Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 74
Текст из файла (страница 74)
пьосттлнстввннов ввзвихгввов движвнив видим, что его можно переписать так: (lи + ш)— й Под действием приложенной силы Рь цилиндр будет двигаться з жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить ве присоединенную лхассу жидкости в объеме цилиндра. Столь же просто решается задача о прямолинейном двнженнн шм ра. В этом случае будем иметь а созе аь Е %= и (1) 2йт 2 И йт, = — р ~ де ~ ( — — — ) ( — — ) а' з(п О ай= - лра' = — и, е е где гн — масса жидкости в объеме шара. Дифференциальное уравнение движения шара будет т' ~ =Р„+Р„= — — т ~" +Р„ ы 2 си нлн (т'+ ~ гл) ~ ' =Р„.
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного двнжевня шара под действием той же силы Р* в пустоте аи ° гп' — = Р„ о сч приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рас. сматрнвать как происходящее в пустоте, если только к массе шара присоединить дополнительную массу, равную половине массы жидкости в объеме шара. Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравне. нню с массой самого движущегося тела (напрнмер, снаряд нлн самолет в воздухе), то присоединенной массой можно пренебречь.
В других слу. чаях (дирижабль в воздухе, корабль нли торпеда в воде н др.), наобо. рот, роль присоединенных масс оказывается первостепенной. Следует, конечно, иметь в виду, что присоединенные массы прн обтекании тел реальной жидкостью отличаются от вычисленных здесь в модели безотрывного обтекания невязкой несжимаемой жидкостью. Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия прв. соединенной массы для тел вращения (днрнжабельные н торпедные формы), выведем общие формулы присоединенных масс для продольного относительно осн симметрии н поперечного по отношению к ней движения тела врашеяия. В случае продольного движения вдоль оси Ок имеем Х„=Х„„= — Р 1 ~Р, — сЬ, д~р, дл а илн, в силу граничного условия (116) на поверхности тела н очевидного равенства да=2пгдз, Хат — — — р~ ~р,аАо = — 2пр ~ ~р гп„гЬ = — 2пр ~ <р,г дг.
ь $79. Овщии случАЙ дВижения тВеРдОГО телА Используя (54), получим 1 Ли=2прс'~Ф1 ~(1 — ро)Л вЂ” — (Л' — !) р~ др. отх от!о 1 Согласно (59) для потенциала возмущенного движения с единичной скоростью будем иметь Фк = — с ~ АД«(Л) Р«(р), ткк что для присоединенной массы в продольном движении, или, коро- и, продольной присоединенной массы, получим следующее общее вы- рвкевяе: 1 <О 1„= — 1 «) [[о — о>1 — "' — 11' — 911 т ле.сто.о>) «о. отто -1 «=1 глв подразумевается, что координата Л есть заданная функция р согласкв уравнению обвода меридианного сечения тела. й случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной вволь оси Ох, имеющего уравнением обвода Л=Л1=1/е (е — эксцентрисет), предыдущий интеграл легко вычисляется. Как ранее в 9 75, по- лучим Ло+ ! — Ло! и — ! — прсе(Л,' — 1) 3 Ло ! Ло+! — — — 1п— Л' — ! 2 Ло о ! 1 +е — 1и — — ! 2е ! — е = — праЬ9 4 3 ! ! !+е — — — !ив 1 — е* 2е 1 — е гвв, напоминаем, а и Ь вЂ” большая и малая полуоси, е — эксцентриситет.
Полагая в последней формуле Е=О и раскрывая неопределенность, вновь получим присоединенную массу шара (1,) = — пра' = — прае. 2 3 ! ! +ее+ ... — (!+ — ее+ ...) 3 Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела враиеввя при поперечном его поступательном движении вдоль оси Оу, или лслеречную присоединенную массу. Сохраняя обозначения 2 76, найдем Х Л =ирсо 1 (1 — ро)(Л9 — 1) [р — +Л) 'Я С,—" — "д)ь -1 «=1 в в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения (в напрввлеиии, перпендикулярном ббльшей оси) ! 1 — ео !+е — — — 1и— 4 9 ео 2ео 1 — е Лвв ~ — прас 3 ! ! — ео 1+е 2 — — + 1и— ео 2 ее 1 — е врв е=О последняя формула также переходит в формулу для присоедиценной массы шара. ГЛ.
!Х. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 33О Присоединенные массы играют важную роль в расчетах нестационарных движений тела в жидкостях, явлений удара тел о свободную по. аерхность жидкости н др. '). Задача о плоском нестацнонарном движении жидкости, вызывае.
мом неравномерно движущимся профилем, представляет частный слу. чай изложенной общей теории, если циркуляция вокруг профиля прнин. мается постоянной. Класснческое исследование этого случая двнження профиля н установление формул силы н момента прннадлежнт С. А. Чаплыгину н относится к 1926 г,'), а дальнейшее развитие этоге вопроса — Л. И. Седову' ). Основная трудность в изучении нестацнонар. ных движений крылового профиля заключается в переменности во вре. менн циркуляции н возникновении в связи с этим в потоке сходящей с профиля вихревой пелены, оказывающей индуктивное влияние на его обтекание. Изложение классических теорий нестацнонарного движения крыла в жидкости можно найти в специальной монографии А.
И. Некрасова «Теория крыла в нестацнонарном потоке» (нзд-во АН СССР, 1947) н В только что цитированной монографии Л. И. Седова; последняя содер. жнт также исследование колебаний крыла в газе. Теория нестацнонарного движения крыла конечного размаха н раз. личной формы в плане изложена в специальных монографиях"). 9 80. Осеснмметрнчное до- н сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения Так же как н в случае плоского обтекания, уравнения пространственного безвнхревого движения идеального совершенного газа можно получить, используя условия: 1) неразрывности течения, 2) отсутствии в потоке завнхренностн н 3) аднабатнчностн н нзэнтропнчностн про цесса.
Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах легко по. лучить прн помощи приведенной формулы (88) гл. 1 для днвергенцне. Считая окружную (трансверсальную) скорость У, равной нулю н две. жение не зависящим от азимута е, будем иметь 1 д (ргУ,) д (рУ,) сИч(РР")= — ' + ' =О. г дг дг Условимся обозначать: продольные, параллельные осн симметрии движения координату н скорость через х и и, а поперечные — через г н ') Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— Мл Наука, 1980. В этой монографии даны таблицы присоединенных масс для цилиндрических тел, См.
также монографию: Басин А. М. Теория устойчивости на курсе и поворотливостх судна. Сер. Современные проблемы механики — Мл Гостехиздат, 1949, где можно найта графики присоединенных масс для эллипсоидов и других тел, и курсы: Кочин Н. 8., К и бель И. А., Роз е Н. В Теоретическая гцдромеханика. Ч. 1, гл. У11.— Мл Фнз. матгиз, !963; Ф а бр и к а н т Н.
Я. Курс аэродинамики. Ч. 1.— М., ГОНТИ, 1938. ') Ч а ил ы г и и С. А. О влиянйи плоскопараллельного потока воздуха на два. жушееся в нем цилиндрическое крыло.— Труды НАГИ, 1926, вып. !9; см. также Собра. ние сочинений — Л!. Наука, !964. ') С е д о в Л. И К теории неустановнвшихся движений крыла в жидкости.— Труда .ЦАГИ, 1935, вып. 229, а также О неустановившемся движении внутри жидкости тча врашения — Труды 1!ЛГИ, 1940, вып.
515. ') Пол я хо в Н. Н. Теория нестационарных движений несушей поверхности.— Лл Издво ЛГУ, 1960; Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачив. к о в В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа.— Мл Наука, 1971; Б ел о ц е р к о в. с к и й С. М., Н н шт М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев несжимаемой жидкостью.— Мл Наука, 1978. 4 Ю. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Зэт о, Тогда уравнение неразрывности приобретет вид — + — =О. д (рги) д (рго) дх дг (137) При симметрии потока единственной, не равной тождественно нулю ноипонентой вихря будет азимутальная компонента, так что условие отсутствия завихренностн в принятых обозначениях сведется к одному )равнению ди до — — — =О, дг дх (138) совпадающему с уравнением (3) для плоского движения газа Я 58).
урЗЗЕЕНЕЕ (137) ОтЛИЧаЕтСя От ураВНЕНИя (1) хз 58 НаЛИЧИЕМ ПОд ЗНаКаеи производных множителя г. Принимаемое нами условие адиабатичности и изэнтропичности процесса движения газа будет в дальнейшем использовано в разнообразкнк, наиболее подходящих для данного этапа рассуждения формах, ккзлогнчно тому, как уже это делалось в плоском случае ($58). Пользуясь уравнениями (137) и (138), можно ввести две функции: потенциал скоростей <р(х, г) и функцию тока тр(х, г), положив, согласно (138), д~р дх дг (139) кудовлетворив уравнению (137) при помощи равенств (р — плотность веееозмущенном однородном потоке; выбор знака был пояснен в 3 72) — ги= —, — го= — —. р дФ р дч (140) р дг ' р дх — (рг — '~) + — (рг — в) =О, (141) к производя аналогичную операцию с выражениями проекций скоростей (140) н уравнением (138), найдем уравнение для определения функции тока ф(х, г) (142) Уравнения (141) и (142) нелинейны, так как плотность р представкяет собой, согласно уравнению Бернулли, функцию скорости х'.
Напомним вывод этого и, кстати, еше необходимого для дальнейшего соответствующего соотношения для давления р. Используя формулу СенВееаеа и Вантцеля (равенство (30) гл. Ч), будем иметь, определяя констаету по условиям на бесконечности, А-1 откуда следует (йр„!р =а', У /а =М ) — =1+ — М' 1 —— (143) Подставляя значения и и о из (139) в (137), получим уравнение Ккя определения потенциала скорости ~р(х, г) гл. 1х пРОстРАнстВеннОе БезВихРеВОе дВижение 332 а по изэнтропическому соотношению р/р =(р/р„)' найдем и искомое выражение для р,'р —" = 1+ ' —,' М' 1 — —" (144) Линеаризацня уравнений (!4!) н (142) применительно к задаче пространственного обтекания тонкого тела вращения, вызывающего а набегающем потоке малые возмущения, приводит к некоторым затруднениям ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
