Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 73
Текст из файла (страница 73)
С этой целью, воспользовавшись (125), перепишем их для ,рвтвости в форме (127) в перейдем от примененных в этих равенствах абсолютных производив в относительным согласно равенству (11!). Будем иметь для вектора Р выражение Р = — — — ы'хВ. ии (128) ки Что касается выражения (123) главного момента М, то здесь надо Г!ваять во внимание существенную для правильного вычисления абсо- ив ГР н М» обозначают соответственно главный вектор и главный момвт внешних сил, приложенных к твердому телу, помимо реакций жидввств Г" и М.
Принимая во внимание (!22) и (123), перепишем предыдиве уравнения в виде ГЛ. 1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 324 лютной производной по времени разницу между вектор-радиусом т г абсолютной системе координат и совпадающим с ням в данный момент времени относительным вектор-радиусом г*. Прн принятом нами мгяс. генном совпадении подвижной О*х*у*г* н неподвижной Охуг систге координат абсолютный вектор-радиус т следует рассматривать как прг.
дельное значение суммы вектор. радиуса точки О' н относительного вгн. тор-радиуса т' г=(го + Р )го~-о~ что нельзя не учитывать прн вычислениях абсолютной производной. Бу- дем иметь, согласно вторым равенствам систем (125) н (127), — = — — 1Р1РР хп да=- — — 1 Р1Р(го +г)хпйо а'т а' 1' Г ы г йг Е1,) й1,) о о о. авто* Г й Г а 1 = — ~ — ' Х~" Р1РПйа+ По Х вЂ” ~~Ргрнйо+ — ~~р1РР'Хайа1 ~ В1 Вг Л1 3 о о о У, х В+ — (!'), „ йт Переходя после этого от абсолютных пронзводных к относнтель.
ным, окончательно получим искомую формулу главного момента сгл давления потока на поверхность тела йо! М= — — — е'Х! — УоХВ, В1 где под! понимается его выражение в относительной системе координат ! = — ) р <рг' х и сЬ. (131) Разберем два частных случая общего движения твердого тела В жидкости. 1. Тело движется в жидкости поступательно н равномерно. В этан случае ьоо=О, В не зависит от времени, и равенство (128) приводит к известному уже нам парадоксу Даламбера 5 73). Как это следует ез (129), главный момент сил давления при этом не равен нулю М= — У хВ.
Равновесию тела соответствует выполнение условия параллельно. сти векторов У, н В. 2. Движение тела складывается из равномерных движений полюса н вращения вокруг полюса. Парадокс Даламбера в этом случае уже несправедлив; имеем по (!28) г"= — гвоХВ. Главный момент состоит из двух слагаемых М = — Во* х! — УохВ. Для дальнейшего полезно изменить обозначения проекций векторов скорости У, полюса тела н угловой скорости ео его вращения, положив °, ° о 1О о Чг' ~о '1г' г Чо~ ~о оо г точно так же примем обозначения В„=„„=В„В,=В,; 1,=В„1„=В„1,=В,. П 79. ОБШИН СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 325 В новых обозначениях будет выражение потенциала скоростей (114) з ф= ~ «Узфз. (131) Воспользуемся теперь выполняющейся в любои момент времени на поверхности тела о системой равенств (1!6); тогда в новых обозначенппп будем иметь по (13!) дф~ Р~ф — "о= — Р ) ~х'.с «узфз — «Ь= ~' Хмдз (с =1,2,...
6) дл дл а а л А=с (132) гпе введено обозначение Р дфс Ам = — Р ) — фз«ПО. дл (133) Величины Уз;„вычисленные в связанной с твердым телом координатпай системе, представляют собой некоторые постоянные, зависящие апиь от ялотносги жидкости и формьс ловерхности тела, так как, по рапсзлоказанному,«р, не зависят от времени. Являясь коэффициентами в выражениях (132) присоединенных копппества и момента количества движения через скорости «уз, величины с„пграют роль инерционных коэффициентов, лрисоединяемьсх к инерПаанлыя коэффициентал«, входящим в аналогичные выражения количесгаа движения и момента количества движения салсого твердого тела. Так, например, проекция на ось Ох количества движения твердого гып, кассу которого обозначим через т*, равна Ч,'= ~ У,'«(т' = ~ (и, '+ ьз„'г — «в,'у) «ст' = лз л« =гп'и, + ьз„) г«ст' — ьз, ') удт'=т'и, + т'г,ыа — т'у,«в„ а~ гпе у, н г,— координаты центра тяжести тела; отсюда в новых обознапепппх следует (йс = — и «уз + и г,у, — т у,«уз.
Проекция на ось Ох суммы количества движения Агз и «присоедимппого» количества движения В будет равна (Ус'+ Вс — — (вп'+ Узпз) «Уд + з сз«У9 + з сз«уз + У«пз«Уз + (т'г~ + з сз) «Уз + + ( — т'у, + у«пз) «уз. Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффицизпты )лз присоединяются к инерционным коэффициентам в выражении пуаппцни количества движения твердого тела: Ли — к массе, у«„и у«„— п статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае га«тпзляют члены, отсутствуюшие в выражении проекции главного векюрп количества движения твердого тела. Инерционные коэффициенты )„называют коэффициентами присоединенных масс, Тридцать шесть коэффициентов присоединенных масс с«с' = 1, 2,..., 6') с«к = 1, 2,..., 6,! обладают свойством симметрии, т.
е. не зависят от порядка индексов. Чтобы зто доказать, составим применительно к объему т, ограниченно- ГЛ. 1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 326 му поверхностями тела а и сферы а, большого радиуса /1„следующе» известное соотношение (применено второе из равенств (88) гл. 1 прп а=пгай ф»): $ ф~7»ф»йт = ~ фг б(ч (огай ф») йт = ') п(ч (фг йгас1 ф») с(т — ~ Кгаг( фг ° огай фм(т и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком ип. дексов; тогда получим общую формулу ~ (фг7'ф» — ф»7»фг) йт = ~ б(ч (фг огай ф») йт — ~ й(ч (ф» огай фг) ат. Замечая, что единичные потенциалы ф, и ф, удовлетворяют уравнь иию Лапласа, и применяя к правой части формулу Гаусса — Остроград. ского, приходим к равенству ~ (ф~ — ' — ф» — ') йа = ~ (фр — ' — ф» — ') йа,.
л Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа при уд». ленни поверхности сферы а, на бесконечность стремится к нулю (ф< име. ет порядок 1Я,', дф;/дл, — порядок 1/)Р,'); тогда будем иметь д<р» (' дф~ фг — йа = ) ф» — йа дл дл нли, по определению коэффициентов присоединенных масс, Ла — л»ь что и доказывает свойство симметрии этих величин. Присоединенные массы );» входят коэффициентами в выраженее квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости в объеме т между поверхностями а и а, и замечая, что внешняя нормаль на а совпадает с внутренней по отношению к объему т, получим Т= Р ('р'»йт= —" ( дгайф дгабфйт= 23 23 р г. = — ~ б)ч (ф огай ф) йт — — ~ ф7 ф йт = — — ~ ф — йа+ — ~ ф — йа, 2 ) 2 ~ 2,) дл 2,) дл» а, и, вновь замечая, что при удалении поверхности а„ на бесконечность вто. рой интеграл справа обратится в нуль, получим Т= — — ~ ф — аа. ре др (134) 2,~ дл 3 Подставим сюда разложение потенциала скоростей ф на единичные потенциалы составных движений ф;; тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жвдкости через скорости тела и присоединенные массы » 6 т= — у р хмд,д,. (135) г=»»=! Сравнивая это выражение с выражением (132), получим связь меж. ду присоединенной кинетической энергией возмущенного движения Т н э гэ.
овшии слкчлн движвния тве»дога твлл з2т прпсоедкнениым количеством движения В, Вг= — (г' =1,2, ...,6). дТ дд (136) Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии сэяого движущегося твердого тела Ф Т =- ) 1' л(лэ'= — [гп (ио + оо + гео ) + 2ш'хс (оевс — юови) + 2 -(- 2лг'У,(щ,в„— и,в,) + 2т'л, (и,ви — о„в„) + У,в„'+ У„в„*+ й,в,*— ;с легко убедиться, что при присоединении кинетической энергии Т возпуп1енной телом жидкости к энергии самого движущегося тела Т' коэффициенты Х„, так же как и в случае векторов количеств и моментов вличеств движения, присоединяются к соответствующим инерционным лсэффицнентам в выражении Т*: массе, статическим моментам, моментэм инерции и центробежным моментам.
Это еще раз поясняет смысл поэффицнентов Х„ и происхождение названия присоединенных масс. Приведем расчеты нескольких простейших «присоединенных масс». Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный безграничной идеальной пссжимаемой жидкостью плотности р, совершает поступательное движение вдоль оси Ох, перпендикулярной к оси цилиндра, со скоростью п„являющейся заданной функцией времени й В этом случае потенциэл скоростей возмущенного движения будет и2 1 /!~ к е= — Ке (ие — ) = — и, (г) а' Ке ( — ) = — и,(1) а' 2 хе+ ке = — и,(1) а' — = — ие(1) а —, х э сове и коэффициент при и,(Г) ие соле Фэ = —— Г йудет играть роль единичного потенциала, а коэффициент присоединен- най массы по (133) будет равен ум= — р) ф, ( — ' ) агуе=ра дэ соз егуе=яра =аэ, '1 дг ~ д) е 9 гле «э — масса жидкости в объеме цилиндра, приходящаяся на единицу его длины.
Реакция жидкости на цилиндр будет определяться по формуле с к э 4й~о иие дг дл дэ , ди ° — ~к+ ркэ дл В случае равномерного движения цилиндра (суи,уЖ=О) эта сила пропадает и имеет место парадокс Даламбера. При ускоренном движепнл цилиндра реакция жидкости существует, причем она тем больше, чем больше ускорение цилиндра. Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (ал'— касса единицы длины цилиндра, г"" — внешняя сила, помимо реакции жидкости) гл. |х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
