсть увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство !Нп Я АА'=лп.
А '-~А е- 7пгда, переписывая потенциал скоростей ф в виде 5Р= — — Я АА' . ! , !/г' — !/г 4а АА' и переходя к пределу, получим (7) плп, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. )16, В (!) ! Иг созе Вз г ,з Сз ,з получим /л с05 9 !р =— 4кгз (8) Полученный предельный поток с потенциалом скоростей ф, определенный формулами (7) или (8), называют потоком дилолл в точке А с осью А(. и моментом аь. Иногда момент диполя рассматривают как вектор вп, имеющий величину т и направленный по оси диполя АЬ; при этом патепциал диполя можно представить при помощи скалярного произведения момента на вектор-радиус так: вз ° г 'р= 4ягз 4, Непрерывное распределение источников в безграничной жидкости.
Пусть внутри некоторого объема т непрерывно распределены источники (спппя) так, что на единицу объема приходится мощность д. Величина д, представляющая собой функцию координат точек в объеме т, играет роль пйьенной плотности распределения источников (5))0) или стоков (4<0). Элементу объема дт, находящемуся в некоторой точке А объппп т,соответствует источник мощности д дт, и потенциал скоростей этогоэлементарного источника в любой точке М пространства, заполненногп жидкостью, как внутри, так и вне объема т равен д5Р =— дат 4лг ып г — длина вектора-радиуса АМ=г, соединяющего элементарный истппппк'в точке А с текущей точкой пространства М.
Пользуясь приемом нпложения потоков, определим потенциал скоростей в точке М от непрерыппо распределенных в объеме т источников в виде ! г паз ф= 4л,) г 5 (9) Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарпнн объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам тпчпн А, в то время как точка М, в которой определяется потенциал скоростей, является фиксированной. Если обозначить через а, Ь, с демртоаы координаты точки А, а через х, у, е — коордннатыточкиМ, то ЕВО ГЛ.
1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВР!ХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ формулу (9) можно переписать явно так: 1 ('('(' д(а, Ь, с)!(а!(Ь!(с 4!1,),),) (х — а)'+ (у — Ь)!+ (г — с)! !х1 Если область течения жидкости безгранична, то функция ф при удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим че. рез /1 среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т; тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что потенциал скоростей ф будет стремиться к нулю, как 1/)т при /1-+.Во, или, иначе, что функция ф имеет порядок малой величины 1/Я: ф=О(1/)1).
Потенциал скоростей (9) совпадает по форме с общим выражением ньютонова потенциала. Если под !) понимать плотность распределения массы в объеме т, то выражение (9) даст потенциал сил тяготения еданичной массы в точке М к некоторой в общем случае неоднородной массе, заключенной в объеме т; если под д понимать плотность распределения электрических зарядов, то ф будет потенциалом электростатического поля. Вспоминая определение дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников, можем, очевидно, для любой точки объема т написать Д!ч У=9, (10) откуда, используя равенства У дгадф, б(чУ= !7'ф, получим следующее уравнение Пуассона: тт! (Н) Отсюда следует, что функция ф, определенная формулой (9) в неко. торой безграничной области, заключающей в себе заполненный источинками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона (11) внутри объема; в остальной области, где !)=О, функция ф представляет собой решение уравнения Лапласа !ч й!р причем ф=О(1Я).
В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (9) дает единственное конечное, непрерывное и однозначное решение уравяе. ния Пуассона (11), обращающееся на бесконечности в нуль. Следует, конечно, иметь в виду, что указанное решение является лишь простейшим частным решением уравнения Пуассона, отвечающая безграничной области н не подчиненным граничным условиям, которые возникают в задачах определения потенциала в ограниченных областях, Наряду с объемным распределением источников в гидродинамике, также как и в других отделах физики, рассматриваются еще поверхност.
ные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностной и линейной плотности распределения источников то же обозначение 4, будем иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхностного и линейного интегралов !.Ч!(о 1 Г д!(! (12) 4В,) г 4В,) е Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности В, дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения В электростатического притяжения потенциала простого слоя.
Потенциаз простого слоя является решением уравнения Лапласа, причем, как доки $ 70. поле скОРОстеи, индуш!Руемое ЗАДАннОЙ системои ВихРей 28! зывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен и непрерывен во всей области, включая и поверхность а'). Производная от помнциала простого слоя по направлению нормали к поверхности о претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность о разрыв непрерывности — конечный скачок. Подобно тому как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся на одном, наиболее важном распре- л Зеленка диполей, образующем так Ю называемый двойной слой.
Возь- в~ нем некоторую поверхность о и по-," „лзуе кроем ее непрерывно распределеняыын диполями так, чтобы моменты хх (нлк оси) совпали по наяравленню с внешними нормалями и к поверхностн о. Обозначив плотность распределения диполей через пз, по- Рис. 1!7 .1учнм вектор момента диполя, приходящегося на элементарную площадку 0а с ортом внешней нормали и, в виде пзз(оп, а элементарный потенциал скоростей з)гр, согласно (7) или (8), будет равен 1 д 71! 1 лзсозв бзгр = — — гп — ! — ) с(о = —— с~~ зч 4п да (г) 4я где й (рис. 117) — угол между внешней нормалью к поверхности и и вектором-радиусом к=АМ текущей точки М относительно точки А, взятой аа поверхности, Полный потенциал скоростей от покрытой диполями поверхности о (! 3) служат гидродинамической аналогией известного в теории электричестм а магнетизма потенциала двойного слоя.
Если потенциал простого моя представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхаости, то потенциал. двойного слоя дает магнитный потенциал нанхгначенной поверхности (магнитного листка). Упомянем, что потенциал двойного слоя (13) также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности цри переходе текущей точки М через поверхность о. Комбинируя потенциалы простого н двойного слоев, можно решать рхзлнчные задачи обтекания тел, $70. Поле скоростей, индуцнруемое заданной системой вихрей в безграничной жидкости.
Формула Био — Савара Наряду с основными особенностями скоростного поля: источниками, стокамн и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии. Предположим, что в некотором объеме т (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности й и требуется разыскать рас- ~) В точках поверхности о потенциал простого слоя выражается, согласно (12), через несобственный интеграл. который берется в смысле своего главного значения. гл.
~х. плостглнственнов ввзвнхгввов движении 282 (16) причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию б(чА = О. Тогда уравнение (14), если вспомнить последнюю формулу (88) гл. 1 го1 го1А=игас! й!чА — ~7'А, превратится в следующее т7'А = — ьт (16) Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуас.
сона (11), можем составить решение уравнении (16) в форме обобщения ньютонова потенциала (9) А=— (1Л 4л й где г — радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к элементу объема йт. Согласно (15) получим искомое значение вектора скорости ~= — го(1 1 Гийт (18) 4л ~ г Остановимся подробнее на случае окружающей в поле вектора го! У=ха вихревую нить Ь (рис.
118) элементарной вихревой трубки с конечной циркуляцией Г. Обозначим через йг элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что и Й; тогда, производя под знаком интеграла (18) по известной теореме Стокса о связи между интенсивностью вихре. вой трубки и циркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру замену Ййт = ййа йз = ййа йг = Гйг, получим вместо (18) 1г= — го1~ — йг = — ~ го!! — йе) 4л г 4л г Используя третье равенство (88) гл. 1 го1 11 — йг) = — го1 (Нг) + йгад ~ — ) х иг г1 т 1 Г11 г г г и замечая, что йг является потенциальныа вектором, так что го! (йг) — О, сможем предыдущее выражение У переписать в виде г'= — ~ угад ( — ) Хйг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
