Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Разобьем так же, как это делалось в плоском случае, потенциал скоростей н функцию тока на части, соответствующие невозмущенному однородному потоку ср, ар„и малым возмущениям гр, ф, положив р= р-+ р, ф=ф-+ф. Аналогично, считая однородный поток параллельным оси симметрии Ох, а скорость его равной (/, представим проекции скорости и, и и плотность р также разбитыми на величины, соответствующие невозмущенному потоку У„, О, р ., и малые возмущения й, й, р и=У +й, В=о, р=р + р. Подставляя эти выражения в (139), (140), получим д'Р дср - д'Р д4г У„+и= — + —, о= — + —, дх дх дг дг (145) с 1 + — /! г(У + й) = — + —, ~1 + — /! го= — — — — .
р ! — 3$ др / р 1- 'Ч д~р р / дг дг ~ р г) дх дх Отсюда в нулевоа приближении (<р= ф =й=о=р= о) будем иметь и„= — ", о= — ", .и„= — ", о= — ", дср ду 3гР д~ дх ' дг дг ' дх что приведет к обычным выражениям для потенциала скоростей и функции тока невозмущенного потока ф и ф„: р„=и„х, ф„= — 'и ". (145) 2 Из первой строки системы равенств (145) непосредственно следует д~р - д<р и= —, о= —. (14'!) дх дг Для вывода аналогичных связей проекций скоростей возмущения с соответствующей им функцией тока необходимо в последних двух строках системы (145) исключить возмущение йлотности р.
С этой целью за. метим прежде всего, что )га = (У + й)а + йа = У* + 2У„и + и' + оа, 1 — —,= — 2— ') См. пан-Дайк М. Методы аоамущений а механике жидкости.— Мл Мнр, 4962, с. 236 — 242. В 60. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ззз в перепишем равенства (143) и (144) в следующей форме: — = — — М 2 — + — -1- — + ... (148) — = — — М' 2 — "+ —" + —" +...
Напомним, что при рассмотрении линеаризованных уравнений плос. люто течения газа мы в предыдущей главе пользовались аналогичными фприуламн, но сохраняли только первые члены в квадратных скобках, пренебрегая квадратичными членами. Как будет далее показано, в случае пространственного осесимметрпвлого обтекания тонких тел вращения такое отбрасывание допустимо тпльпо для члена (й/(/„)*, который по сравнению с малой величиной й/(/„, конечно, представляет малую высшего порядка. Что же касается величины (У/(/„)', то она, как это будет следовать из дальнейших оцевок, не имеет второй порядок малости по сравнению с й/У„, так что отбрвснвание в квадратной скобке слагаемого (й/(/„)' при сохранении первого члена 2й/1/ не является оправданным.
Для рассмотрения этого не столь простого вопроса применим следующий прием: сначала произведем обычную, аналогичную плоскому случаю грубую ликеаризацию, сохранив в квадратных скобках равенств (148) только первый член 2й/(/„, т. е. положив — = — кМ вЂ”, — = — М Р «й Р в й в!втек, используя полученное таким образом — не будем его называть «первым приближением» вЂ” приближенное решение, оценим, как говорят, л рпв1ег)от1 величину отброшенного члена (й/У„)'. Подставляя второе из соотношений (149) в последние два равенств! (145) и приравнивая коэффициенты при малых величинах первого порядка, найдем выражения проекций скоростей возмущений через $увпцяю тока возмущений ! ! дьр — 1 д«р (150) Мв г дг г дх «« формулы (14?) совпадают с соответствующими формулами (13) плоского линеаризованного движения (гл.
тг!11), а формулы (150) отлвчаются от формул (15) той же главы на множитель 1/г перед производными в правых час Гях. Подставляя полученное значение возмущения плотности р (149) в (141) н приравнивая малые первого порядка, составим линеаризованное уравнение для потенциала скоростей аозмчщений (151) в аналогичным путем линеаризованное уравнение для функции тока возиущеянй (152) отлпчающееся от предыдущего знаком при последнем члене в левой чисти.
ГЛ. ЗХ. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 884 Обратимся к рассмотрению граничных условий на поверхности об. текаемого тела. Для уравнения (151) граничное условие может быть получено км условие непроницаемости поверхности тела. Пусть уравнение поверхно. сти тела в цилиндрических координатах будет г=г,(х).
Тогда условна непроницаемости поверхности тела можно записать как равенство углов наклона к продольной оси касательной к контуру тела и линии тока (156) 1, и„+и! Ь Это граничное условие не может быть, как в плоском случае, «снесеноз на ось тела, т. е. применено прн г=О, так как в случае осесимметричпо го движения ось Ох является особой линией — на ней Р=оо, что непа средственно следует из второго равенства (150). Избежать эту особен. ность можно приближенно, заменив предыдущее условие таким: гв (х) та (х) У (151) Иначе будет обстоять дело при пользовании уравнением (152) для функции тока. В этом случае граничное условие выражает тот факт, что поверхность тела является нулевой поверхностью тока 1 а ф=(ф.+Ю,,= — и г.+ф,=„м.=О, 2 или зр = — — у г' (х) при г = г, (х).
Это условие может быть «снесено» на ось Ох и сводится к следующему приближенному: ар= — — 'У г',(х) при г=О. (! 55) 2 Рассмотрим в указанной простейшей постановке задачу Кармана' ) о продольном сверхзвуковом обтекании тонкого тела вращения. Основное дифференциальное уравнение этого течения в цилиндре. ческих координатах может быть, согласно (!51), представлено в виде ( ~ + ~ ) — О, озв=М' — 1. (156) дха вза дгв г дг Следуя Карману, докажем, что уравнение (156) имеет интеграл ! 15) д5 а (15)) ') К а р м а н Т. Проблема сопротивления в сжимаемой жидкости: Пер.
с англ.— В кн. Газовая динамика.— М: ГОНТИ, 1939, с. 81 — 90. где х=$=0 соответствует лобовой точке тела, а )($) — некоторая непрерывная, дважды дифференцнруемая функция, тождественно равная нулю при 5(0. Замечая, что дифференцирование затруднено тем об. стоятельством, что функция, подлежащая интегрированию, в верхнем пределе обращается в бесконечность, произведем замену переменной интегрирования, положив $=х — озгс)тг, с(5= — озгз)11Л. В ОО.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 333 Интеграл (157) примет при этом более простой вид о агсь— мг ф (х, г') =. ! г (х — озг с)т г) Дкг (159) о мторый может быть еще более упрощен, если заметить, что изменению переменной ! в области агс!т — ~1<" оо юг сюответствует область изменения 5 0> $~ — оо, гхе, по сделанному предположению, у($) — О. Это позволяет заменить верхний предел интегрирования в (159) на оо и получить Ю <р(х, г) = ( у(х — озгсЫ) дг'.
(160) о Интеграл определен во всем пространстве (х, г), но в области вне конуса (рис. 132) (161) х= озг с вововнной угла раствора сс, равной г ! . ! а = агс!и — = агс!и — =- агсз!и —, х ю М мхдественно равен нулю, так как в этой области ар умент функции 1, с!пищей под интегралом, становится отрицательным; действительно, х — озгсЫ<х — сог<.0 при х =.глг. Это показывает, что рассматриваемые возмущен я однородного по- тока сосредоточены внутри ковусв (161), который носит навневование конуса возмущеиий-конуса Маха. Угол раствора этого конуса 2а равен удвоенному углу возлтущенил (углу Маха), подобно тому, как ст зто имело место в плоском сверхзвуковом потоке.
оз Нетрудно доказать, что интеграл (160), а следовательно, а равный ему интеграл (!59) удовлетворяют дифференциальному уравнению ма- рне. !32 хых возмущений в сверхзвуковом потоке (1 56). Вычислим непосредственно по формуле (160) производные') — р = д! у" (х — юг сЫ) дк', да 7„ дхз,) а о сЫДт, — =от'~~" (х — азгпу)с)твкД! дг' о — д' е = ~ р (А. — с !) дт, дх а — н= — пз ) Г'(х — согс!т!) дг а >! Штрихи прн ! пол знаком интеграла обозначают пронзводнме по всему аргуаооту, ставшему в скобках, ГЛ. 1Х ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ и заметим, что интегрирование по частям дает — = — хп ~ )' (х — гпг СЫ) х[(й |) = аг дг о оо = — Вх [!' (х — вг СЫ) з[1 |[", — охог ~ ~" (х — <огсз) э[тогах, о Из условия!Я) =0 при 5 0 следует, что 1!ш [!' (х — гпг СЫ) з[1 |) = О, О оо и подстановка обращается в нуль; получим, вычисляя левую часть (156), о ( 'Р + 'Р ) ~ [~" — (с[1о1 — з[т'1) ~«[г[( Рв О.
5 (162) где г=г,(х) представляет уравнение меридианного сечения тела. Для вычисления скоростей возмущений й; 9 используем равенства (147) н (160); будем иметь о й = [ 7' (х — хпг СЫ) Ш, о = — гп ~ !" (х — вг с[1 г) СЫ Й, (163) о о илн, возвращаясь к переменной 5, «-а« Гй) го — ~)' — ~" о к-о«г 1 О= —— к,) о Щ. (164) Интеграл (157) можно рассматривать как сверхзвуковой аналог потенциала скоростей возмущений от распределенных вдоль положительной части оси Ох источников, в случае несжимаемой жидкости (М„=0, ох*= — 1) представленного равенством (72). Между этими двумя гидро- динамическими образами имеется принципиальное различие, с матемп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
