Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 51
Текст из файла (страница 51)
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 221 $ 60. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета При сверхзвуковом течении газа (М„)1) второе из линеаризованвых уравнений (23) приобретает форму дьь 1 ~Ф вЂ” — — — =О, дх' в« дух (32) Где, в отличие от предыдущего параграфа, положено ьз'=М вЂ” 1. (33) Волновое уравнение (32) нам уже знакомо по 332 гл. Ъ'.
Отличие матеывтической структуры отражает физические особенности явлений, описываемых уравнением (32), по сравнению с явлениями дозвукового течения. Легко убедиться простой подстановкой, что общее решение уравнения (32) может быть выражено формулой $ (х, у) = й, (х — ыу) + й, (х+ о>у), х — ыу= сопз1, вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно, и вообще воз- ыущення параметров движения и состояния газа будут сохранять посто- янные значения. Эти прямые представляют собой первое семейство (С,) «нрвктеристик волнового уравнения (32) и играют роль линий возмуще- ния в рассматриваемом сверхзвуковом потоке, Их именуют линиями или волнами Маха.
Точно так же частному решению $, = Аг, (х + ыу) (33) соответствует второе семейство (С,) характеристик, или линий возму- щения, х+ ь1у = сон з1, вдоль которых также сохраняют постоянное значение возмущения параметров движения и состояния газа.
Рассматривая угловые коэффициенты этих семейств прямых 1да= ~— Р М„-' — 1' (36) заключим, что углы а, образованные линиями возмущения с направлениек невозмущенного движения (осью Ох), равны 1 а = ~ агсз!п — . М На рис, 89 показаны две линии возмущения от точечного источника возмущений 5, находящегося на оси Ох, Только вдоль этих двух лучей, выходящих из точки 5, можно наблюдать возмущения однородного набегающего на точку 5 потока; во всех остальных точках плоскости течения поток не возмущен и сохраняет свою однородность.
Напомним, что «то- (37) Где 11, и 11, — произвольные функции аргументов х — Гну и х+ Гну; внд этих функций определяется с помощью граничных условий задачи. Рассмотрим частное решение «Р, = Й, (х — ГВУ). (34) Ово имеет следующий смысл: в плоскости течения (х, у) существует сеыейство прямых линий 222 гл. ччш.
плоское везвихревое движение идеального гязд чечным» источником в плоском потоке служит на самом деле источник возмущений в виде прямой, перпендикулярной к плоскости рисунка (например, расположенная поперек потока тонкая проволока). От действительно точечного источника в пространстве линии возмущения располо. жатся на конической поверхности с вершиной в точке 5 и углом полураствора а, определяемым по (37).
Этот конус возмущений называют еще конусом Маха, По наклону линий возмущения можно судить о значении числа М„однородного потока. (с,у л Рнс. 90 Рис. 89 Так в аэродинамических сверхзвуковых трубах, внося в поток малые возмущения при помощи тонких игл или зондов, наблюдают линии возмущения и по углам наклона их к направлению невозмущенного потока определяют число М„в трубе.
Видимость линий возмущения обеспечи. вается тем, что вдоль них плотность газа (воздуха), а следовательно, и показатель преломления отличны от соответствующих значений в невоз. мущенном потоке. Обратимся к вопросу об обтекании тонкого профиля сверхзвуковым потоком. Контур его, как и в дозвуковом потоке, будем задавать ордина. тами верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) поверхностей: у=8,,(х), Граничное условие представим, как и прежде, в форме ф= — У„л,л(х) при у=~0, хл(х(хв. (38) Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля (рис. 90) соответственно характеристиками первого (С,) и второго (С,) семейств. Только что изложенные свойства характеристик [формула (34) для первого семейства и формула (35) для второго семейства) позволя.
ют сразу заключить, что решение уравнения (32) при граничном условии (38) может быть представлено в форме ф= — У„й,л(х~ соу), (39) где, напоминаем, индексу 1 при Ь соответствует верхний знак в круглой скобке, а индексу 2 — нижний. В отличие от дозвукового обтекания функция тока возмущений тр(х, у) при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура профиля не обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней полос, ограниченных крайними характеристиками АА„ВВ, и ААм ВВм при у ч-оо то же распределение по х, как и на верхней и нижней по. верхностях профиля').
Вне указанных полос поток остается однородным ') Асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что иа больших расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже $ ао. сВеРхзВукОВОе ОБтекАние тОнкОГО пРОФиля 22З и скорость его равна и . Как это непосредственно видно из решения (39) и показано на рис. 90, линии тока возмущенного движения (ф= Ц„у+в)=попа() представляют собой кривые, которые могут быть получены параллельным переносом верхнего и нижнего контуров профиля соответственно вдоль характеристик первого и второго семейств.
Располагая решением (39), найдем по (15) распределениевозмущеппй составляющих скорости (штрих означает производную по всему аргунеиту, стоящему в круглой скобке) дю и„ и= —,, — = ~ )т,,,(х~: соу), М-„' — 1 ду 1/Мя — —; (40) о= — — =и„й,',,(ха му), д9 дх справедливое во всей области возмущенного движения. Из второго рапепства системы (40) можно найти угол отклонения Есв касательной к зппни тока в возмущенной области от линии тока невозмущенного потопа. Будем иметь по определению линии тока и в силу малости отклоне- ППП ЕОЛ с о Е,л=(йЕ,л= = — =Ь,'.в(х~ У), (и„+ и) и„ з тогда нз равенств (40) следует и„ и=~ " Е,, =и Евл У М'„— 1 (41) 2 29ьл (х «- му) СР=~ й..в(Х=РГОУ)=~ УМ„* — 1 (ГМ-„-1 з затем и на поверхности (контуре) профиля, где приближенно можно положить у= «-О, ~ 2Ь (х) ~ 26, (х) с, (х)— "зу м„' — 1 '1/ м„' — 1 (42) Последнее равенство, выражающее пропорциональность коэффициента давления в линеаризованном сверхзвуковом потоке местному зна- впервом приближении и искажает картину течения на рис.
90. Характеристики искрив. азина и перестают быть параллельными между собой. См. Ван-Дайн М. Методы юавуженнй в механике жидкости.— Мг Мнр, 1967, с. 147 — 161. 3тп равенства выражают основное свойство линеаризованного сверхзвукового потока: продольная и поперечная составляющие скорости возмуп(гнил при заданных скорости и числе Маха невозмущенного потока п)юлорииональны местному углу наклона линии тока возмущенного движения по отношению к направлению невозмущенного потока и имеют лестный (локальный) характер. Тем же свойством обладают давление, плотность и другие характерные для потока величины, что принципиальпо отличает сверхзвуковой линеаризоваиный поток от дозвукового, в котором значения параметров потока в данной точке зависят от распредезеппя этих параметров во всем потоке в целом.
Припоминая одинаковую как для дозвукового, так и сверхзвукового зепепризованных потоков формулу (22) коэффициента давления, найпем, согласно (41), выражения коэффициента давления в любой точке мпйушенного потока 224 ГЛ. ШП. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ченню угла между касательной к контуру тонкого профиля н направле. пнем невозмущенного потока — этот угол принято обычно называть мест. ным углом атаки — напоминает известную «ударную» теорию Ньютона, протнв применения которой в теории обтекания тел несжимаемой жид.
костью боролся Эйлер. Как вскоре будет выяснено, «ударная» теория Ньютона найдет свое применение как вполне удовлетворительный, хоти н только приближенный, метод расчета обтеканий тел при очень боль. ших значениях чисел Маха набегающего на тело сверхзвукового потока Коэффициент подъемной силы с„найдем, выполняя интегрированна (Ь=А — хорда профиля, в принятом приближении равная разности х,— х„абсцисс точек В н А) кв г'х'г 1 Г ср ф сргг 1 ) ) (срг срг) г)х '(ь) ь ) (43) Подставляя сюда значения с„, н с, нз (42), получим 'в с„= — [ [)г,(х)+Й,~(х)) ах —— Ьу'Мг — ! ) 4 Ма — 1 кв кл «л Введем угол атаки профиля В как острый угол между направленнек хорды АВ н набегающим потоком Ул Ув [па= е= кв — кл тогда предыдущая формула примет окончательный внд 4е У (44) ') А с Ье ге! а.
1)Ьег Ьп!!Ьга!!е ап! Р!йде1, гне пп1 ягоеаегег а!а 5сьа!!Ееасьгг!и. г)!ЕЬе!! Ьеагея! »гегееп.— Ее!асьг. 1. г!йя!есьп., 1925, Вг!. 16. Это — формула Аккерета'). В линеарнзованной теории сверхзвукового обтекания тонкого профиля коэффициент подъемной силы не зависит от формы профиля, е только от угла атаки и числа М„)! набегающего потока. В отличие от линеаризованного дозвукового течения, в котором, как это непосредственно следует из правила Прандтля — Глауэрта ($59), сопротивление профиля отсутствует, прн сверхзвуковом обтекании сопротивление профиля отлично от нуля; оно носит наименование волнового. Возникновение этого сопротивления может быть физически объяснено той продольной несимметрией потока, которая отличает сверхзвуковой поток от дозвукового. Если в дозвуковом потоке давление в задней кормовой части профиля восстанавливается и создает силу, противодействующую главному вектору сил давлений в передней (лобовой) части профиля, то при сверхзвуковом обтекании такого уравновешивания не происходит.
В кормовой расширяющейся области течения имеет место явле. нне, подобное наблюдаемому в сопле Лаваля: сверхзвуковой поток пря расширении ускоряется, давление в кормовой части не восстанавливается, а продолжает уменьшаться, что приводит к дополнительной отсасывающей силе, направленной вниз по потоку. Таким образом, в отличие от дозвукового потока, главные векторы сил давлення по лобовой н кормовой части поверхности профиля друг друга не уничтожают, а, наобо. рот, складываются, образуя суммарную силу волнового сопротивления. к ЕО. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 225 Коэффициент волнового сопротивления с„найдем, составляя выражение для силы сопротивления й,=-$ри.] = — фрау= — — р„И„(! с,— ]х= кв «««Р У Вьд «!Ь« ~ «А Согласно (42) будем иметь следующую формулу Аккерета для коэффициента волнового сопротивления: «в «ск 2 с = ! = ~ ([Ь,(х)]'+ [Ь, (х)]') д(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
