Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 55
Текст из файла (страница 55)
тнческне выражения для этого отношения: а) прн М, з!и 5»! (- — символ аснмптотнческого равенства) 1 Г (А + !)Ао !о " и= ~'— (М,з!п5) " ' (84) Роо 2А (А — 1) и для изменения энтропии 55 55 Р!о 2 — = — !п — — — !и (М, зш р). Рм А — 1 Заметим, что правая часть в этой формуле всегда положительна, так как (5>а) (85) 1/М! 5оп оо Согласно асимптотической формуле (84) в потоке воздуха (й 1,4) прн М,з!И5»! величина х обратно пропорциональна пятой степени про. изведения М, з!и [); б) прн числах М, з!и 5, близких к единице, х= и=!— р,о 2А [(М ш Дв 1[5 Р„З (А+ !)о (86) [(М, з!и р)5 — 1['.
и 3 (А + 1)5 Как только что указывалось, выражение в квадратной скобке всегда положнтельно. Формулы (86) представляют собой обобщение на случай косого скачка формул (61) н (64) гл. Ч1. Определим связь между углами 5 и 6 прн заданном значении чнсла М, набегающего потока. С этой целью, по-внднмому, проще всего воспользоваться основным соотношением (76), которое, если принять во внимание соотношения З 6Ь СУЖАЮЩИИСЯ СВЕРХЗВУКОЗОИ ПОТОК (11), может быть переписано в форме У15УУ1=Утз(ПВ Узз!П( — 0) =-У',з!Пйсозй(д( — О) = а' = ,5 Ь вЂ” 1 5 =а' — — 1', соз 8; 1+1 й — 1 1+ — М5 Ипз В 2 !а( — 0) в — ! 2 — + + (Й+!) М 5!П5 В в+ ! 2 (88) Это равенство может быть разрешено относительно (д0 и дает 1 юпз  —— (80= ' с(88.
Ь+! , 1 — 51п5 В + 2 М' 1 (89) На рис. 98 приведен график зависимости 0 от В в виде семейства кривых с параметром М,. Как уже ранее было отмечено, каждому за- даявому значению 0(0 со ответствуют два значения В. в Если обозначить через В„ зна- ю чевие В, отвечающее максиму- иу 0 при данном М„то по кри- вим рис. 98 можно заключить, д! ею одно из полученных значе- ввй В будет лежать в интерва- ле (а, В ), где а — угол Маха врк заданном М„другое — в ввтервале (В, и/2). Для опре- л! деления первого значения сзекует пользоваться сплош- выии кривыми, для определе- IЮ вкк второго — штриховыми. Сплошные кривые отделены от штриховых линиеи, проведен- з вой через точки максимальных Рис.
98 значений 0=0 „. Эта двузначность в опредеанни В по заданному значению 0 соответствует сущности явления прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Так же, как в теории савла Лаваля, выбор режима течения за косым скачком зависит от даввваня за скачком. Как это следует из первой формулы системы (82), !Ывьшему В отвечает и ббльшее значение отношения рз)р1 давлений за скачком и перед скачком, а меньшему  — соответственно меньшее отношеаие этих давлений. Припоминая, что рассматриваемое отношение давлений служит верой интенсивности (мощности) скачка, будем называть косые скачка, определяемые верхней областью диаграммы (рис.
98) по значени- отсюда непосредственно получается зависимость между углами 8, 0 и скоростным коэффициентом Э,, (Я В (Я ( — 8) + — ~ соз' В =— (87) Ь+!! 55 1 Заменяя здесь Х, через число Маха М, по формуле (78) гл. Ч, полу- чки гйг гл. чп!. плоское ввзвихрввое двнжвниа идеального гхзд ям л/2>й>~, заданным штриховыми кривыми, сильными, а скачки, соответствующие диапазону углов сх<5<р„, рассчитываемые по нижним сплошным кривым,— слабыми. фронт сильного скачка служит поверхностью (в плоском движении — линией) сильного изменения кинематических, динамических и термодинамических характеристик потока газа, фронт слабого скачка — поверхностью (линией) слабого изменения этих величин.
Оба типа изменений наблюдаются, например, в «отсоединенных» волнах (рис. 99). Выясним условия, при которых поток за косым скачком уплотнения будет до- или сверхзвуковым. Найдем связь между числами Маха М, и М, до и за скачком. Для этого воспользуемся формулой (51) гл. Ч1 для прямого скачка и, следуя общему уже неоднократно примененному приему, произведем в этой формуле замену М, на М, з)п р, а М, на М, э)п(5 — 8). Тогда получим искомую формулу связи 2 1 + М з!Пз р М~ ~з)пз (() — 8) = (90) й — 1 АМ' мпз () —— г Пользуясь этим выражением и соотношением (89), можно выразить число Маха за скачком М, через число Маха до скачка М, и угол 8.
Пра этом при одном и том же М, двум различным значениям 1), соответствующим сильному и слабому скачкам, будут отвечать даа л 8>х отличных друг от друга значения М„причем сильный скачок, подобно прямому скачку, переводит сверхзвуковой поток в дозвуковой, а слабый скачок почти всегда сохра. м-у няет поток сверхзвуковым. Исключением яв. У У„„ляется незначительная по размерам об. ласть диаграммы на рис. 98, граничащая с 0=0,„. Кривой с крестиками на диаграмме отмечено геометрическое место точек, в ко.
торых М,=1. Выше этой кривой М,<1, ниже М,>1. Из диаграммы следует, что при О, близких к О „, и любых М, оба значения 5 могут соответствовать переходу от сверхзвуковой скорости к дозвуковой, т. е. в этой области значений 0 как сильный, так и слабый косые скачки ведут себя как прямые, переводя сверхзвуковой поток в дозвуковой. Следует, однако, заметить, что в этом случае направление сильного скачка отличается от направления слабого скачка менее чем на 10', так что и разница в интенсивности скачков становится малозаметной. Пользование расчетными формулами затруднено, так как они достаточно громоздки.
Существуют подробные таблицы для воздуха (/з= =1,41), связывающие величины М„р, О, М„р,/рь р,/р, и приращение энтропии Аз=за — з, '), но они при интервале чисел М, от 1,05 до 4,00 через 0,05 и сравнительно грубом делении углов О и соответствующих им р занимают 27 страниц только что цитированной книги. В связи с этим можно рекомендовать при не требующих большой точности расчетах пользоваться составленной также для воздуха (й =1,41) несложной номограммой') на с. 244 и 245. В отличие от диаг- Рис.
99 ') Фе р р и А. Аэродинамика сверхзвуковых течений: Пер. с англ.— Мх Гостехиз. дат, 1953. табл. 5, с. 431 — 458. ') Л ив м а н Г. В., Пакет А. Е. Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости.— Мл ИЛ, 1949. пек сужлющинся сВеРхзВукОВОЙ поток раним на рис.
98 в основу этой номограммы положено семейство кривых (1 (М,; 0) с параметром О. Эти кривые показаны на номограмме сплошпиии куполообразными кривыми (если смотреть вдоль оси М,), представляющими двузначную связь 8 и М,. Заметим, что семейство крипых () (М,; 6) построено по уравнению (89) при нескольких значениях 6, рассматриваемого как параметр, и это семейство не следует смеши- пать с семейством кривых на рис. 98, где аргументом является О, а М,— параметром. Пользование номограммой заключается в следующем. По требуеяоиу значению 6, находящемуся на вертикальной шкале справа, выделяем ту кривую семейства р(М,; 8), которая отвечает выбранному зппчению 6.
После этого, задаваясь входящим в число известных величин числом М„находим два СООтнвтствуЮщих ему знаЧЕНиЯ 8. Через каждую из этих двух точек пересечения выбранной кривой 8(М,) с вертпкплью М,=сопз1 проходят по две кривые: одна (сплошная) выводит па правую крайнюю вертикальную шкалу чисел М„вторая (штрихоппп) — на верхнюю горизонтальную шкалу мощности скачка р,/р,. Ебпынему значению О соответствует ббльшая мощность скачка, меньжеяу- меньшее значение мощности р,/р,.
В нижнем левом углу номограммы приведен ключ к номограмме. Вход показан стрелками, направленными от шкал О и М, к точке пересечения кривых, выход — стрелками, направленными от этой точки п шкалам 8, р,/р, и М„на которых можно прочесть ответы. Ключ указан для одного значения 8; он остается тем же и для второго значении . 1 Вложенное справедливо только до тех пор, пока угол поворота потопа (угол полураствора клина) ~0 не превосходит максимально допустимого при данном М, значения 8,„. В интервале 1(М,(4 величина О „меняется от О до 38'47'.
Прн М,-~со 8 „- 45'22'. Как это непосредственно видно из диаграммы на рис. 98, при 0=6 „поток за скачком всегда дозвуковой (лнния 6=6 лежит выше показанной крестиками линии М,=1). Если 6>6 „, то, как уже ранее указывалось, наличие прямолипейпого присоединенного к вершине угла (клина) О косого скачка уплотнения невозможно. Вверх по течению перед точкой О возникает криволинейная «головная» ударная волна или отсоединенный скачок уплотнения АС (рис. 99). В непосредственной близости к точке А отсоединенный скачок АС падет себя как прямой, а при удалении от точки А — сначала как сильамй косой скачок, а затем с уменьшением местного угла 8 постепенно нклабевает» и переходит в прямолинейный косой скачок.
При этом пппз по потоку за отсоединенным скачком имеет место как до-, так и сверхзвуковое течение газа. За участком АВ скачка образуется дозвупоппя зона течения газа, за участком ВС вЂ” сверхзвуковая зона. Эти дпе характерные зоны потока за скачком разделяются линией ВР, пдапь которой скорость газа равна местной скорости звука.
Течение за отсоединенной криволинейной волной является «смешанным», трансаеуковым. Аналитические методы исследования таких потоков представляют до сих пор большие математические трудности, преодолеваеяне только при помощи электронных вычислительных машин '). В отличие от прямолинейного присоединенного скачка поток за отшедпненным криволинейным скачком будет вихревым, а поле энтроппв станет неоднородным. Действительно, по определению, данному 90ь * » /и ь .О.м.в ь. хе в с и о г о.— М.: Над. ВБ АН СССР, 1966; В е л о ц е р к о В с к и П Сс М. Численное иеаеанронаиие н механике сплошных сред.— Мг Наука, 1960, 246 Гл. Уп1. плоскОе Безвнхревое движение идеального глзл еще в (62) гл.
Ч1, изменение энтропии при прохождении газа сквозь скачок определяется равенством ()т' — газовая постоянная) зз-з,=-гс 1п (р„/р„); согласно (83) изменение энтропии будет зависеть от местного значения р, которое меняется вдоль криволинейной волны АС. Наличие в головной отсоединенной волне участков сильных волн (включая центральный участок, близкий к прямому скачку) естественно вызывает мысль о необходимости создания такого «волнолома», ко. торый разрушал бы отошедщую волну и заменял ее системой косых скачков, сопровождающихся, как мы уже знаем, меньшимн потерями механической энергии.
Ргд ' /Ю Рм Рд г ду з ду М, Рнс. 101 Ряс. 100 С этой целью тупой носок тела, или превосходящий допустимый угол раствора клина или конуса, заменяют заостренной, постепенно расширяющейся «иглой», на поверхности которой в сверхзвуковом потоке образуются слабые скачки со сравнительно малыми углами 8. Как это видно из ранее выведенной формулы (83), потери механической энергии благодаря наличию у числа Маха М, множителя з)п 8 при этом будут снижаться. На рис. 100 показан вход в камеру реактивного двигатели с «иглой», разбивающей головную волну на косые конические (см.
далее $ 82) скачки. Напомним, что той же цели служил сверхзвуковой диф. фузор, теория которого была изложена в 5 41, Такого рода «игла», имеющая целью уменьшить входные потери механической энергии, носит наименование иглы Осаатича по имени немецкого ученого, впервые в 1944 г. опубликовавшего ') подробное исследование зависимости отношения полных давлений в набегающем потоке и на входе в камеру реактивного двигателя после прохождения потоком системы косых скачков (на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
