Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 76
Текст из файла (страница 76)
тической стороны выражающееся в том, что соответствующий потенциал скоростей в несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению эллип. тического типа (уравнению Лапласа), а потенциал (!57) — уравнению гиперболического типа — волновому уравнению (156). С физической стороны это различие заключается в том, что влияние возмущений в первом случае распространяется на всю область, заполненную жидкостью, во втором — только на часть ее, расположенную внутри конуса возму.
щений с вершиной в точке О, откуда начинается распределение вдоль оси конуса (ось Ох) сверхзвуковых источников. Потенциал скоростей возмущений (160) может быть использован для расчета сверхзвукового обтекания удлиненных тел вращения одно. родным потоком, параллельным нх оси симметрии.
Подчиним с этой целью неизвестную функцию.[Я) условию непроницаемости поверхности обтекаемого тела. Это условие в принятом приближении можно записать, выразив равенство тангенсов углов с осью Ох касательных к лннии тока и контуру меридианного сечения обтекаемого тела в точках его поверхности $ ОО. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ЗЗТ Подставляя последнее выражение в равенство (162), найдем следующее иетегральное уравнение для определения неизвестной функции ((1): х-в го(хи Ц=-и„;(х) (х). (х — $) г' ($) (166) (х-й) -в*.*,(х) Вто уравнение в грубом приближении легко интегрируется, если для тел большого удлинения положить под знаком интеграла н в верхнем его пределе юго«» — $, о)го«х.
Тогда получим (напомним, что 1(О) =О) х ~ ~' Я) г($ = / (х) = — У„»о (х) г, (х), о (166) клк, характеризуя тело законом изменения площади его поперечного семккк А (х) = пг' (х), и„ р(х) = — — "А' (х). (167) 2гт Вто приближение эквивалентно отмеченному в конце $77 выражению (18) для несжимаемой жидкости. Подставляя полученное значение г(х) в равенство (157), найдем искомое выражение потенциала х-вг тр(хгг)= — —" 1 А'!$) (168) г. г гг,— гг -в о Отсюда уже нетрудно определить проекции скоростей возмущений нк осе цилиндрической системы координат х-ви й= " ~ А.($) г г гг гг "'~ о (169) х-ви ( — ил г г г(*! о квыражение коэффициента давления со= — — = — ( А" ($) гт$ и о о г„:-о — „тр Суммируя давления по поверхности тела вращения данной длины 1 к счатая г,(0) =го(1) =О, можно получить волновое сопротивление тела.
Опуская вычисления, приведем окончательную формулу, принадлежащую Карману )тх = — ир ) ) )' ($) Г' (х) 1п(х — $ '1 о(х о(К. (171) (170) Вычисление сопротивления по этой формуле облегчается, если замеппь формальную аналогию между выражением (171) и первым из рккееств (92), выражающим индуктивное сопротивление крыла конеч- ГЛ. !Х.
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ного размаха. Действительно, заменяя в равенстве (92) а!(Е) по форму. ле (86), получим н после интегрирования по частям Йд= — — ~г~ (г) ! (~) 1п~г — ~~ й~аг. 4к д Таким образом, можно формулировать следующий результат: вол. новое сопротивление тела вращения при продольном его обтекании мо. жет вычисляться по формулам индуктивного сопротивления крыла ко. печного размаха, если вместо распределения циркуляции по размаху задавать распределение мощности источников по оси тела вращения.
Это позволяет при вычислении волнового сопротивления тела в сверхзвуковом потоке применять тот же метод разложения в тригоно. метрические ряды, что при расчете индуктивного сопротивления крыль конечного размаха по теории несущей линии. с э,т ср Ра ЦБ о,э э! э,! ог т/с Рис.
134 Рис. 133 В частности, в полной аналогии с теорией крыла конечного разма. ха, можно заключить, что при заданном удлинении тела вращения коэффициент волнового сопротивления будет минимален, если принять, что мощность источников распределена по эллиптическому закону.
Чтобы составить представление о разнице между распределениями давления по поверхности удлиненного тела вращения и соответствующего ему по форме поперечного сечения крылового профиля, приведем сравнительные графики распределения коэффициента давления для че. чевицеобразного десятипроцентного симметричного профиля, образованного дугами параболы и имеющего то же меридианное сечение тела вращения при М„=!,4 (рис. 133).
На графике отчетливо видно резкое па. денне давления на крыловом профиле по сравнению с соответствующим ему телом вращения. Это отличие приводит к значительной разнице (рнс. 134) и в законах возрастания волнового сопротивления с увеличе. пнем относительной толщины крылового профиля и тела вращения. Естественно, что в случае тела вращения этот рост знач!Ргельно слабее. Происхождение волнового сопротивления, поясненное уже в 5 60 гл. 1!П1, подтверждается графиками, изображенными на рис. 133.
Сравнивая распределение давления по телу вращения, обтекаемому несжи- З Э«ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 33В паемой жидкостью (М =0), с соответствующим распределением прн )в„=1,4, обнаруживаем появление асимметрии в распределении дав- Гмппй. 3а счет частичной задержки восстановления давления в кормовой вести тела вращения при сверхзвуковом обтекании (сдвиг сплошной врпвай относительно штриховой вниз по потоку) и возникает волновое сопротивление. Отсутствие восстановлеппп давления, наблюдаемое в случае ее плоского крыла, приводит к резкой разкппе между волновыми сопротивлениями крыла и тела вращения, имеющего мери1пвнпое сечение, совпадающее с профилем крыла. ееееееичееег Нп рис. 135 приведено сравнение теоретического распределения коэффиl щмпта давления по формулам настоящего параграфа с экспериментом ') для снаряда, имеющего Оживальньге иос и йз карму и цилиндрическую среднюю часть, прп числе М„=1,87.
Для решения задачи об обтекании 'е тонкого тела вращения, расположенного йвв в набегающем потоке под некоторым пвлым углом атаки, в полном соответствпп с теорией обтекания тел несжимаемой жидкостью (3 76), приходится наря- 11 с продольным рассматривать еще поперечное обтекание тела вращения. Дифференциальное уравнение малых возмущений в однородном сверхзвуковом потоке, направленном перпендикулярно к оси тела вра- щеппя (поперечный поток), будет содержать полярный угол е в плоско- стп Оху. В этом случае уже нельзя откидывать производные по углу е, к уравнение для определения потенциала скоростей возмущений ср, в случке поперечного обтекания будет гдн~, 1 д~, 1 дч й — — — — + — — +— )=о, дх' ыз '! дсз Г дс х' де' ) сг сгз сто сто ьв !в Рпс.
135 в ега интеграл имеет вид «-и« «-м« 1 д ~ (' 1«Я) ссв ~ созе (х — й) т(й) Щ %=в созе= ь [) хп — ''тт — ' л) = ( хт~г-~ е о щ(1) определяет плотность распределения интенсивности сверхзвуковых дппалей на оси симметрии тела вращения. Для вычисления коэффициента давления в случае очень тонких тел применяется тот же упрошенный прием, что и в случае продольного обтсквпия, но основанный на приближенной формуле (79), связывающей платность распределения моментов диполей и закон изменения площапп поперечного сечения тела вращения. Потенциал поперечного обтекания в этом грубом приближении, справедливом только для очень тонких тел, может быть представлен в конечной форме 1 А(х) срв = — )'с — созе.
и с ~) Рисунки 133 — 135 заимствованы из книги: 5 Ь з р1г о А. Тье йуовписз зпд !Ьегво1упзпнсз о1 согпргезыые Пшй Потт. «уо). 1, 1! — Х. У., 1953. ГЛ 1Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ Наличие потенциалов продольного и поперечного обтекания позволяет путем сложения решений получить обтекание тонкого тела при лю. бом угле атаки а, а затем и вычислить коэффициенты подъемной силы и сопротивления. Опуская вычисления '), укажем лишь, что коэффициент подъемной силы оказывается равным с„=2сс, а к коэффициенту сопротивления в продольном обтекании, который может быть вычислен по (171), от поперечного обтекания присоединяется еще член ем=а', называемый коэффициентом индуктивного сопротивления.
Эти резуль. таты, выражаюшне независимость коэффициентов с„и см от формы те. ла, имеют весьма приближенный характер и не могут конкурировать с более точными теориями, отличаюшимися от только что изложенной тео. рии Кармана в первую очередь тем, что в них принимается во внимание наличие головной ударной волны на носовой части тела, а в случае тела вращения с заостренным носком — наличие конического присоединенного скачка уплотнения (см.
далее $62). Вернемся теперь к поставленному еще в начале параграфа вопросу о допустимости использованной только что линеаризации. Для оценки порядков величин скоростей возмущений й, у в зависимости от основного малого параметра, характеризующего осесимметричное обтекание тонкого тела вращения — его относительной толщины т, воспользуемся формулами (!64) и применим их к простейшему случаю Г'(х)=сопз1, что, согласно (167), будет соответствовать обтеканию конуса с малым углом полураствора О„определяемым равенством — "" = — "= 1я0,=0,. вгх х (172) перестало быть малым, получим следующие простые асимптотические оценки'), справедливые при озй,м: !! 2 1 и — — сопз1 1п — Π— сопз1 о 0 О е, ' (173) Но из граничного условия (162) и равенства (!72) сразу следует, что О,=О(0,). Таким образом, по второму из равенств (173) убедимся, что введенная константа имеет порядок О,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
