Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 53
Текст из файла (страница 53)
88 ($59). Условие одинакоуь(у — м*( р р -ь,- - б ь атаки, тем при меньших М можно ожидать совпадения расчетного н экспериментального значений коэффициента подъемной силы. Интересно еше положить Чь=т; тогда ,=./(у(у — м'.(у. (~ — м'( ' Справедливость такого равенства, утверждающего, что при данном значении М коэффициент давления пропорционален относительной толщине профиля, была неоднократно нами проверена для случая М„0 в$55 !См. первую из формул (104), а также (!07)). Если, наоборот, относительную толщину профиля менять обратно Р РР У(У вЂ” М(, '' Руг - - У М Ь фф а бур, бр „,р, р~Ю Г !! — М' ~ согласно формуле у(.у(у — мм''„((у, ! 1 — ((у(,' ! рг ру у (ббу, Ю Ч'-у((( — М'( у Ь(у — М'(, $ М.
ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 33» Положим, наконец, в равенстве (60) »=их'Н вЂ” м. ~; тогда будем иметь 1=1,,= ' ~Р) ) — м где /(1) является, как уже отмечалось, функцией координат $, т), опре- делить внд которой нз соображений подобия„конечно, нельзя. Полу- чеяное выражение для с, находится в полном соответствии с формула- мя (30) и (42). Отмеченное многообразие «правил подобия», позволяющее срав- нивать обтекания при различных числах Маха набегающего потока про- фвлей с различными законами связи между относительными толщина- ин и числами Маха, обусловлено линейностью и однородностью урав- нений теории до- и сверхзвукового обтекания тонкого профиля.
Обратимся теперь к случаю околозвукового обтекания тонкого про. филя, характеризуемого близостью числа М набегающего потока к единице. В этом особо,м случае изложенный в $58 простейший способ линеаризацип уже неприменим и должен быть дополнен более тонкими соображениями о сравнительной малости членов основного уравнения (7) и выражения скорости звука (8), применяемых к задаче обтекания тонкого профиля. Для этого проще всего рассмотреть общее уравнение (2) и выражение скорости звука (4).
Сделаем в них замену и, о и а по формулам (9), причем, в отличие от предыдущей линеаризации ($ 58), в множителях, стоящих перед производными скоростей возму- щений дй/дх, дй/ду, дб/дх, дп/ду, представляющими собой малые пер- юго порядка, сохраним не только конечные величины, но и малые пер- вого порядка. С этой целью воспользуемся для квадрата скорости зву- ка приближенной формулой а'=а + — У вЂ” — (У'„+ 2у и+и'+Ох) =а'„— (й — 1)у и.
2 2 В этом приближении получим 2 ди -Тдй дйХ ['„-ӄ— (й+ 1)У„И) — — У„О~ — + — ~+ + [а' — (й — 1)У и) — =О, ду илн, выделяя в левой части малые первого порядка и деля обе части ю на а, [„[з ди+Ю „+ 1„[з и ди + дх ду У дх +(й — ПМ вЂ” — +М вЂ” ~ ~— + — ~. и дй з й /дй дй~ 0 ду У [, ду дх ) Линеаризация требует отбрасывания правой части, что для случа- ев до- и сверхзвуковых движений приводило к уравнению (10).
В раз- бираемом сейчас случае околозвукового движения значение М =1 яв- ляется Особым, так как при этом обращается в нуль коэффициент при ароязводной дй/дх. Производную дй/дх при М, близком к единице, уме яельзя рассматривать как малую величину, а остальные производ- име дй/ду, дб/ду, дб/дх сохраняют свою малость.
Вот почему первое слагаемое в правой части должно быть сохранено, а остальные могут быть, как и ранее, опущены. Таким образом, в случае околозвукового абтекания тонкого профиля лннеаризация нарушается, и мы будем 232 ГЛ. ЧН1. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА иметь следующую, уже нелинейную систему уравнений движения М ) а» +«)Р (й+1)М дх ду и дх д7«д» — — — =О.
ду дх В рассматриваемом случае проще иметь дело с потенциалом ско* ростей возмущений «р, чем с функцией тока возмущений «р. Используя наличие потенциала скоростей малых возмущений «р(х, у), приведем полученную систему к одному уравнению „„ю аф а р (а+!)М* ар ар дхю дую и дх дхю (61) с соответствующим ему граничным условием (18) — ф=У ))'(х) при у=~О, х ~х(х~. ду Для установления соотношений подобия двух плоских околозву.
ковых обтеканиИ тонких профилей с заданными относительными толщинамн т„т„скоростями набегающих однородных потоков У„У„числами Маха М, и М, и показателями адиабат й, и й, составим следующие уравнения и граничные условия: для первого потока дюф«1 дюф«(а«+ 1) М«д,р, дюф« дхю 1 — Мю дую и, (1 — Мю) дх дхю (62) дф« — =У,й,(х) при у,=~О, ха<х<хв ду, и для второго — + дюфю 1 дхю 1 — Мю аюфю (х«+ 1) Мю дф а«фю аую и,(! — М*,) дх а'* ' (63) й, (Х) = Ьт,Н(К), ИВ(х) = ЬХВНЯ, причем по условию подобия функции юр(5, т)) и НЯ) одинаковы в срав« ииваемых системах.
При помощи этих функций уравнения и граничные условия (62) и (63) перепншутся в форме аю,р дюф (РР« + 1) М,«П« д,р дю,р д$~ д«!ю и, (1 — Мю) д$ д$« ' / в ««р,р, ю-~ю, (66) — Р* = У,Й, (х) при д«р, дую Подобно тому как это уже было преобразования «р =Ф«~р, «р,=ФВ«р, Х=$, ра = ~ О, хА ~ (х » (хв. сделано в начале параграфа, введем рр(р — м,'~р,= рр(р — м.*~р;-ю, (64) 1 Е!. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 233 дпчр дп,р (яр+ 1) МйФр дчр д'рр д$' дя' Ур (1 — Мп) дз д0Р (65) и<в.р.п-мп. *.мрм..
р,=м, „'м,, Требование совпадения этих двух систем, состоящих из уравнений н граничных условий для первого и второго течений, приводится к двум равенствам (ар+ 1) М~Фр (Ар+ 1) М',Ф У, (! — Мр) У, (1 М,) м, р'Т7:мП пир)Т вЂ” ир — (66) У,т, Уртр Выражения коэффициентов давления с, н сйм согласно общей формуле 2и 2 дор с = — — = — — —, У У дх в срзвниваемых потоках будут 2Ф, дрр ср1 ! У, дз 2Фп дЗр с,= — — * —, У д$ откуда следует У,Г„У,с„ Фр Фр Исключая из системы равенств (бб) и (67) отношения Ф,/У, и Фр(У„ПОЛУчим искомые УсловиЯ подобиЯ двУх плоских околозвУковых обтеканий тонких тел '„у~т — ЖТ „ртп — ми,'п~ п,р пим, Ар пи~, ~р 2 ! й (67) (69) Поскольку число М достаточно близко к единице (поток близок к звуковому), оно может быть в числителе аргумента в правой части (69) опущено, а соотношение (69) переписано в форме (70) 1,!1 — МР„)и ) ' Если, кроме того, сравнение производится в потоках с одинаковыин физическими свойствами (одно и то же я), то соотношение подобия (70) еще более упрощается и приобретает форму прп:м' ~ (71) В отличие от ранее рассмотренных условий подобия для до- и сверхзвуковых обтеканий тонких тел, в случае околозвукового обтекания тонкого тела имеется лишь одно соотношение подобия.
Этот факт является следствием нелинейности уравнения (62) относительно потеи- которые с той же условностью, что и раньше, могут быть выражены в ваде общей функциональной зависимости г34 Гл тп!. плоское Безвихпевое дВижение идеАльнОГО ГА3А циала зр: слева тр входит линейно, справа — нелинейно, в виде произве. дения двух производных. Соотношению (69) можно придать и другие формы. Так, например, умножая обе его части на аргумент в правой части, можно освободиться в левой части от относительной толщины т. Сохраняя то же обозначение для функции ), будем иметь (А+1)срМ~1((+1)М~т Если обозначить через Х аргумент в правой части, возведенный в степень ( — з/,), т. е. положить ') "к )1 — М' ! Х=, . (73) — 5) то соотношение (72) можнопосле умножения обеих его ча.
отей на Х переписать в виде с рй+1)Мз ) Л т Iз (76 дд 7)7 78 74 Г( ~! — Мз„( ((и+ ) Мз г! ! (Х) (74) или в упрощенных формах, соответствующих равенствам (70) или (7!). Из равенства (74) следует, что, в отличие от до- и сверх. звуковых потоков, сравнивать околозвуковые потоки можно -г -7 в ! 'Е Р только в том случае, когда отРис. 94 носительные толщины тонких профилей, числа Маха и показатели адиабаты этих потоков связаны условием одинаковости параметра подобия Х в обоих потоках. Согласно формулам с„= — — срйу = — — ( 1) с — йх, с = — ф с йх йу для околозвукового потока будем иметь т!з ) ! — Мз с„= 1, „~ °,А1И, И,*,ч.
(75) ,ч. ( (1 — м'„! ск ((А+ 1) М' )ч У! (ПА+1) ' )ч Убедительной иллюстрацией закона подобия околозвукового обтекания тонких тел могут служить кривые'), показанные на рнс. 94 н ') Л ни ив н Г. В., Роги ко А. Элементы газовой динамики.— Мп ИЛ, 1960, с. 307, ') С п р е й т е р Дж. Аэродинамика крыльев и тел при околозвуковых скоростях.— Сборник переводов «Механика», !960, № 3. зза СУЖАЮШИГЗСЯ СВЕРХЗВУКОВОИ ПОТОК отиосящиеся к продольному обтеканию тонких клиньев с поповичами углов раствора, равными 4,5'; 7,5' и 1О'. На верхней половине рисунка показаны три экспериментальные кривые зависимости коэффициента сопротивления с, от числа М в околозвуковой области, найденные для указанных трех углов раствора. На нижней половине того же рисунка теме кривые нанесены в параметрах подобия (т 1/Ь) ~,1(д+ )) М* 1' | М' — П с„= Ф ~ Х т /а [(д„) 1)М2 т) н Совершенно отчетливо обнаруживается факт объединения трех кривых верхней половины рисунка в одну общую кривую на нижней его части, что н подтверждает правильность выведенного закона подобия околозвукового обтекания тонких тел.
й 62. Сужающийся сверхзвуковой поток. Косой скачок уплотнения Переходя к рассмотрению нелинеаризованных сверхзвуковых течезий, соответствующих общему случаю конечных возмущений потока телами, или течений сквозь сопла, остановимся сначала на двух основанх явлениях: торможения, происходящего в условиях сужения сверх- звукового потоки, и наоборот, ускорения течения при его расширении. Начнем с явления торможения сверхзвукового потока, возникающего, например, при набегзиии аа помещенное в него твердое тело. Простейшим случаем, / / / / / Уг / / / допускающим элементарное расснотрение, может служить симметричное сверхзвуковое обтека- /я еие бесконечного клина с углом ери вершине 20, имеющим неко- — — — Ф терую конечную величину.
По известному свойству идеальных Рис 95 потоков можно заменить нулевую линию тока набегающего на кана потока, направленную в вершину клина О (рис. 95), твердой стенкой и рассмотреть только верхнюю часть потока, которая будет представлять плоское течение внутри тупого угла, равного н — О. Для выяснения общего характера потока обратим движение и расснотрим течение, вызываемое в неподвижном газе движущимся со сверхзвуковой скоростью вдоль своей линии симметрии бесконечным каином.
Такое течение можно уподобить рассмотренному в 9 38 течению, вызываемому в газе толкающим его поршнем. При движении клина его шеки также играют роль поршней, толкающих находящийся перед ними газ и вызывающих в нем образование волн уплотнения, Эти волны, догоняя друг друга, образуют фронт разрыва параметров движущегося газа, который, в отличие от рассмотренного в 9 38 случая ударной волны, параллельной плоскости поршня з перпендикулярной к направлению его движения, будет как-то никло. аенк направлению движения клина (линии его симметрии).
Выясним, в каких условиях возможно образование исходящей нз вершины клина О (рис. 95) плоской головной ударной волны ОС, иначе именуемой косым скачком уплотнения. 2ЗВ ГЛ. оп!. ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА С этой целью аналогично тому, как это делалось в $38 прн расчете прямого скачка уплотнения, применим к произвольной трубке тока, пересекающей косой скачок, три основных закона сохранения: массы, полного импульса н полной энтальпии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
