Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ШП. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 5 64. Случай больших чисел Маха. Закон подобия гиперзвуковых потоков Рассмотрим случай обтекания тонкого профиля с очень большими числами Маха (М»1); такое обтекание называют гиперзвуковым. Будем продолжать считать газ однородным, отвлекаясь от тех сложных процессов, которые на самом деле возникают в гиперзвуковых потоках за счет высоких температур, образующихся при торможении газа на поверхности тела и при прохождении сквозь поверхности сильных разрывов. Условимся в настоящем параграфе пренебрегать явлениями диссоциации и последующей возможной рекомбинации молекул газа, ионезации газа и другими физическими н химическими процессами, характерными для гиперзвуковых движений газа.
К некоторым из этих су. щественных явлений мы впоследствии вернемся, чтобы изучить более близкую к действительности модель газа, обладающего внутренним трением (вязкостью) н теплопроводностью. Строгая математическая постановка задач гиперзвукового обтекания тел представляет большие трудности, так как в этих условиях возникают сложные взаимодействия потока с сильными разрывами, вызывающими, как уже указывалось, неизэнтропичность потока в тонком слое вблизи поверхности тела.
Наличие в этой области значительного влияния таких процессов, как вязкое трение, теплопроводность, дисснпация механической энергии, излучение, и повторим еще раз, диссоциация — рекомбинация молекул и ионизация газа, делают этот вопрос очень сложным. Остановимся на дополнительном рассмотрении изложенных в двух предыдущих параграфах простейших явлений торможения и ускорения однородного потока газа с точки зрения тех особенностей, которые возникают при больших значениях числа Маха набегающего потока (М,»1) и малых углах поворота потока.
Обращаясь сначала к прохождению газа сквозь косой скачок, рассмотрим формулы (88) и (82). По условию тонкости тела будем считать тело заостренным с малым углом 6 при вершине. Тогда в случае слабых скачков и достаточно больших М, угол косого скачка с набегающим потоком р будет иметь тот же порядок малости, что и 6. Это позволит произвести в рассматриваемых формулах замену синусов углов на сами углы, а косинусов — на единицы. Откидывая малые ве личины высших порядков, будем иметь, согласно (88), квадратнре уравнение относительно Мф К,: К,' — '+' (М,6)К,— 1=0, (1О1) решение которого при очевидном условии К,=М,р>0 может быть представлено так: К,=М,Я= — К+ (102) где введено обозначение К =М,6 (103) для величины, играющей, как будет видно из дальнейшего, роль критерия подобия обтекания газом тонких заостренных тел при больших значениях числа М,.
254 ГЛ. Ч!!! ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДГАЛЬНОГО ГАЗА а согласно (100) и (107) с — 2 [(Мт)' ' 11 ~~! — М О) ' 11 (109) 1 1 Как и в случае торможения газа при прохождении сквозь косой скачок, в полной аналогии с равенством (106) можем предыдущую формулу переписать в виде (110) что приводит к следующему общему закону подобия гиперзвуковых по. токов около тонких тел: если в двух подобных плоских гиперзвуковых потоках значения К одинаковы, то коэффициенты давления относятся как квадраты углов отклонения. Вводя, как и ранее, обобщенное понятие «относительной толщины» т, которая может быть равна либо относительной толщине профиля в собственном смысле этого слова, либо относительной вогнутости дужки, либо, наконец, углу атаки, будем считать величину К, равную произведению характерного числа Маха, например числа Маха М одно.
родного набегающего потока, на относительную толщину т, критериея подобия двух гиперзвуковых потоков, слабо отклоняющихся от задан. ного однородного гиперзвукового потока, и записывать закон подобия в этом случае в общей форме с,=та!'(К). (1П) Переходя от коэффициента давления с к коэффициентам подъем. ной силы с„ и волнового сопротивления с„, связанным с с интеграль.
ными соотношениями СР ГГ! СРах С» (Т) СРг(у Г!) СР дхт Ц~ ах убедимся, что (среднее значение ду/ах пропорционально т) в потоках с одинаковыми значениями критерия К коэффициенты подъемной ся. лы, так же как и коэффициенты давления, будут относиться как квад. раты, а коэффициенты волнового сопротивления — как кубо! относительной толщины. Указанный закон подобия содержится, очевидно, кая частный случай в общем законе (60), где надо только положить Чг=тз и пренебречь под знаком корня единицей по сравнению с М' . Пользуясь форл!улами (106) и (110), легко получить выражения коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления для пластинки АВ (рис.
104), расположенной под малым углом атаки 0 (на рис. 104 этот угол атаки показан сильно преувеличенным) к набегающему яя нее однородному потоку с числом Маха М, значительно превосходящим единицу. Обозначая, как и раньше, индексами 1 и 2 соответственно верхнюю и нижнюю поверхности пластинки, будем, очевидно, иметь с = Рз Рт Р =СР,— С,= —" Р Рг — р иа Ь 2 а подставляя сюда значения са, и сао заданные формулами (106) и (110), окончательно получим ') (угол атаки 6 соответствует углу ') Ч е р н ы й Г. Г. Теченнн газа с большой сверхзвуковой скоростью.— Ма Фаз. ыатгнз, !959, с.
47. $6С СЛУЧАИ БОЛЪШИХ ЧИСЕЛ МАХА 25$ пюлнпго поворота потока) 6-ф=( 2 <-~(~') -~ —,', '-„— '„(1 — (~ — '=,'АД(в. (112) В этой формуле при К» — ', что согласно формуле (108) сооти — 1' петстнует 6)~6, квадратную скобку надо считать равной единице. Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 6=6 образовалось и при 6)6 сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).
На рис. 105, заимствованном нз только с чтп цитированной монографии Г. Г. Чер- луп ного, сплошными кривыми показаны запнспмости с„(6) при различных М„в ин!ерпале (3<М (оо), рассчитанные по дгг йл яяяляр рягреооеяия Рнс 104 Рнс. 105 формуле (112) для воздуха (й=1,4), штриховыми прямыми нанесены соответствующие значения с„(6) по формуле (44) линейной теории Аккерета Я 50).
Наконец, верхняя прмая (М„=О), показанная штрих- пунктиром, отвечает известной формуле с„=2И6 для несжимаемой жидностп. Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при М )5 форнунн Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной сплы. Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М кривые с„(6) псе более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону. Так, в предельном случае М„=оо формула (112) приобретает чисто квадратичный вид с„=(й+ Ц6 (113) н только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем. Прп значениях М , близких к бесконечности, косой скачок в точке л (рпс.
104) пластинки становится очень близким к нижней поверхнпетп, так что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки н дпппеняе на ней равным полной потере количества движения, со- 256 ГЛ. УПЕ ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА р =р ((7 з(п О)а р С другой стороны, на верхней поверхности пластинки при М =оо достигается полный вакуум, т. е. в этом случае р,=О. Таким образок, коэффициент подъемной силы будет равен (1 — длина пластинки) с„= (р' ро) 1= 2Е*, 1 -Р ()о( о что при й 1 совпадает с формулой (113), а при й 1,4 (воздух) дает результат, примерно на 177о меньший.
$65. Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости Фундаментальное значение для развития современной газовой да. намики имело установленное С. А. Чаплыгиным ') в его докторской диссертации, защищенной в 1904 г., преобразование общих уравнений к независимым переменным в плоскости годографа. Этот переход из фа. зической плоскости в плоскость годографа скоростей приводит к заме. чательному результату: нелинейные уравнения газовой динамики сга. новятся линейными. Из условия отсутствия завихренности ди до — — х=О ду дх и уравнения неразрывности д (ри) д (ро) — + — =0 дх ду можно сделать заключение о наличии потенциала скоростей ф и функ.
ции тока ф, так что и= —, о= —, — и= —, — о== — —, дв дв р дог р дор (11( дх ' д ' д дх ) У Ро У Ро где р, — плотность в покоящемся газе. Отсюда следует и йу Р Умножим второе из этих уравнений на (=1'-1 и сложим с первым; тог. да получим (и (В) й(Х+ !у) йОР ( ! Ро йф Р Производя замену (У вЂ” величина вектора скорости, осью Ох) х + (у г й — угол его с найдем следующую, обобщенную на случай сжимаемого газа известную связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного ') Чаплыгин С. А. О газовых струях.— Ученые записки Московского универ ситета, Отд. физ.-матем, наук, 1904, в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
