Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Итак, ~ХУ,=АГ, а следовательно, по (110) (112) ах=рУ ХЙГ формула эта сооответствует формуле для единичного профиля, причем средняя векторная скорость У„заменяет скорость на бесконечности У„. Устремим величину шага г к бесконечности, сохраняя в то же время величину циркуляции. При этом разность У,.— У„должна стремиться к нулю, что при наличии равенства (109) приводит к установлению общей скорости Уг — »У;»У„вместо У„, и формула (112) переходит в формулу Жуковского для единичного профиля г=РУ Хйг.
Правило определения направления вектора ас по (112) остается тем же, что и для единичного профиля. Вектор яг имеет направление вектора Учч повернутого в плоскости течения на 90' в сторону, противоположную направлению циркуляции, т. е. тому направлению обхода контура интегрирования, при котором циркуляция окажется положительной '). $ 57. Применение метода конформных отображений в теории струйных течений ') Теоретические вопросы в этой области разобраны в специальных монографиях: К о ч и н Н. Е Гндродинамическая теория решеток. Современные проблемы механики.— М Гостехиздзт, 19ч9, и Степ а нов Г. Ю. Гидродииамика решеток турбомашин — Мс Фнзматгиз, 1962.
В монографии более широкого содержания — Седов Л. И. Плоские задачи гидрадиначики и аэродинамики.— Мк Наука, 1980 — теории решеток посвяшена специальная гл. П1. Практические вопросы численного расчета решеток профилей подробно освещены в монографшь Ж у к о в с к н й М П. Расчет обтекания решеток профилеп турбомашнн.— М; Л Машгиз, 1960.
') Представление об этих трудностях и о способах приближенных решений такого рода запач можно составить, озналочясь с гл Х! и ХП монографии Г у р е в и ч М. И. Теория струй идеальной жидкости.— М. Наука, 1979. Изложенный ранее (9 51) метод конформных отображений получил уже давно широкое применение не только при решении задач плоского обтекания замкнутых контуров, в частности, крыловых профилей. Одной из наиболее важных областей применения этого метода явилась теория течений идеальной несжимаемой жидкости с разрывным потенциалом, известных под названием струйных течений.
Благодаря отсутствию внутреннего трения в потоках идеальной жидкости становится возможным возникновение нарушений сплошности течения, образования в потоке «мертвых» зон покоящейся жидкости. Примерами течений с нарушением оплошности могут служить кавитационные «каверны» (полости), заполненные парами жидкости и воздухом, срывные зоны за плохо обтекаемыми телами, струи плотной среды в окружении жидкости (газа) малой плотности, водосливы через преграду и из-под щита, течения, относящиеся к задачам транспорта на «воздушных подушках». Некоторые из перечисленных задач и в первую очередь — гидротехнические, связанные с движением воды в поле тяжести и имеющие часто существенно пространственный характер, представляют значительные математические трудности и не могут быть изложены на страницах настоящего учебника '). й м.
коноормныв отоврджвния в теории струнных таченип 207 Прямым методом решения задач плоских разрывных течений служат метод конформных отображений '). «Свободные» линии тока (рвс. 82), сорвавшиеся с обтекаемого тела, представляют неизвестные яо форме границы потока; в то же время в плоскости годографа сопряженной скорости Р или обратной величины — функции К и р х г о ф а ~=1/Р, так же как и в плоскости комплексного потенциала у, границы представляются отрезками простейших линий: прямых и окружностей если обтекаются тела, состоящие из прямолинейных отрезков (пластики, клни), расположенные в каналах с прямолинейными границами, Рис.
83 Рис. 82 и т. и. При этом установление взаимно однозначного соответствия между областями в плоскостях комплексных переменных (г (или Ь) и т ие составляет труда, и метод конформных отображений дает преобразующую функцию (г(т) или ь(т). Задача сводится к разысканию связи между этими функциями и основным комплексным аргументом г в физической плоскости, что может быть осуществлено при помощи очевидного соотношения Продемонстрируем метод на примере удара струи, вытекающей из канала конечной ширины, на перпендикулярно по отношению к ней расположенную пластину (рис. 83).
Рассмотрим правую половину физической плоскости г. Обозначим полуширину подводящего канала через г'., йолуширииу пластины через 1, расстояние пластины от выходного сечения канала через й. Скорость, одинаковую по величине вдоль границ свободных линий тока ВС и ПС, назовем о„, скорость в канале вдалеке от выходного отверстия о„; тогда (та=о 1, (го — — О, Рв — — о„Г»=ое1, ($гс) =ое. Введем в рассмотрение комплексную переменную (функцию Кирхгофа) ~ = — = — его 1 1 1г 11г1 а установим соответствие между точками физической плоскости я и плоскости годографа вектора обратной сопряженной скорости ~.
') Исторически первая простейшая схема принадлежит Геяьмгольпу и Кирхгофу; Не1шьо11г Н ВЬег гдвсопипшег!МЬе Р!йвв!яке!1»ьетчеяопяеп — МопаЫЬег. Вегип. Айад.%1»а, 1868, Вй 23, Арп1; К1г си Ь о!1 С хпг ТЬеопе 1ге1ег Р!йвв1яйе!1»»1гашеп— СгеИев 1опгп 1 Ма1Ьепт, 1869, и.?О. гл. чп, БезвихРевые движения иделльнои сРеды Рис. 84 Рис. 85 функции дробно-линейной подстановкой. Так, заштрихованная область плоскости ь преобразуется в нижнюю полуплоскость при помощи соот- ношения а полоса плоскости Х в верхнюю полуплоскость при помощи преобразования Л,=ах, Для взаимно однозначного соответствия между полуплоскостями Л, и 2, должно быть 7 ах~+ Ь г,+с ' или с в )1"о 1 аех+ Ь ьи+ ),,Ри / ех 1 с Постоянные а, Ь, с определим из условий соответствия Х=О при ~= оо (в точке 0), Х = 1и а при Ь = 1/о, (в точке В), Х=п!+!пР прн ь= — 4Уо,(в точке Р), где 1па и 1п р — неизвестные пока постоянные, равные абсциссам точек В и Р в плоскости у.
Подставляя этн значения в предыдущую формулу, получим ()+ ! а=— а — ! Ь=. — а, с=р, В+! а — ! Границам потока АОВС и АРС в плоскости е сопоставляются границы в плоскости ~, показанные на рис. 84 теми же буквами; область течения отмечена штриховкой. Наметим еще область течения (рис. 85) в плоскости комплексного потенциала Х. Это будет полоса между двумя параллельными действительной оси прямыми, соответствующими постоянству функции тока !р вдоль линий тока. Линию тока АОВС примем за нулевую, линии тока АРС припишем значение ф=и, тогда ширина полосы будет равна и.
Взаимно однозначное соответствие между заштрихованными областями плоскостей ~ и Х можно установить, отображая конформно обе области на ту или иную полуплоскость, а затем по известной теореме теории функций комплексного переменного, связывая отображающие и Бь КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУИНЫХ ТЕЧЕНИЯ 2(!9 так что иле, после простых преобразований, х7.:и!ехххх-Лх.хиГ-* ~ "е х ( 4.б)(~ — и (113) К этому равенству присоединим очевидное соотношение х г= ~~бХ.
Ю где постоянная определена из условия соответствия в точке О. Совокупаость равенств (113) и (114) дает искомое решение задачи; необходимо лишь сопоставить неизвестные постоянные а, р с геометрическими параиетрами задачи 1, х., !! и заданной скоростью о, учтя, что расход принят равным и. Для этого определим прежде всего полуширину пластины 1. Имеем !па !па !иа х ) Ххх !х =' ) ~~ ~ххххх-,,/ —... ) )хХ вЂ”.=;*хх Интегрирование может быть выполнено при помощи подстановок ех+ р е" — 1 для первого интеграла и а — е 1 х ,х ! хх для второго, Будем иметь 2!Х!' 'х хе(!/~е ь ), !=в 1 "о а — 1 1+ — а+, Полуширину канала А'.
выразим через расход и и скорость о„: 1.=— Отношение 1 Р а — 1 / а — ! — — — 2 р — асг1я ~ !х — ) + !. в ие а-~-(! ! а+р у а — 1 -~/ а — 11 1' а-~-Р .у Р-1-1 а+Р а — 1 а+3 1 — )/ а+р З Ос. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИИ В!$ и подставим в выражение (115) полудлииы пластины; тогда после про- стых преобразований получим Р 1 22сы ил! а — 1) Р— О Ы Л1Усс — 1)+2 а — асс 1г ~ З: ) -!. с — 1и У ' Рии а(~а ~1) !2 „а — 1 Л+2 1и си»«с-,~ ' 1с " 2) 2~,1„-„- „ (118) Для определения постоянных а и р в нашем распоряжении пока только одно уравнение (117). Составление второго уравнения требует введения в расчет константы )с, определяющей расстояние пластины от выходного сечения канала.
Это нетрудно сделать, написав, что по (114) Хр и!+си а )с=!шгр=1ш ) сйХ=1ш ~ ьйХ. Составив затем отношение )с к ! или Т., получим искомое второе уравнеаие для определения а и р. Опуская эти вычисления, аналогичные тем, которые были сделаны при составлении выражения (!15) для 1, удовольствуемся рассмотрением нескольких частных случаев, не требующих задания )с. 1, Струйное обтекание пластины безграничным потоком, В этом предельном случае (7.- оо) из равенства (117) сразу следует, что величина а близка к единице, а из физических соображений ясно, что для вычислеиия силы Р совершенно несущественна величина и, а следовательно, и значение параметра р. Подтвердим это вычислением. Перейдем в выра- женин (118) силы Р к пределу при а=) и произвольном !). Проще всего зто сделать, разложив входящие в знаменатель функции агс!а н !п в а — ! а — ! ряды по степеням малых аргументов р — и ~' — и сохранив с +() а+Р только первые члены этих разложений; будем иметь 1 2Л У=-Сии 2С У'а +1 ы а Уа-)-1 Т а — 1 1 2Л 2 сл = — Ри 21 = — Ри 2С вЂ”, 2 О 2Б 2 2 О Л+2 Л+2 — +2— а+1 О+1 что представляет собой известную формулу Рэлея; из (!16) следует, что ирна=1 р,=о .
2, Струйное обтекание пластины потоком конечной ширины, ограниченной свободно!ми поверхностями (рис. 86). Удалим выход из канала на бесконечность в положительном направлении оси Оу (Ь=оо). Вспоминая, что 1и р представляет собой абсциссу точки Р на прямой хр=п (рис. 86), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
