Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 64
Текст из файла (страница 64)
4л 1,гг' (19) Полученное решение задачи о поле скоростей вокруг заданной внх. ревой нити Ь с циркуляцией Г можно еще упростить, непосредственно пределенне скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно У уравнения го1 У=И, (14) которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от области, занятой вихрями. Введем в рассмотрение векторный потенциал А, связанный с векто. ром скорости У соотношением У=го1 А, 4 тз, пОле скОРОстей, индуциРуемое зАдАннои системОЙ ВихРеи 283 энэасляя градиент под знаком интеграла: /11 ! 1 г г пгад ( — 1 = — — йтап г = — — — = — —; гз гз это приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электромагнетизм а формулы Био — Савара (20) Если рассмотреть элементарную скорость аУ, образованную (индузкроввнную) в точке М элементом вихревой нити йт, то можно вместо (20) написать а"у' = — —, Г агнг 4н тз нза, переходя к величине элементарной скорости, )Вгхг ! 1 Взмпв (21) По аналогичной формуле Био — Савара определяют магнитное поле от элемента электрического тока.
Чтобы проиллюстрировать применение формулы (20), определим снорость, индуцированную в точках пространства прямолинейным отрезком АВ вихревой нити с циркуляцией Г (рис. 119). Рае. 118 Рис. 119 Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке М давать одинаково направленные элементарные скорости дйт (по пгрпеидикуляру к плоскости, проведенной через отрезок АВ и точку М, э сторону вращения, создаваемого вихрем), и пользуясь очевидными равенствами (й — кратчайшее расстояние точки М от отрезка АВ) й=гз(п9, йз= — й(йс(29)=й— з1пэ В найдем по (21) выражение для 1а у'1 4п Аэ Мпз В 4п» ГЛ. !Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИИ Интегрирование по О от О=а до О=л — р дает искомую величину скорости У, индуцированной вихревым отрезком АВ: л-„В У= — ! з!пОс(0= — — (сова+ совр).
г г . г (22) 4ль 4ль Формула (22) играет основную роль в расчетах поля скоростей вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха. Полагая в формуле (22) а=р=О, вновь получим известную из теории плоского движения формулу скорости, индуцнрованной бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью, Г Ель О 71. Потенциал поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой нитью В случае замкнутой вихревой нити легко получить простое выражение потенциала скоростей. Рассмотрим замкнутую вихревую нить 1.
интенсивности Г в поле вектора го!а (рис. 120), ограничивающую некоторую разомкнутую поверхность о, и составим интеграл Г! а хс1г. с Построим элементарный цилиндр с образующими, парал. лельными орту нормали и к поверхности О, и с направляющей ограничивающей элементарную площадку до; тогда ! (' а х!(г' = — ( ах(пхп')с(о', ь,! Рис. !20 где О' — полная поверхность эле* ментарного цилиндра, состоящая нз боковой поверхности и двух оснований Оо, а Йг' и !(о' — соответственно элементы контура 1.' и поверхности О' элементарного цилиндра (ОО' на рис. 120 представлено заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного пронзве.
дения, найдем — ( — )- I лтт и х !(г = — ~ па„. с(о' — — ~" п а„!(о' = п — с!!ч а — Ягаб ( аа — ~ = ь,) ь,) " ь 1,"ь) ь а, а' =пб!ч а сЬ вЂ” ЯРА(а„СЬ). Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным контурам 1.' слева и по всем элементарным площадкам Оо справа, получим а хг(г=) пд(ча ОЬ вЂ” пгаб ') а„сЬ. (23) а а Положим в этой формуле а=дгас!(1/г); тогда будем иметь вместо (19) У=- — ~пЧ' ( — ) до — — вагаб ~ — ~ — ) до. а а ч гс. Фтнкция токл в пгостглнстввнных движениях Ио, как уже ранее упоминалось, функция !/г удовлетворяет уравнению Лайласа Т (1) =О, тах что окончательно найдем т'= — — йгай ~ — ( — ) йо. (24) Искомый потенциал поля скоростей замкнутой вихревой нити, следовательно, равен (25) Сравнивая (25) с выражением потенциала двойного слоя (!3), заыючкм, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити Е.
с циркуляцией Г совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенхмх по поверхности о, опирающейся на контур Е, и имеющих одинакогую по всей поверхности плотность распределения момента, равную цирхуляции вихревой нити. Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет собой аналог известной теоремы электродинамики об эквивалентности хуугового электрического тока полю магнитного листка. з 72. Функция тока в пространственных движениях В пространственных движениях нельзя ввести функцию тока в общем случае движения, как это было сделано прн изучении плоских движений; функция тока существует только в отдельных частных случаях; хсхоторые из них будут рассмотрены ниже.
Согласно второму равенству системы (84) гл. 1 уравнение несжимасмостн (4) имеет вид — '(Нсноу„) + — '(Н,Нр„)+ — '(Н,Н,у„) = 6. дчс дос " ддс Предположим, что одна нз составляющих скоростей движения, нахуммер У„, повсюду равна нулю или сохраняет не зависящую от д, веххчкау, причем в последнем случае коэффициенты Ляме Н, и Н, также хс зависят от д,, Тогда предыдущее уравнение сводится к более про- стому — '(Н,Н,У„,)+ — "(Н,НР ) =О дд, ' дч, откуда следует 1 д~> сьу НЧНЗ дев ' * НЗН1 дд1 ' Такого рода функцию чр будем по аналогии со случаем плоского двнжсаая называть функцией тока в криволинейных координатах.
Выбор верхних илн нижних знаков произволен и определяется из дополнительных соображений, (27) х южно утверждать существование функции чр, удовлетворяющей системс равенств (26) 286 ГЛ 1Х ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ д (г)Гг) д (гуг) + * — О д. дг (28) и позволяет найти функцию тока вр(г, г), связанную с проекциями ско. рости на оси цилиндрических координат соотношениями (выбор знаков будет вскоре пояснен) гУ, д$ гУ, дО дг дг откуда 1 д4г 1 дО г— э г дг г дг (29) Аналогично в сферической системе координат Я, О, е) при У.=О уравнение несжимаемости имеет вид д(й Улв(ВО) д(йр,в(ВО) — 0 дй дО (ОО) и проекции скорости на оси сферической системы координат выражают через соответствующую функцию тока вр следующим образом; 1 д$1 дФ Уя=, —, Ув= — —, 11вв(пО дО ' гтв(ВО дй Введенная уравнениями (27) функция тока обладает свойствамн, аналогичными функции тока в плоском движении.
Замечая, что в арто. тональных криволинейных координатах уравнение линии тока при г(ав= =0 имеет вид и, (Ч, 'г(вдг)в дуг дув дув г Ув1 Нг г 1 в Нг ~ 1 вг Нв 0 по (27) найдем г(4'= — г(уг + — г(г(в = О, в(ув = 0 84~ дО ди, ди, Следовательно, вдоль линии тока вр = сон з(„ ив=попа(. В случае ранее рассмотренного осесимметрнчного движения жнд. кости по меридианным плоскостям (е=сопз() равенства ф=сопз1 представят поверхности, образованные вращением линий тока вокруг оси Ог, Поверхности ф=сопз( назовем ловерхностягви тока.
В рассмотреннои только что частном случае осесимметричного движения можно на оса Ог положить вр=О; тогда значения вр будут пропорциональны секундныи Подчеркнем, что наличие функции тока зависит не только от харак. тера движения, но и от выбора криволинейной системы координат, прн помощи которой движение описывается.
Рассмотрим, например, осеснмметричное относительно оси Ог двн. жение несжимаемой жидкости в меридианных плоскостях, проходящих через ось Ог. При таком движении существуют все три декартовы проекции скорости и, о, щ, и все они зависят от трех координат х, у, г, так ди Ю йгв что из уравнения несжимаемости — + — + — =О, составленного В дг ду дг декартовых координатах, можно заключить об отсутствии функции тока, Вместе с тем при пользовании цилиндрической системой координат г, е, г при меридианности движения (У.=О) уравнение несжимаемосте имеет вид 287 $72. ФУНКЦИЯ ТОКА В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЯХ следовательно, 1 зг = — У„г'.
2 (32) В сферической системе координат уа=у созй — 1 д уе= — у з1ПО= — ! ОФ дф )сзз!ВО дО ' )дяВО дн Интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает ф= — 'У„к п Е. 2 2. Источник (стон). Выражение функции тока в сферической систене координат найдем, интегрируя систему уравнений 1 дчз 1 дФ вЂ” "з=О= — — —. 4п)1з Нзяпа дО ' )сз!ВО д)с (33) юйаенным расходам жидкости через ортогональное к осн сечение труб!и тока, ограниченной данной поверхностью тока. Действительно, секундный объемный расход сквозь ортогональное д дсн Ог сечение, ограниченное окружностью данного радиуса г, будет, согласно (29) и условию 717(0) = О, равен (с=~ У, 2лгйг=2л) — — гйг=2лф( ).
г 1 дз(7 дг з з Теперь понятно, что выбор знаков в правых частях (27) произведен так, чтобы при Я>0 было и ф>0. Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторного потенциала скоростей А, связанного с вектором скорости равенством (15).
Действительно, согласно этому равенству и формулам (84) гл, 1, имеем ! Г д (НзАр~) д (Нз ~рд) Ур, = го1„А— Нзнз (. ддз ддз У,„= го(,А— НзНз ддз ддз !. д(Н,Ар,) д(Н!Ар,) У,, =го(р,А — — ~ Н,Н, ~ ддз дд, Выбирая вектор А ортогональным во всем пространстве координатным поверхностям д,=сопз(, найдем д(Н,А ) 1 д(НА ) А =Ап=о, У =О, Ун = рз у НзНз ддз НзНз ддз пздожнв НзАФ ч-з17(с)„с)з), а коэффициенты Ляме и величину А„— не ддвнсящнми от д„получим формулы (27). Так, например, в сферической ялн цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим нзнененню одного В, и не зависеть от е. Приведем несколько примеров функций тока для простейших движений.
1. Однородный прямолинейный лоток со скоростью у„, параллель- ной осн Ог. В цилиндрической системе координат имеем У,=О= — — —, У,=У 1 дзе 1 дзй г дг ' г дг гл !х пРОстРАнстВеннОе БезВихреВОе ДВижение Получим ф = — — + сопз1, е в 4п или, подбирая константу из условия ф=О при 0=0, ф = — (1 — соз О). 0 4п (34) Легко найти интеграл этой системы т з!пз В 4п)! обращающийся в нуль при 0=0. (35) В 73. Обтекание сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
