Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(45) — р„и"-„ь ьР М' — ! „„ Как видно из этой формулы, коэффициент волнового сопротивления представляет собой малую величину второго порядка; в отличие от Рис. 9! Ь,(х)=Ь,(х)= — = ]ие — е пл — нв «В «А н по (45) получим 4ед ск = (46) 7 М' — 1 Для вычисления с„в случае более сложных форм профилей полезно в выражении (45) положить Ь, (х) = Вд = <рд — В«Ь, (х) = 9 = др + е, где  — угол атаки (рис.
91), а ф, н ср,— углы между касательными в точках М, и М, верхней и нижней поверхностей и хордой профиля. Тогда, согласно (45), с. выразится в виде кв 2 с, ~М« — — -~ [<р', + <р, '+ 2е'+ 2е(фе «рд)] Г[х. л В случае симметричного крыла (Чд«=ср«=!р) получим кз 4 1 [ Чх= 4(е~+ Ч««) 4ее )Г М*„— ! (47) где!р обозначает среднее интегральное значение квадрата угла наклона в-еид коэффициента подъемной силы он зависит Ог формы обтекаемого профи- ,и. Так, для пластины 226 гл. чш.
плосков везвихтввов движение идеального гхзл касательной к контуру крыла относительно его хорды. Из формулы (47) следует, что по линеаризованной теории из всех профилей, расположенных к потоку под малым углом атаки, пластина обладает наименьшим волновым сопротивлением. Для ромбовидного профиля с максимальной толщиной (малой диагональю) 2 и хордой (большой диагональю) Ь имеем гр= 1/Ь, так что (48) В случае чечевицеобразного профиля (рис. 92), составленного из двух одинаковых дуг окружностей, в принятом приближении можно на.
писать Ыз Чз 2 Г 2К Г 2 К ~р = — ! гр г(х= — ~ гр г(гр= — — гр з ь3 Ь3 зь з з и заметить, что 1 К ! Ь=2йз(пгре=2Эр„— =)7 — )7созгре= — Жр', — = —, гре=2 —. 2 2 з Ь 2~рз Ь Окончательно найдем по (47) з ) (49) Теория Аккерета, как теория первого приближения, дает результаты, удовлетворительно совпадающие с экспериментом, если профиль достаточно тонок, углы атаки малы, а число М„не слишком близко к единице. Для примера приводим (рис.93) ь Г зкег йб7 с ббб ббь 4 б -б -Ф -г б Г е, ггзгбусм Рис.
93 Рис. 92 ') Н!!1 оп %. Р., Р г и г! е п Р. %. Яиьаоп!с апг! зпрегзоп!с Ыяжзреее Шипе! !еа1з о1 а 1а!гег! аопЫе жеане а!г1о!!.— Кер. апг! Мегп., !943, № 2057. сравнение теоретических кривых с„(е) и с.(е), рассчитанных по формулам Аккерета (44) и (47), с экспериментальными кривыми Хилтона и Прудена ') для ромбовидного профиля относительной толщины 8,7$ со скругленными углами посредине при М =1,48.
Экспериментальная кривая нанесена сплошной линией, теоретическая — штриховой. Ординаты теоретической кривой с„увеличены на число 0,008, соответствующее коэффициенту сопротивления трения, теорией Аккерета не учиты- $ ан ЗАкОны пОЛОБия плоских ОБтекАнии тОнкОГО пРОФиля 227 завкому. Более подробное изложение вопроса о границах применимости формул Аккерета, а также дополнительные экспериментальные материалы можно найти в специальной литературе ').
$61. Законы подобия плоских до- н сверхзвуковых обтеканий тонкого профиля. Случай околозвукового обтекания В предыдущих двух параграфах, трактовавших задачи плоского, дои сверхзвукового обтекания тонкого профиля, были получены формулы, позволявшие пересчитывать коэффициенты давлений и подъемной силы, а также коэффициент волнового сопротивления для сверхзвукового обтекания данного профиля с одного значения числа Маха набегающего потока иа другое. В случае дозвукового потока была установлена связь между с„ клн с„тонкого профиля заданной формы и расположения в однородаок потоке при произвольном, меньшем единицы числе Маха М„, и соответствующими значениями этих коэффициентов для того же и так же расположенного профиля в однородном потоке несжимаемой жидкости (М =О). Из формул (30) н (31) непосредственно следуют несколько более общие формулы пересчета (су)М =М ( у)М (50) ('у)М„=М, (су)М„=М, 1 — М,' коэффициентов с, и с„с одного значения М =М,(! на другое М„ Ма(1, конечно, подчеРкнем это еще Раз, длЯ 'одного и того же по форме и расположению тонкого профиля.
Судя по формулам (42), (44) и (45), для двух одинаковых по форне тонких профилей, одинаково расположенных в двух однородных саерхзвуково1х потоках с числами М„, равными М,>1 и М,>1, будут ккеть место формулы пересчета ( у)М»=М» (су)М =М, (са)М =М, М» (51) (су)М =М (су)М М, (с )М =М, М' — ! которые можно переписать в виде, тождественном с (50), если поменять кестамн члены в числителе и знаменателе под знаком корня. Указанные формулы являются частным случаем более общих соотношений динамического подобия, которые можно установить для разных по форме, но аффинноподобнГях между собой тонких профилей, расаоложенных под малыми углами атаки в двух Однородных потоках с различными числами Маха, но, конечно, такими, чтобы сравниваемые потоки были оба дозвуковыми или оба сверхзвуковыми.
Выясним условия динамического подобия двух линеаризованных потоков газа и определим соотношения между коэффициентами с„с„, а в случае сверхзвукового потока также н с„для таких подобных друг другу потоков. Рассмотрим два линеаризованных потока со скоростями на бесконечности (7; и числами Маха Мо заданные своими функциями тока малых возмущений ар, в физических плоскостях движения (хо у,). Здесь н дальше индекс 1 принимает значения 1=1, 2 соответственно двум сравянваемым между собой потокам. ») См., например. Хилтон У. Ф.
Аэродинамика больших скоростей.— М.: ИЛ, !955, с. 165 — 231. 228 гл. чш. плосков звзвихгавов движение идеального газь (17), можно Дифференциальные уравнения движения, согласно написать в форме — —,=0 (Е=1,2), э% 1 в'Ьк вх) 1' — М'к1 ьею (52) где верхний знак относится к дозвуковому, а нижний — к сверхзвуковому потоку. Беэ нарушения общности принимается, что хорды обоих профилей одинаковы и равны Ь=х,— х, а уравнения у,=/4(х,) (Е 1, 2) соответствуют всему контуру профиля, который, в отличие от предыдущего (Я 59, 60), не разделяется на верхнюю и нижнюю части. Граничные условия на поверхностях расположенных в потоках тонких профилей будут по (19) 1р,= — У~6~(х) при у =6-0, х (х~<х (Е=1,2).
(53) Совершим в уравнениях (52) и граничных условиях (53) переход к безразмерным переменным, положив ь х~=Ь$и уф= чи 1 — М,'1 (54) т,-ьи,МАГ:мГц»е,э,»1 ~ -нн у — ~ — =-О, 8 вг ~'~к % Ьчс 2 хл хв 7ю ~1 — Мю ~вю= — тсНю при Чс=~О, — <Ь'-= —. Ь Ь (55) (56) В случае дозвукового потока к условиям (56) добавляется еще условие: Вг+О при )/~Г+ Ч~ оо. Если в сходственных точках сравниваемых двух потоков, определяемых равенствами безразмерных координат этих точек Ь-Ь=$, ч =ч»-ч в условиях геометрического аффинного подобия обтекаемых профилей Н, В,) =Н»и.) =НК) выполняются равенства ед„ч,) =в*д*, ч.)-е(Ь. ч).
то такие потоки кинем атически подобны друг другу. В этих формулах перехода Ч', — некоторые благодаря однородности уравнений (52) произвольные постоянные, что отражает произвольность масштабов фн За масштабы ординат профилей приняты произве- дениЯ длины хоРды Ь на малУю относительнУю толи4инУ ть под котоРой в настоящем изложении принимается не только обычное отношение максимальной толщины профиля й;, к длине хорды Ь, но и, более общо, относительная вогнутость профиля, равная отношению стрелы прогиба «скелета» профиля к длине хорды, или просто угол атаки; $ь Ч„Е„Н, — безразмерные координаты и функции от них.
Выражая в уравнениях (52) и граничных условиях (53) все переменные через безразмерные их значения, получим после простых сокращений (Е 1, 2) а а!, 3АкОны подОБия плоских ОБтекАнии тОнкОГО пРОФиля 229 Обращаясь к уравнению (55) и граничным условиям (56), убедакся, что для выполнения указанных требований должны соблюдатьса равенства ()м — некоторая константа) — Х, т,ттг — м,'~ ~,гтт — мм,г ~ (57) Выполнение дополнительного условия на бесконечности в дозвуковом потоке не приведет к новому условию подобия. При выполнении условий аффинности профилей и равенств (57) совокупность уравнений (55) и граничных условий (56) приведется к одаоку уравнению и соответствующим ему граничным условиям дзв д'0 — ~= — =О, дйа дпа 8= — ЛН($) при г)==ЕО, — "<ф< — в, 8-» О при Я'+ т)а- оо (дозвуковой поток).
При заданном значении Х полученное уравнение имеет единствен- аое решение 8=8($, Ч), что н говорит о наличии кинематического по- добия между сравниваемыми потоками. Как сейчас будет выяснено, различные значения постоянной Л за- висят от выбора выражения для Чг через заданные константы т и М„. Втот выбор остается произвольным, причем каждому значению )м соот- ветствует свое условие (57) и вытекающее из него частное условие кн- веиатического подобия. Некоторые из этих условий будут далее рас- ска ены.
ля установления условий динамического подобия обратимся к рассмотрению коэффициента давления с, в двух кинематически подоб- ных потоках. Согласно (22) будем иметь, переходя к безразмерным ве- авчинам в сходственных точках, 2"г 2 дзйг двг — = ф. 2Чгг —, иг = иг()-М-;) ду, дя, ' откуда следует, что условием динамического подобия служит ы = — "'" = ~ 2 — =7'(Х). Чгг Ч'з дт) (58) Применяя символ «Гбегп» (по латыни — «то же») для обозначения одинаковых величин в сравниваемых двух динамически подобных потоках, можем условия (57) и (58) записать в следующей более краткой форме: х= ' =м . — "=м е ~ — м ~ т (59) Совокупность равенств (59) можно представить в форме следую- а)ей функциональной зависимости '): ч )1 — м-„'( (60) ') дним а н Г. В., Р о ш к о А. Элементы газовой дннамнкн; Пер, с англ.— Мл ИЛ, 1960, с.
302 — 305 330 ГЛ. Ч(У! ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Р ММ ф „б, Р„((ф Г~( М„(У М бУР ср — = Ыет. чу .Как это принято, в правых частях (58) — (60) опущены аргументы й и т1, которые в сходственных точках сравниваемых потоков одинако. н аь, ю, б, .(ф р ((ф ь"(( — м'„ф -у Ыегп представляет собой функцию от $ и т(, зависящую от выбора )(. Задаваясь различными выражениями произвольной постоянной ЧГ через постоянные т и М, будем получать разные значения Х и соответ. ствующие им различные частные законы подобия. Так, полагая Ч' !! — М' ( '*, будем иметь, согласно (57) и (58), формулу ().=т) 7 (т) "= рн — м*„( в случае дозвукового потока совпадающую с ранее установленной формулой (30) и выражающую тот уже известный нам (правило Прандтля — Глауэрта) факт, что если сравниваемые профили имеют одинаковые относительные толщины (в том обобщенном смысле, как это ранее говорилось), то коэффициенты давления в сходственных точ.
ках обоих потоков будут обратно пропорциональны корням квадратным из значения разности ! — М' или 1 — Мб. Если положить Ч'=1, то соотношение подобия (60) примет внд у ( у — мм''„„((' ' (~~~ -м„' ~ ) и будет выражать другой аспект того же правила Прандтля — Глауэрта, а именно: если в двух сравниваемых дозвуковых потоках относительные толщины тонких профилей будут между собой относиться как корни квадратные из разностей (1 — М,' ) и (1 — МУ ), то коэффициенты давления в сходственных точках таких двух потоков будут одинаковы. Только что высказанное правило поясняет ранее отмеченное свойство кривых с„(М ), приведенных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
