Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 58
Текст из файла (страница 58)
2!. ответствующей абсолютно неупругому удару частиц газа о нижнюю по. верхность пластинки со скоростью, равной нормальной компоненте оке. рости набегающего потока (касательная компонента скорости сохра- няется), Ем. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 757 аотенпиала по координате; с(г= (с(ф+ с с" с(ср гсе се (115) )У Совершим переход в плоскость годографа (У, 6).
С этой целью примем в равенстве (115) переменные х, у (а следовательно, и г), а тгкже ф и ср за функции новых переменных У и 6; тогда равенство (1!5) перейдет в следующее: л дз ~дУ дО р (дУ дВ ))У = — ~ — + с — — ) е сй/ + — сЛ вЂ” + с — — ) е ес!6. ! Сдф .РодфТ се ! /дф .РодфТ У чдУ р дУ) У 'Адо р дО) Срезанная в этом равенстве коэффициенты при дифференциалах незазисяиых переменных, получим — — — + с' — — г'е — = — — + с — — е" (116) дг ! Сдф Ро дфоп дг 1 Сдф .Родф! дУ У ЛдУ Р дУ) до У ~,дО Р дО) Входящее сюда отношение р,/р является функцией скорости У или скоростного коэффициента Л.
Действительно, по известной изэнтропической формуле 1 (117) Чтобы исключить из системы уравнений (!16) независимую перевозную г, продифференцируем первое уравнение системы по 6, второе-по У и результаты вычтем друг из друга; тогда в силу очевидаего соотношения Р"г д'г дВ д!' ОУ до подучим равенство -~ — + с — ) е + — сгс — — ес Ро Р'ф ' се ! едф Ро ! едф У дздУ Р дО д!') У дУ р У дУ вЂ” + с' — ' — ) есе — гсе ! сесе ро д'ф ' ! . др с,! с ! Р91дф У ЛдУдВ р дУ дО) Уг дО сСУ ~У р ) дО (118) 1 (, Л тогда система (1!8) примет следующую форму: дф Л дф дср дО дЛ ' дЛ (119) Л(! ЦЛ)'' ( А — ! 1)е 1 9-9491 шторое после сокращений и сравнения действительных и мнимых частей приведет к системе уравнений дф сс /! Ро)дф ! дф Ро дф УдУ дУ9,У р)дО У дВ рдУ Перейдем от величины У к скоростному коэффициенту Х и вычислим ероазводиую в правой части первого уравнения системы (118) 258 ГЛ.
ЧШ. ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРВВОВ Дннжнинн ИДЕ»ЛЬНОГО ГАЗА Вводя вместо )ь переменную т, т=:)ь = — ~~, ('азах=у 2йа= рl оо= 1г аз а+ 1 )гяах получим систему уравнений Чаплыгина »+1 1 — — т дф 1 й — 1 дф дф 2т дф (120) дт 2т дО дО ' дт (1 т)~-з (1 — т)Я ' Перекрестным дифференцированием и вычитанием можно полу. чнть раздельные уравнения для ф и тр, причем эти уравнения будут ля- нейныии уравнениями второго порядка в частных производных. Таи, например, уравнение для функции тока тр будет иметь вид »+1 1 — — т — ~2т(1 — т) — ~ + д г »-.1дф ч й — 1 дзф — =О. дт 1 дт ~ » дОа 2т(1 — т)» з Остановимся на случае дозвукового течения (й(1). Заменяя в уравнении (119) Х на новую переменную 3, связанную в случае дозву- кового течения с Х дифференциальным соотношением (122) й — 1 Х 1 —— а+1 приведем систему (119) к форме — )У"К дгр дф дО да (12!) (123) где величина К представляет следующую функцию )ь: К= 1 — )ьа »+1 (124) ( А' — 1 )»' Выведенные Чаплыгиным уравнения (120) и (121) были приведены к различным, так называемым каноническим формам Л.
С. Лейбензоном '), Н. А. Слезкиным ') и С. А. Христиановнчем '). ') Л ей бе н з о н Л. С. О теории движения газов.— ДАН СССР, 1935, № 9. ') Слезкин Н. А. К вопросу о плоском движении газа.— Труды Московского гос. ун-та, 1935, а также ДАН СССР, 1936, нов. сер., т. 3, № 9.
т) Х р и с т и а н о а и ч С. А. Обтекание тела газом при бал»игах дозвуковых скоростях — Труды ЦАГИ, 1940, вып. 431, а танже Хр исти анович С. А., Юрьев И. М, Обтекание крылоного профиля при докритичесной скорости потока.— Прикл. мат, н мех., 1947, т 11, вып. 1. 6 66. Влияние сжимаемостн иа распределение скоростей и давлений в плоском дозвуковом потоке Важное практическое значение задачи об учете влияния сжимаемо. стн или, иначе говоря, числа М набегающего дозвукового потока на распределение давления по поверхности крылового профиля и на его подъемную силу вызвало появление ряда приближенных приемов этого учета.
1 оо. Влияние сжимлемости нА РАспРеделение дАВлении 259 Правило Прандтля — Глаузрта, как уже было указано ранее, прнгпиио лишь в случае тонких, слабо изогнутых профилей, расположенинх под малым углом атаки в потоке со сравнительно малыми значеииини числа М . Излагаемые в настоящем параграфе приемы позвоииют вводить поправку на сжнмаемость для более толстых н изогнутых профилей прн ббльших углах атаки н диапазонах чисел М„. Функция )тп(Л), входящая в систему уравнений (123), прн значениях Л, не сиишком близко подходяших к единице, мало отличается от единицы, иаи об этом можно заключить нз табл. 8, составленной для воздуха (1 1,41).
Таблица 8 '0 ~ 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 1, 0000 1.0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9991 0,9982 0,3228 0,3701 0,4179 0,4663 0,5152 0,5649 0,6154 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,2294 0,2759 0,9965 0,9940 0,9899 0,9840 0,9754 0,9632 0,9461 0,6668 0,7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1,0000 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 0,9221 0,8925 0,8416 0,7740 0,6788 0,5092 0 Тим же для сравнения приводится зависимость 'рц от М, аналнтически выражаемая легко выводимой из (124) формулой (125) Тии, например, прн Л=0,65 (М=0,615) величина »К только на 5оио отлнчается от единицы. Заменив в системе (123) приближенно т»К на едниицу, получим в плоскости (з, 6) систему равенств дю дф дтр дф дв до до д6 ' (! 26) ииалогнчную точным условиям Коши — Римана (далее индекс 0 прн ииличиие означает, что она относится к потоку несжимаемой жидкости) дно доро дцоо дфо (127) дОо доо доо дво и плоскости (зо, 8,), причем, согласно определению (122), принятому при введении функции и, в случае очень малых Л, будет ~по — ° (128) Совпадение приближенных равенств (126) в плоскости (в, 8) с точиымн условиями (127) в плоскости (3„6,) еще ничего не говорит о сиизи между сжимаемым и несжимаемым потоками, так как граничине условия в плоскостях В„О, н 3, 6 отличны друг от друга.
Ввиду этого становится невозможным непосредственное получеиие универсальных (т. е. пригодных для всевозможных типов дозвуипинх течений) «пересчетных» формул. Для пояснения высказанного »тиерждения рассмотрим два простейших течения — от вихря н от нсточиика,— для которых имеются точные решения.
Можно показать, что в случае вихря (прн одинаковой циркуляции ») распределения скоростей в потоках газа н несжимаемой жидкости ничем не различаются, н, следовательно, Л, Л. гбО ГЛ. У!Н. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В случае источника (при одинаковом массовом расходе Я) в пото- ке газа Я 2ИГЛавр(Л), а в несжимаемой жидкости Я 2ИЮ,аер„где р,— постоянная плотность несжимаемой жидкости (ее можно принять, например, равной плотности в изэнтропически заторможенном газе р(О)). Таким образом, для этого потока имеем уже иную зависимость между Л и Л,: Л» 'Лр(Л)/ра» которая, вероятно, соответствует наибольшей из возможных поправок на сжимаемость').
Обе зависимости приведены на рис. 106 (прямая 1 — для вихря, кривая 2 — для источника), 0,0 0,2 0,0 Я 0 0,2 0,С 0,0 Рис. 106 Существуют различные приближенные методы учета сжимаемо. сти, точность и границы применимости которых можно оценить только путем сравнения с экспериментом. Рассмотрим ниже некоторые из этик методов. Отвлечемся от разницы между с(з [формула (122)] и с(зе [формула (!28)] н положим г!з = Лв 0Л ЛЛ, »»Зв — л 1 — — Лв А+1 (129) Проинтегрируем это обыкновенное уравнение первого порядка, связы. вающее Л и Л„а постоянную интегрирования найдем из условия совпа.
дения скоростных полей при предельном переходе к несжимаемой жидкости 1пп — = 1. л !. оЛ» (180) ') Эти примеры, дающие верхнюю и нижнюю границы поправок нв сжимвемость, были любезно указаны автору Г. Ю. Степановым. 5 ее. Влияние сжнмАемостн нА РАспРеделение дАВлении 261 Интегрирование приведет нас к некоторой, не зависящей ни от формы профилей, ни от характера их обтекания, приближенной связи иежду Л и Л„которую ввиду громоздкости аналитического выражения представим кривой 3 (рис.
106) и табл. 9. Имея эту связь, нетрудно получить зависимость коэффициента давления с в газе от коэффициента са, в несжимаемой жидкости. Таблица 9 По известным изэитропическим соотношениям й — 1 ал 5+1 Л.4-1 1:Лл ) 1 в л г й — 1 А+1 а' 1 —:1 А+1 найдем при наличии сжимаемости л — 1 1 — — Ла а+1 р-р 2р с= — = Р р р~ Р,.Р„' 2 1 — — Ле Л вЂ” 1 5+1 А 1 — — Ла 5+1 л — 1 1 — — Ле 5+1 л+! — 1 . (131) 1 — — Л' А+1 Присоединяя сюда равенство, соответствующее несжимаемой жидкости, с„= 1 — ( — ') (132) и соотношение между Л и Л„представленное табл. 9, будем рассматривать совокупность формул (131) и (!32) как параметрическую связь иежду с и с„через параметр Л.
В этом заключается приближенный способ учета сжимаемости по С. А. Христнановичу. При выбранном числе М„находим Л, а, следовательно, по табл. 9 и Л, „„после чего, задаваясь различными значениями Л, и определяя соответствующие Л, получим по формулам (131) и (132) искомую связь между с и с,. Иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
