Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Условимся обозначать в дальнейшем индексом 1 величины до скач. ка, индексом 2 — после скачка; кроме того, применим индекс 1 для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка ОС н индекс и — для нормальной составляющей скорости. Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рнс. 95, будем иметь: а) закон сохранения массы Р!1! Р21 2 б) закон сохранения полного импульса в проекции на линию разрыва Ро)т~ 1 и=ро)то 1 м! в) то же в проекции на нормаль к линии разрыва Р1 + РАл = Р2+ Ро)тоа! г) закон сохранения полной энтальпии ! 1 2 Ь, + — (~"и+ )г(л) = Ь, + — 0'21+ )поа). 2 2 Из уравнений пп.
а) и б) сразу вытекает основное для теории ко. сого скачка равенство 1~„=УиааРН утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения касательная составляющая скорости сохраняется; скачкообраз. но изменяется лишь нормальная составляющая. Переписывая, с учетом этого свойства косого скачка, уравнение полной энтальпин (п. г)) в виде 1 о 1 Ь1 + — 1'ол = Ьо+ — 12л 2 2 и сравнивая его, а также равенства пп. а) н в) с соответствующими уравнениями (39), (40) и (41) теории прямого скачка ($38), убедимся, что три основных равенства, служащих для расчета элементов «осого скачка 2 2 1 1 2 Р1~1а Р2" оло р1 + Р11!а = ро + Ро)тмо Ь1 + рол Ьо + 1 2ло полностью совпадают с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, если только под скоростью до н после скачка подразумевать нормальную ее составляющую.
Это освобождает нас от повторения выводов з 38. Отсюда следует, что соотношение между давлением н плотностью, получаемое из предыдущих равенств путем исключения скорости, т. е. ударная аднабата Гюгонно, выражаемая равенством (43) гл. Ч1 н графиком на рис. 36, должна в случае косого скачка остаться той же, что и в случае прямого скачка. Точно так же останутся теми же, что н в случае прямого скачка, Основанные на законе сохранения полной энтальпнн Ь, равенства Ьоо=йоо=йо Тоо Тоо=Тоо иоо=иоо=па, а следовательно, н Т,=Т,=Т', а,=по=а'. Ф 62.
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 237 Таким образом, при прохождении газа сквозь косой скачок уплот- аепяя сохраняются неизменными: энтальпия, температура и скорость звука в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе, а также крптическое значение температуры газа и критическая и максимальная его скорости. Наряду с уравнением ударной адиабаты Гюгонио [(43), гл. Ъ'1] в теории скачка сохраняется для нормальных скоростей н формула Прапдтля [(49), гл. Ч1], но с измененной правой частью. Нет необхо- дяиости полностью повторять вывод этой формулы.
Разница в выво- дах заключена в том, что в теории косого скачка уравнение Бернулли, написанное в форме [второе равенство в системе (77) гл. Ъ'] У«ап «+1 м а', 2 А — 1 2(А — !) заменой Р= У]1+ Ъ", может быть переписано в виде а' А+1 „* "1 «+1 — Й а ) а" — — = й 2 Д вЂ” 1 2(Д вЂ” 1) 2 2(А — 1) где появившаяся справа «приведенная» критическая скорость а*, равная — А — 1 2 а' = а* — — У1, А+1 будет по условиям сохранения а* и У, также сохраняться при прохождепяя газа сквозь косой скачок. Повторяя вывод, изложенный в теории прямого скачка (5 38), но используя уравнение Бернулли, только что составленное для нормальной скорости У„и заключающее в правой части «приведенную» критическую скорость а*, получим следующие два вида формулы Прандтля для косого скачка: У,„У„, = а'«, )а„)«„== 1, (76) где под).„подразумевается отношение У./а*.
Обращаясь к скоростным треугольникам, показанным на рис. 95, сделаем заключение о справедливости следующей системы равенств (О-угол отклонения потока скачком, 8 — угол, образованный линией скачка ОС с направлением набегающего потока): У,.= У, з(п р, У,„=У, з(п (р — О), (77) У„=У, соз ~=У„=У, соз([1 — О) У,. Пользуясь принятыми ранее обозначениями для проекций скорости на оси прямоугольной декартовой системы координат Оху У„=У„У,„=О, У .=1',созй=-и„У„=У,з1пб=ьь можем переписать систему (77) еще так: 1' ~ =У~ з!п О Уз =из 3!и 8 ОасозР (78) 1' ~=1' ~ соз О=из соэ аи+ О«$1п ан.
Из последнего равенства системы (78) легко выводятся выражения тригонометрических функций угла р скачка через декартовы проекции скоростей до и за скачком М"1= ' '1= ' «=Л вЂ” ~Р-~-Ч. (791 Эти соотношения и равенства (78) позволяют найти выражения касательных и нормальных компонент скорости через ее декартовы 238 Гл чп!.
плОскОе Безвихаевое дВижение идеАльнОГО ГАВА проекции ига, 1'с = — '*, У1л —— — 1'! (1'! — ссг)э АС АС ! У,„= — (и, (У! — и,) — ог); подставляя их в первое из равенств (76), получим после простых приведений ()с! — и!)г ()!!и! — а' ) А+ ! Деля обе части этого равенства на а"' или на а,', перепишем его в следующих двух формах: (81) представляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (и,/аР, о,/а*) или (и,/а„о,/а,) с параметрами Х, или М,.
В последней формуле (81) предпои лагается, что входящая в правую часть величина а*/а, по известной изэнтропической формуле выражена через М,. Полученные семейства представляют собой геометриче- Ю ские места точек концов вектора скорости У, за косым скачком, от- В А В и песенного в первом случае к а* и во В втором — к а„причем в качестве параметров семейств используется величина скорости У, до скачка, отсс <а" г Гг 'а песенная к а или а,. Кривые семейств (81) представляют собой строфоиды (их еще называют гнпоциссоидами или декартовыми листами), графическое построение которых не составляет труда.
На рис. 96 в размерных координатах (и, о) показана одна из та. ких строфоид. Луч ОЕ, проведенный из начала координат под углом 8, равным повороту потока или, например, углу полураствора клина, пересекает строфоиду в трех точках: Р, Е и Е и таким образом определяет три значения вектора скорости У, за скачком уплотнения. Как видно из уравнения (80), двойной точке В (через нее проходят две касательные, показанные штрихами) соответствует значение и=У, скорости до скачка.
Поскольку ОР>ОВ, а речь идет о торможении потока за скачком, точка Е и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные вправо от точки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими н могут быть олуи(ены. Физический смысл имеют только два значения вектора скорости У, за скачком: ОР и ОЕ. Как непосредственно следует из формул (77), отрезки ОО и ОН выражают при этом два возможных значения общей касательной составляющей скоростей У, и У,, а (ВО, ЕО) и (ВН, РН)— нормальные составляющие этих скоростей для двух возможных на- » 62.
СУЖАЮШИНСЯ СВЕРХЗВУКОВОП ПОТОК гЗ9 правлений скачка уплотнения, соответствующих двум значениям р, и (1, угла р. По условию набегающий поток является сверхзвуковым, следовательно, У, ОВ>а*. С другой стороны, из уравнения (80) легко заклюнять, что точка А пересечения строфоиды с осью Ои будет иметь абсииссу ОА=а*'/У,=а*/Л,<а", так как.Л,>1. Отсюда следует, что точка З на оси Ои, соответствующая критической скорости 05 а*, должна располагаться между точками А и В, причем так, чтобы выполнялось условие инверсии ОА ОВ=ОВ'. Окружность радиуса ОБ=а«разграничивает области до- и сверхзвуковых течений.
Скорости за скачком др и( Рис 97 могут быть как до-, так и сверхзвуковыми. Подробнее этот вопрос будет разобран далее. Заметим еще, что в каждом данном случае, т. е. при задании чисел Л, или М„существует такое значение 8=8 „, при котором точки Р и л" сольются в одну и, следовательно, этим значениям 8, Л, или М, будет вшечать лишь одно значение угла 8 и лишь одно расположение косого скачка. Если при данных Л, или М, угол поворота потока задать бйльшим 8 „„то решение станет невозможным. Это означает, что рассмотренная схема (рис.
95) прямолинейного скачка ОС, исходящею из вершины угла (вершины клина), не может быть в этом случае осуществлена, а должна быть заменена другой схемой, а именно «отошедшей» от вершины 0 головной ударной волны; об этом будет сказано далее. На рнс. 97 приведена диаграмма семейства ударных поляр — строфаид, построенная для значения й=!А по первому уравнению (8!). Бесконечные ветви, как нерабочие, опущены.
Каждой строфоиде соответствуют свои значения параметров Л, или М„указанные в двойной точке кривой (Л, — сверху, М, — снизу). Перейдем к более детальному, аналитическому рассмотрению явления прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Прежде всего воспользуемся указанным в начале параграфа приемом получения формул косого скачка из соответствующих формул прямого скачка путем замены У, и У, на У,„=У, з!и Р, У„,=У, з!и (р' — 8), а следовательно, М, и М, на М,„=М, з!п р и М,„=М, з!и (р-8). 24О ГЛ.
У!!!. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Наличие этого простого правила позволяет без труда составить отношения давлений, плотностей и давлен
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
