Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Не останавливаясь на изложении этих в настоящее время уже маго)потребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при за;анной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции г)(х') и лг(х') могут быть выражены через ранее введенные козффециенты А„и С„'). разобьем ось симметрии тела вращения Ох на две области: одну, определяемую интервалом — с<к<с, заполненным особенностями, н вторую, представляющую остальную часть оси Ох, где )х()с. В эллипгхчгсквх координатах Л, )х, введенных в начале $75, отрезок, на кото)вы расположены особенности, представится согласно второй нз форкуд (54), как Л=1, -1<ц<1, сг О =си„; АД„(Л) плн ( Ч (с(д ) с()д' 4п,) ~1 +1 (' лг(ср') Л(д 4 4.1 „, „,), (74) л л 1 ) ф—" 2 (75) л=г ~) К аггл д п ТЬ. ю Вегесьпнпя бег Пгнскчег1еицпя ап ьй((зс)61(когрегп.— АЬЬапбЫагзп анз дега Аегооуп.
1пМ. АасЬеп, 1927, Н. б, Подробное изложение этого и других спадов, а также применение их к расчетам см. Фа бр и к а их Н. Я. Курс азродииамдз. Ч. 1, гл. Ш,— Мс Госгехиздат, 1938. г) См, ранее цитированную статью Каплана. а остальная часть оси Ох, как )с=~1, 1<Л<оз. Тогда, сравнивая между собой вне отрезка ( — с(х'<с) выражения потенциалов возмущений (72) и (73) с соответственными выражегхямн тех же потенциалов, взятыми из формул (60) н (68), и приняв во внимание, что Р„(1) =1, г(Р„/г((д)„=,=п(а+1)/2, получим следующие два равенства: 308 ГЛ. !Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ которые при заданных коэффициентах А„и С„можно рассматривать как два интегральных уравнения для определения неизвестных функ. ций а ит. Интегральное уравнение (74) может быть решено, если искать решение в виде ряда 00 !7(с)»') =- '5', а„Р„()»'), — 1 ~р' < 1.
л=» Подставляя это разложение в (74), получим г Р.ЮЫ вЂ” ',~', ал 3! " =сУ 'Я АД„(А). 4л х — !»' л» л=» Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра' ) +» Р '»)' =2)с ()) )» — и 1 перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде Ф~ л — ',"»', аДл()»)=сУ„~~» АД„()»), л=» откуда будет сразу следовать искомое решение и = 2псУ„А„, д (х') = 2псУ ~~~~ АлР, (х'/с).
(76) л=» Для разыскания второй неизвестной функции т(х') продифферен. цнруем раз по )» и другой раз по )»' известное разложение') ='Я (2п+ 1) (~„()»)Р,(р'); л=» тогда получим ! ! ~~»)л ~~ л = — — э» (2п+1) —" — ". (Л -р') з 2 »О» о)»' л=» Подставляя это разложение в интегральное уравнение (75), преобра.
зуем его к виду ! — — '~~~ (2п+1) —,х ~ т(с)»') —,, а)»' =)г '~ С.— „, . л -1 л» Используя далее разложение неизвестной функции т(с)»') в форме СФ т (с)»') = — 2псз)т (1 — р') '~~~ сз а=» лр' и замечая, что, в силу ортогональности полнномов Лежандра, аР„аР !О пРИ ЙФп, ~(1 — )»' ),»,!»()» = 2л(л+ !) -1 2л+ ! ') У итте кер Э. Т., В а тсои Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. П.— Мс Физматгиз, )963, с.
!35. з) Там же, с. !38. П |П ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЪ|ЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 309 убсдпыся в справедливости равенства с„= С„, Итак, имеем и|(ср') =т(х') = — 2пспУ ~1 — ~ — ) ~ ~~~~ СА . (77) Совокупности формул (72) и (76), (73) и (77) позволяют при желаппн пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндричетппп координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты А„и С„, Зппетеы, что эти коэффициенты проще определять при помощи разлокеняй уравнения контура меридианного сечения в ряды по функциям и| эллиптических координат, а уже затем проводить расчеты в эллип|пчесппх нли цилиндрических координатах. Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинвни.
ге можно определитыу(х) и т(х) из следующих двух простейших предположений; 1) в случае продольного обтекания будем считать нормальную к поверхности тела составляющую скорости возмущения У.' равной скоупсте плоского движения от источника, расположенного в ближайшей |пппе оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст 2лг ь» о|пуда |у(х) = 2нӄà — = ӄ—, йг йА и» ь» (78) $78. Элементарная теория крыла конечного размаха При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла беснопечного размаха уже указывалось, что образующиеся в результате пэппыодействия крыла с потоком вихри могут быть заменены одним присоединенным вихрем, обусловливающим наличие подъемной силы крыла. Этот присоединенный вихрь, в согласии с классической теоремой Гельмгольца, не может начинаться или заканчиваться в жидкости, Совпадая по направлению с осью крыла бесконечного размаха, присоедипппный вихрь приходит из бесконечности и в бесконечность же уходит.
Интенсивность присоединенного вихря одинакова вдоль оси цилиндрнппспого крыла, сдинаковы и циркуляция скорости по контуру, охватынающеыу любое сечение крыла, и подъемная сила единицы длины крыла. Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например на Крыле самолета, циркуляция не сохраняется вдоль осн, а достигает свое|о ыаксимального значения посередине крыла и обращается в нуль на пго концах. Объясняется это возможностью выравнивания давлений на ппжней н верхней поверхностях крыла за счет возникающих перетека- прячем заданная функция г(х) описывает контур меридианного сечения, А- площадь поперечного сечения; 2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т(х) пэ условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями х и х+дх, обтепался так же, как элемент бесконечного цилиндра в плоском движеппе.
Это приведет к равенству т(х) =2нУ„г'(х) =2У А(х). 310 ГЛ, !Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ Рис. 128 ннй воздуха на концах крыла нз области повышенного давления на ннм. ней поверхности в область разрежения на верхней. Выравнивание давлений приводит к исчезновению подъемной селы, а следовательно, н цнркуляцнн присоединенного вихря на концах крыла.
Наличие перетекания воздуха с нижней поверхности на верхнюю образует на крыле поперечные течения, которые смываются с его ео. верхностн набегающнм потоком н, сходя с задней кромки крыла, образуют вихры. Первые шаги на пути создания теории крыла конечного размаха были сделаны у нас в России Чаплыгиным' ) н в Германии Фннстер. вальдером ) в 1910 г., одна.
ко широкое распростраяе. нне благодаря своей ясклю. чительной простоте н на. глядностн получила относя. голЫиыа шаяся к периоду 1913- Мири 1918 гг. теория несущей лв. нни Прандтля '), основы ко. торой и излагаются в настоящем параграфе. Сущность этой схем н крыла конечного размаха заключается в следующем. От основного присоединен. ного вихревого шнура крыла отделяются н уносятся потоком так называемые свободные вихри, оси которых в некоторая удалении от крыла совпадают с линиями тока уносящей нх жидкости.
Прн поступательном равномерном движении крыла конечного размаха в перпендикулярном к осн крыла направлении нлн, что то же, прн набеганнн однородного потока на крыло можно заменить крьгло некоторой воображаемой стационарной системой неподвижных вихрей, состоящен" из присоединенных вихрей крыла и сошедших с крыла свободных вихрей; эта схема показана на рнс.
128. Несколько идеализируя схему, заменим прнсоеднненный вихрь крыла несущей вихревой линией, и редста ален ной отрезком — 1(г(1 осе Ог, а свободные вихри расположим в плоскости «Ог в виде уходящих в бесконечность лучей, параллельных осн Ох, вдоль которой набегает поток (рис.
129). Свободные вихри образуют вниз по потоку за несущей линией вихревую пелену, представляющую, так же как н вихревой слой ($52), поверхность разрыва составляющих скоростей, параллельных осн Ог. Пусть непрерывная н днфференцнруемая функция Г(г) характеризует распределение анркуляцнн вдоль несущей линии ( — 1(г<1). Измененню циркуляции присоединенного вихря от значения Г(ь) в точке М (г=Ь) до Г(~)+ — Щ в точке М' (г=Ь+йс) на йГ= — йЬ соответйг йг с!ь ствует сход вихревой полоски ( на рис. ! 29 заштрихованной), образующей элемент вихревой пелены, циркуляция которого равна также йГ. Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует поле скоростей, которое складывается с однородным набегающим потоком. Вре. ') Ч а п л ы г и н С. А.
Результаты теоретических исследований о движении аэро. планов. 11оклал 9/Х! 1910 г. — Собрание сочинений, Т. 11. — Мд Гостехиздат, 1943, с. 230 — 243. ') Р)п в1егте а!бег. Э!е Аегойупагп!)г а1в Сгной!иге йег Ьп!1эсж!1аьг1.— хе!Ьх Гйг Р)ня)есьп. ппй Мо1ог!нпвсшцаьг1 (ЕРМ), 1910, № 1, 2. ') Р г а и й1! 1.. Еггеьп!зве ппй 2)е!е йег Со!11пяег Мойе!1чегвпсьапв1а)1.— 2РМ, 1913, № 3, а также Тгая!!йяе!!Ьеог)е 1, 11.— Сбшпяег )Часьг!сщеп, 1918. зн $7В. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА эувьтате такого наложения создается неоднородное поле скоростей, допускающее приближенное рассмотрение, Проведем через точки несущей линии перпендикулярные к ней плоскости, одна из которых П(х О'у') показана на рис.
130. Рассмотрим проекцию действительного поля скоростей в точках плоскости П на эту Рис. 129 ввоскость и назовем соответствующий, лишенный поперечных скоростей ш поток сечением действительного потока плоскостью П или, для краткости, ллосним сечением потока. Если бы крыло имело бесконечный размах, поток был бы плоским; шгпв, удалив крыло, мы получили бы однородное поле набегающего выюка с некоторой скоростью на бесконечности ЕУ„. В случае крыла Гляечкого размаха это не так. Если в плоском сечении из полного поля у скоростей вычесть поле возмущений <у<я вт расположенного в этой плоскоств элемента несущей линии, то оставшееся поле плоского сечения по- й'„~< гека будет содержать как однород- а яую часть ЕУ от набегающего пото- а<Р .
и, твк и добавочную неоднородную меть Уь индуцируемую свободны- с' Гм вихрями пелены, расположеннычв в плоскости хОЕ. Неоднород- и ность поля этих индуктивных скоростей У, является следствием разпвчвя расстояний отдельных точек ч<юскости от элементов свободных Рис.
130 вихрей пелены. Анализируя количественное различие между индуктивными скоро<тяни в точках плоскости П вблизи точки О', можно было бы дока<ать<), что во всех плоских сечениях потока, удаленных от концов А и В несущей линии, различия между полями индуктивных скоростей вблиэя точки пересечения несущей линии с близкими друг к другу плоскос<яни сечения тем меньше, чем больше удлинение крыла, т. е. отношевве его размаха к средней хорде. Представляется допустимым для каждого плоского сечения потока ввести понятие о своей местной скорости на бесконечности У„(рис.
1ЗО), ') Д о р о д н и и ы н А. А, Обобщение теории несущей линии на случай крыла с нзог- <утея осью, не перпендикулярной потоку.— Прикл. мат. и мех., 1944, т. 8. 3!2 тл. тх. плостгкнстввнное ввзвихгввов движение равной сумме векторов скорости потока на бесконечности перед крылом О„и индуктивной скорости У, от свободных вихрей пелены У„= О„+ Ус. (80) Как видно из рис. 130, вектор индуктивной скорости У, в точке 0' несущей линии должен быть направлен по оси О'у'. Расположение его в отрицательную сторону оси О'у' соответствует показанным на рисуя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
