Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ти У н углу О, образованному этим вектором с осью Ох физической плос. кости, положив и= УСОВО, о= Уз!ИО, д =дУ О вЂ” УБ!ИОдО, д =йУБ!ИО+УСОБОЫО. Тогда уравнение (146) перейдет в следующее: мпввУ+У Оав ! дав в~а'~ М' — ! с02 в 2!У вЂ” У 2! П О 22в а — У22!В е т. е, известное уже нам по $63 уравнение (92), интеграл которого представлен формулой (94), а в данном случае может быть записан в общей форме О = ~а(Л) +сопз1, .!21=)~х— х.„!2(~~ ' т "~ — =) Л2 — ! — агс(д А †! ! — — Ла А+ ! (148) Семейства интегральных кривых уравнения (145), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в физической плоскости (х, у), а величины т, и т, представляют собой угловые коэффициенты касательных к характеристикам нли характери.
стические направленая в физической плоскости. Будем называть для определенности интегральные кривые, соответ. ствующие дифференциальному уравнению (!45) с положительным знаком перед радикалом, т. е. ау на+ а У У' — а2 2)х и2 — а2 характеристиками первого семейства, а интегральные кривые уравненяя ау иа — а У У2 — а2 ах и2 — а2 — характеристиками второго семейства. Точно так же дифференциальные уравнения (146) или нх интегралы (148) определяют в каждой точке плоскости годографа скоростей два семейства кривых — характеристик в плоскости годографа. Пусть знаку плюс соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус— Соберем члены с дУ н 216: тогда после простых преобразований и сокращений получим с(О =- ~ ~ГМ2 — 1 —, (! 4'1) П ба ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 27! в!враго семейства.
Обозначая через и угловой коэффициент характеристнческих направлений в плоскости годографа, будем иметь по (146) ап ') ии~ а т т — ан "ь=( — ') =' (149) аи / ан Ру СВ Характеристические направления в физической плоскости и плоскости годографа, как это сразу следует из (145) и (149), связаны между собой очевидными соотношениями а,т,+1=0, а,ат,+1=0. Отсюда следует, что при выборе осей Ох и Оу параллельными осям О'и н О'в, характеристические направления первого семейства в физической плоскости будут перпендикулярна к характеристическим направлениям второго семейства в соот- А' петстнующей точке плоскости го- н дпграфа и, наоборот, характеристнческие направления второго С Ф семейства в физической плоскостн окажутся перпендикулярнымн к характеристическим направ- х нпнням первого семейства в плос- У ности годографа.
р Таким образом, характеристинеснне направления в физической плоскости жестко сопряжены с характеристическими направленнпмн в плоскости годографа. Но пнфференциальные уравнения харннтеристпк в плоскости годографа (147) были проинтегрированы н привели к конечным формулам (148) характеристик, представлявп!нх дза совершенно определенннх, одинаковых для всех плоских сверхзвуковых течений семейства пряных. Замечая, что в сверхзвуковых течениях безразмерная скорость Л ме- ° и+1 ннется в пределах 1(Л ( у —, причем левая граница соответству- я — ! ст критической скорости к'=а~, а правая — предельной максимальной снорости Р= Ъ' „, проведем концентрические окружности Л=1 н 1='у — и заполним пространство между ними сеткой кривых (148).
и+1 А-! Зтн кривые представляют собой два семейства эпициклоид (рис. 112), ! /. ° и+! ппнсываемых точками окружности радиуса — ~1; — — 17!, катящей- 2~ н — 1 ся по окружности Л =! . Располагая такой раз навсегда для данного й (на рис. 112 для воздуы, й=1,4) вычерченной сеткой эаициклоид, нетрудно при помощи прас!их графических приемов строить характеристические направления в гсчнах физической плоскости, проводя через эти точки перпендикуляры н соответствующим, заданным семействам (148), характеристическим ннправлениям в плоскости годографа.
Прежде чем перейти к изложению этих графических приемов, останонняся предварительно на рассмотрении некоторых общих свойств характпрнстик в физической плоскости. 272 гл. чш. плоское ввзвнхоевов движение идеального гхзх 1. Характеристики уравнений плоского сверхзвукового течения образуют с вектором скорости газа в данной точке углы, равные углам возму.
щений (углам Маха) 1 а= ~ агсз!и —, М т. е. совпадают с линиями возмущений (линиями Маха). Для доказательства воспользуемся известной формулой аналитической геометрии для тангенса угла 6 между направлениями с заданными угловыми коэффициентами гл и о/и; будем иметь по (145) о ио+аУ Уо -ао 1пб— ио+а~Р— ао о 1+т— и ио — а" и и (Уо — аь) ь ао~ 'о"- -ао гсо= — аь У М*-Т ' так что действительно 1 япб= =Š— =з!па.
М Отсюда сразу вытекает второе свойство характеристик в физической плоскости (рнс. !13). 2. Вектор скорости направлен по биссектрисе угла между характеристиками в физической плоскости. Отметим, наконец, еще третье свойство характеристик. 3. Проекции скорости газа на нормали к характеристикам в дан- ной точке физической плоскости У ~ (е) равны по абсолютной величине местной скорости звука.
Действительно (рис. 113), У„= У соз (90'+ сс) = 1 = — Уяпсо=- — У вЂ” = — а М У„,=Усов(90' — а) = 1 =Уз!па=У вЂ” =а. М е Пользуясь последним свойством характеристик в физической плосРис. 1!3 кости, легко показать, что кривая зависимости Цсс) для любого сверхзвукового потока представляет собой эллипс, форма которого зависит только от показателя адиабаты й, выражающего физические свойства газа. Используем для этого известное изэнтропическое соотношение (У „, †скорос истечения в вакуум, когда а=0) аь У „1Ь+! -!- 2 А — ! 2 2 й — 1 Обозначим через и и о проекции вектора скорости У на оси координат, первая из которых направлена по касательной к характеристике, а вторая — по нормали к ней.
Тогда о по свойству 3 будет равно ~а, й аа. плОскии сверхзвуковои пОтОк 273 н предыдущее равенство можно переписать в форме на+ох оз 1 й+1 л + = — — а', 2 й — 1 2 й — 1 ндн, полагая Л =и/ае, Л.=о!а*, (150) й+1 нто представляет в плоскости (Л„, Л) эллипс с большой полуосью — н малой полуосью, равной единице.
Эллипс (!50) — его назый+1 й-! нают эллипсом Буземана — расположен в области между окружностями й+! 1=1 н Л= 1гх —, причем в соответствии со сказанным выше большая й — 1 его полуось направлена по касательной к характеристике в данной точке физической плоскости, а малая — по перпеядикуляру к ней, т. е.
по каса- тельной к сопряженной характеристике в плоскости годографа скоростей. Возможное расположение эллипса Буземана по отношению к сетке зннднклонд показано на рис. 112. Если эллипс, нанесенный на кусок прозрачного материала, совмещен своим центром О с центром окружнос- тей, ограничивающих семейство эпициклоид, и так повернут, чтобы не- ноторая его точка А совпала с заданной точкой (Л, О) плоскости года- !рафа, то большая полуось эллипса, образующая с вектором скорости угон а, укажет направление одной из характеристик (линий возмущения) н фнзнческой плоскости. Направление другой характеристики получим, есдн совместим с концом вектора скорости, т. е.
точкой (Л, О), точку А' здднпса, служащую зеркальным отражением точки А эллипса относи- тельно его большой оси, Таким образом, пользуясь эллипсом Буземана, можем, зная величи- ну н направление скорости в некоторой точке физической плоскости, без дополнительных вычислений чисто графическим путем провести через. нее дна характеристических направления в этой (физической) плоскости.
Прн этом малая полуось эллипса укажет сопряженное характеристиче- сное направление в плоскости годографа. На использовании изложенных свойств семейств характеристик в физической плоскости течения н плоскости годографа скоростей основан, графнческий метод расчета плоских сверхзвуковых потоков'). По своей общей идее он аналогичен графическому методу расчета распространения волн конечной амплитуды„изложенному ранее в $48.
Некое его своеобразие заключается лишь в удобстве использования за- ранее раз навсегда вычерченных: 1) сетки характеристик в плоскости го- дографа — известных уже нам эпициклоид (148) — и 2) эллипса Бузе- иана (!50), изготовленного в виде прозрачного шаблона. Перепишем уравнения характеристик в плоскости годографа (148) з форме двух отдельных уравнений О=Сх — о(Л). О=О(Л) — С„ первое нз которых представляет собой семейство зпицнклонд, идущих снизу вверх, а второе — сверху вниз (знак угла О оговорен на с. 247). Снладывая и вычитая эти равенства почленно, получим О= — (С,— С,), О(Л)= — (С +С,), (151) 2 2 '! Ргап6!1 Ь., В изет а пи А. Ыаьегцпязтег!аьгеп апг ае!сьпег!зсЬеп ЕгпппЬжтеп еЬепеп Б!гощцпяеп ти т!Ьегзсьа11яезсьхэ!ппхяйе!!.— 2пг!сЬ: 6!оно!а Гез!зсьг!РЧ !Н!Н. Детали метода и многочисленные иллюстрации его применения можно найти в.
юехоре одною из создателей этого метода А. Буземана, помещенном в Напхтьцсь еег Нхрегт!пеп!а! РЬуз1й.— 1.е1рмя, 1931, Вх1. 4, Теп 1, $26, Я. 421. 274 ГЛ. Ч!П. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА так что радиально расходящиеся из точки О (рис. 1!2) лучи (О=сопз1) будут определяться условием С,— С,=сонэ(, а изотахн (а=сапа!), а сле. довательно, и изобары (р/р,=сонэ!) — условием Сг+С,=сонэ!. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
