Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 68
Текст из файла (страница 68)
А., Кон н н Н. Е., Розе Н. В. Теоретическая п,хронеханика. Ч. 1.— Мг Фнзнатгнз, 1963, с. 366, а также Л а м 6 Г. Гкдродннамнм,— М. Гастехнзлат, 1947, с, 176 — 161 «! Унттекер Э. Т., В а тс он Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. Н.— Мл фнзнатгнз, 1963, с. 140 — 144. гл. ~х. пгостглнственпов везвихревоа движение зоз Комбинируя этн функции так, чтобы выражение потенциала скоро. отей возмущенного движения было ограниченным прн Л- оо, получая общее выражение потенциала скоростей, Ф ~р (Лв )з) = '~~ ~~ Ял (Л) Ри (1~) (Апи соз йе + Вл» з(п йа) + У~у~ а=1Ф=1 здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей нь бегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечностн У„, направленной параллельно оси Оу (ряс.
127, б). Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала А„,=сУ„С„, А„, А„,=...=О, В„, В, ...=О, т. е. довольствуясь решением, содержащим созе, н, кроме того, пр~. ставляя у по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию Л, р и е: у = г соз е = с й $ зш т) соз з = с ~/У вЂ” 1 'р~Т вЂ” р* соз е, получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набе. гающего со скоростью У вдоль осн Оу потока: <р = сУ соз е '~ С„Я„' (Л) Р'„(р) + сУ УХ~ — 1 ~/1 — ~Р соз е, Л=1 илн, используя определение присоединенных функций Лежандра (67), , ( " дО„дя„ «р=сУ У'Лз — 1 ~/Т вЂ” р' ~„'С,—" — "+ 1 созе. (66) дх 4 Для определения постоянных С„, как н ранее, следует составить гринпчное условие на заданной поверхности обтекаемого тела.
В этом слу. чае неосеснмметричного движения функция тока отсутствует н приходится непосредственно вычислять нормальную скорость У„=дфдл а приравнивать ее нулю. Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной снстеие координат (Л, ц) условие того, что прн непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условне скольжения жидкости по поверхности тела): '~ х '~~и нли, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий н проекций градиента потенциала на направления этих линий, НЮ.: — — = Н,бр: — —.
1 д~р . 1 д<р 01 дЛ Н„др Отсюда вытекает нскомое граничное условие а д<р аде дх Н,— =Нх — —, "дЛ дй др (69) в котором Л является заданной функцией р согласно уравнению кон. тура обтекаемого тела в мернднанной плоскости. Составляя частные $76. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ зоб производные дф/дл, дф/др, по (68) будем иметь 1 де 11/„же дЛ рй 7' 4)л дРл сРС)л сТРл = т.
с.— ' — "«-1 -а КТО:ТцГ:, ~т.с.— ' — ", Р~ Л вЂ” 1 ~ дЛ др дЛй Л=1 Л=1 1 д~р сУ„созе др Лй ! 1' с!0„17Р„ сас апйР =-ау =(т. с.—" — '-11).а асса ' — — 17о — аст. с.—" — '. 1 — р~ дЛ др ) дл 4Р Л=й л=1 Заменив входящие сюда выражения вторых производных на оснопзппи дифференциальных уравнений для функций Р„и (;7„ д Ол спЕ (! — Лй) —" = 2Л вЂ”" — и (и + 1) (~„(1 — р') —" = 2р —" — и (и + 1) Р„ длй спл дрй спр получим после простых преобразований др 1 1Р у дйсл ап~ л — — = — Л вЂ” ХС вЂ”" — + су„ ало дЛ Л-1-', лдЛ др +~/л, 1 Х л(и+1) ф߄— "+ Л)/1 1 дпс ° Лй — 1 %1 Сасл дрл сУ„сайй др 1 — рй дЛ др аа 7Р— 1 Л вЂ” 1 — ~/ — „~Я п(я+1)Сл — л Рл — )й у— рй дл 1 — !Р Подставляя эти выражения производных в (69) и используя ранее пнпеденные значения коэффициентов Ляме й й)Р— рй 1 й Лй — рй НА= пй —, Н;,=с'— 7Р— 1 1 — рй' получим после очевидных сокращений гс, дл ~ си)л вял дР„дср„дл Л 1 ~ Сл ~ ~Л + р — ) —" —" — л (а + 1) ~9„— л + — л Рл — ) ~ = Х + р — .
др сб др л4 дл 4 др' а 1 Имея в виду, что на поверхности тела Х представляет заданную функцию от р, перепишем граничное условие в окончательной форме тзк: 'Я С, ~ — —" — л(л+ 1) — (Я,Р„)~ = †. (70) Гд(лр) дс) длл ап 1 с1 (Лр) др дЛ др др спр Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения Х=Ла, продольное осесимметричное обтекание которого было изучено в предыдуи!еи параграфе. В этом случае граничное условие (70) можно выполнить, положив С„=О при л>1; тогда будем иметь (Р, р) Сй ~Ло ( ' ) 2!азй (Ло)~= "о Л~са зоо ГЛ. !Х.
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ откуда, согласно ранее приведенному выражению я,(Л), следует л, с, ! л+! 2 — — — — л!и— О л" ! 2 Л вЂ” ! О Напомним, что здесь Л,=1/е, где е — эксцентриситет эллипса, пред. ставляющего меридианное сечение эллипсоида. Потенциал скоростей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения равен по (68) ср=сЪ',.'1/У вЂ” 1~/Т вЂ” 1!а~С,[ф,(Л)+ 1+ 1~созе; (71) скорости определяются простым дифференцированием (71) НА дх Н„дв ' Н, де Решение задач о продольном и поперечном обтекании тела враще.
ния приводит, как это видно из содержания настоящего н предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном случае трудоемких вычислений. Эти вычисления могут быть облегчены приме. пением приближенных методов, использование которых ограничено лишь случаем обтекания тел большого удлинения с отношением длины к максимальной толщине порядка 8 — 12 (см. $76 четвертого издания настоящего курса). При современной машинной технике вычислений такого рода приближенные методы в значительной мере потеряли свое значение.
$ 77. Применение метода особенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения. Тела большого удлинения (72) Если задаться видом функции д(х'), то, вычисляя интеграл (72), получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г и х позволит вычислить и проекции скорости 1',' и )с'. Наоборот, зада. ваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконеч- Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования про.
дольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непо. средственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координа. тах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определя. лись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси.
Для этой цели применялись вначале дискретные особенности потока — системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии — не. прерывные их распределения. Предположим для определенности, что на отрезке ( — с, +с) оси Ох задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности д(х). Тогда потенциал !р' возмущенного движения, созданного этой си. стемой особенностей, будет, согласно второй из формул (12), равен (знак минус введем в определение интенсивности д) с !р'(г, х) = — ( ! (' д(х')Ы»' "" с Рс/с='Р з гг. пРименение метОдА Осозенностеи 307 засти н написав условие непроницаемости поверхности тела, получить дкгггралаиог уравнение, в котором г)(х') будет неизвестной функцией.
3дигеяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман' ) разработал гмгод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако жгод Кармана не был достаточно общим н, кроме того, требовал рещгкия в каждом отдельном случае системы большого числа линейных ддггбраических уравнений, что делало его по тому времени слишком трудоемким, Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (8), можно составить и потенциал ~р, попересгного обтекания тела вращения, складывая потенциал однородного натекания с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости зг непрерывно распределенных по отрезку — с(х<с диполей иитенснвности лх(х') с осями, направленными вдоль Оу: с гсоза Г гл(х')с(х' гр,'(», х, е) 4 л (з+( ') )ч (73) 3десь также можно задаваться распределением интенсивности в(х') нлн, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального урзвеения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
