Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Парадокс Даламбера Точно так же, как и в случае плоского обтекания круглого цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая Одно. родный поток, параллельный, например, оси Ог, со скоростью У на Рас. 121 поток от диполя с моментом, ориентированным вдоль этой оси, но в сторону, противоположную набегающему потоку (рис.
121). Складывая функции тока (33) и (35), найдем функцию тока составного потока') ф = — У й' з)п'0 — — з!и'0 = ( — У„йз — — ) яп'О. (36) 2 4пй (, 2 4лй Уравнение нулевой поверхности тока ф= ( — У,.)сз — ) яп'0=0 l! з лт (,2 4лЯ разбивается на уравнение поверхности сферы з/ Й=з, — =а, )/ 2пУ ') В соответствии с выбором направления момента т в формуле (35) заменено на — пг, гле лт)0. 3. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (8), буден иметь в сферических координатах систему уравнений лгсозВ 1 дф лез!ВВ ! дф уз= 2п!!з !сз Ип В дВ 4л)!з )! Ип В д)! откуда следует — = — з!и 0 соз О, дф т .
дф лг з)п 0. дВ 2п)! дт 4п)1з Ь гд ОБТЕКАНИЕ СФРРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 2ЗВ где а — радиус сферы, н уравнение оси Ог 8=0, п. Отсюда следует, что, желая найти функцию тока обтекания сферы рвдвуса а потоком со скоростью У„на бесконечности, направленным вдоль оси Ог, надо положить в выражении функции тока (36) аг = 2па' У„; тогда получим гт ~1 — ( — ) ~ зги 8. (ЗЛ Нетрудно нанти и потенциал скоростен, проинтегрировав систему урвввевнй связи потенциала гр с функцией тока ф или, проще, непосредггвевво составляя сумму потенциалов слагаемых потоков (5) и (8), (38) виггь [ 2 1 й ) Исследуем полученный поток.
Прежде всего найдем распределение скоростей Уя = — ~ = У ~1 — ( — ) 1 соз 8, (39) аР У [1+ Г ( — ")'1зшО. Сразу видно, что на поверхности сферы (Я=а) выполняется основ- вое граничное условие непроницаемости твердой стенки У =Уз=О, в вв бесконечности (Я-Ров) Ув — — У,. соз О, Уе = — У„згп 8, г. е скорость однородного потока на бесконечности равна по величине у„в направлена по оси Ое в положительную сторону. Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется ра- вевсгвом У,= — — У з(ПО.
з 2 Точки А и В (рнс. 121) критические, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость имеет место в миделевой плоскости при 8=я/2; она равна по абсолютной величине 1Ув ! 3 с-ивг Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра (гд, Ч11), видим, что в случае пространственного обтекания сферы максвквдьная скорость на ее поверхности достигает только трех вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обтедвввв круглого цилиндра максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока, т.
е. цилиндр производит более значительное возмущение однородного потока, чем сфера. Это и естественно, гвд как сечение цилиндра, нормальное к потоку, бесконечно, а у сферы ограничено. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не достигает столь большого зввчення; сфера представляет собой плохо обтекаемое тело; поток ревдьвой жидкости срывается с поверхности сферы, не доходя прн одних Гл.
1х. пРостРАнственное ВезВихРеВое дВижение условиях даже до мнделевой плоскости, при других — несколько заходя за нее. Распределение давления по поверхности сферы получим по уряь нению Бернулли уз р+р — =р-+р— 2 2 из которого следует выражение коэффициента давления р — р„г у тя 9 1( — ~ =1 — — з(п 8. — РУ' Как видно непосредственно из последней формулы, главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы равев нулю. Сфера не оказывает сопротивления набегающему на нее однородному на бесконечности потоку, или, иначе, сфера при своем равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает сопротивления.
В этом заключается частный слу. чай известного парадокса Дя. ~ЕР ламбера, о котором уже была вв речь ранее. В рассмотренноя только что случае сферы этот пя. й радокс следует из соображений еф симметрии распределения давая. иня по поверхности сферы, одняко парадокс Верен и в общея случае.
Докажем справедливость па- радокса Даламбера для простРис. 122 ранственного безвихревого обте. кания конечного по размерая тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограни. ченным замкнутой поверхностью а телом (рис. 122) прн удалении от этого тела.
Разобьем потенциал ср обтекания тела на потенциал однородного потока со скоростью Р'„, параллельной, например, оси Ое, и на потея. циал скоростей возмущения ср', вызванный возмущающим действнея тела на однородный поток, в который оно помещено. Покажем сначала, что при удалении на бесконечность ()с — ~ос) по. тенциал возмущений сь' убывает как 1Я'. На примере обтекания сферы в этом легко убедиться, обратившись к формуле (38) и отделив в ней потенциал возмущения; найдем 1р'= — У..— созО=-О~ — ); ('л,У,'=О~~ — ).
Если, имея в виду общее свойство решений уравнения Лапласа— возмущения потока при удалении от источника этих возмущений убы. вают, †допусти, что на больших средних расстояниях от возмущающего поток тела детали его формы не могут влиять на закон убывании потенциала скоростей возмущений, то можно заключить, что и для любого тела конечных размеров закон убывания 1р' будет р =О(ф. К тому же результату можно прийти из более строгих соображений, если заметить, что потенциал возмущений 1р', вызываемый телом $?3 ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 291 кроизеольной формы, должен удовлетворять уравнению Лапласа, кото- рое в сферических координатах можно записать в виде ((86) гл. 1) — ~)се — л!+ —,— ((Б(п0 — ~+ — = О. д l е д~Р' Т ! д / . дФ' К ! д»~Р' (40) дй д)с л' Мп8 дв 'А д8 л' Мп»8 дее Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим <р'()(, О, е) =ХОТ) У(О, е). (41) Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь д С едХ) Х д!.
дУД Х д»У У вЂ” ~ )се — ) + — — ( з)п Π— ) + — — = О, дй дй Мпв дв дв е!п»8 дее ккк, отделяя функцию )( от остальных переменных, ! д _#_ едХТ вЂ” — ~ Й' — ~ = сопз1. Х ~Я ~ дй~ Легко видеть, что в число решений ХЯ) этого уравнения будут вхо. дить целые положительные или отрицательные степени переменного )с, если только произвольную константу положить равной л (л+1).
Остаккелееаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел л= — я (я> >О), так как потенциал возмущения !р' должен убывать с ростом )с, подучим по (41) систему частных решений уравнения Лапласа (40) в виде У»(8, е) (я =1, 2, 3, ..., оо). Среди функций У„(0, е) — нх называют сферическимп функциями,— удовлетворяющих, согласно (42) и условию выбора сопз(=е(й — 1), уравнению в частных производных ! д л д!'» т ! д»У» — — р)ИΠ— ) + — +й(й — 1) У» =О, Ип 8 дв д8 е(пе 8 дее будем выбирать только решения, ограниченные при всех значениях 0 и е. При А=1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значеаккх 0<0~я, будет У, =сопз1, что соответствует простейшему частному решению сопз1/лс, представляющему известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока).
При я 2 уравнение имеет решеиием сопз1 соз 8, что приводит к потенциалу скоростей диполя. В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал !р' можае представить как сумму частных решений: У»(8, е) С У»(8, е) (рУ )!» )9 „)!» (43) Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтеккеиое тело сферой С, большого радиуса )с, и, замечая, что между поверхностью тела о и поверхностью сферы о, нет источников или стоков, Слева стоит функция только )(, справа — только е и О. Поскольку иереиенные»(, 0 и е независимы друг от друга, из предыдущего равенстве следует В та, уРАВнение пРОдОльнОГО ОсесимметРР!чного дВижения 293 вайлем Р= — р ~)г„,~ ' й, + р ~(йг У') п,два+ Р ~ ~" п,йаа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
