Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 59
Текст из файла (страница 59)
!07 и 108 приводятся сетки кривых '), выражающих эту связь при различных числах М отдельно для положительных и отрн- г) Пол адский В. С. Расчет распределения давления при больших скоростях полета.— Над. Бюро новой техники НКАП, !943; там же см. таблицы пересчета и уяаллаае поправок по более точному приблггженинг. о 0,05 5,10 0,15 О',20 0,25 5,50 0 0,0457 0,0913 0,1372 0,1832 0,2294 0,2759 0 0,0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,3228 0,3701 0,41!9 0,4663 0,5152 0,5649 О,6154 0,3410 0,3862 0,4307 0,4734 0,5144 0,5535 0,5904 0,70 0,75 0,80 0,85 О,90 0,95 1,'00 0,6668 0',7192 0,7727 0,8274 0,8834 0,9409 1,'ОООО 0,6251 0,6568 0,6857 0,7110 0,7324 0,7483 0,7577 2О2 Гл. уп!. плОскОе БезВихРеВОе дВижение идеАльнОГО ГАЭА тлательных с,.
Штриховая линия Л=0,85 на рнс. 108 показывает предел применимости метода; прн ббльшнх Л результаты получаются неудовлетворнтельнымн; отрезками кривых справа от этой линии пользоваться нельзя. К числу недостатков изложенного приближенного приема относит. ся отсутствие явной зависимости между с, н с„н вытекающая отснь да необходимость использования приведенных сеток кривых. Этот 7,0 ила 0,7 0,6 0,5 0,1 и,! и пп пг п,у па п,у 860,7 пл пд 70 Рис..107 недостаток можно устранить, если применять метод, предложенный впервые С. А. Чаплыгиным' ). Обратимся вновь к уравнениям (!18), приняв в ннх в качестве аргументов Л= У/а* и 8: дэ „и /! Ра Лдф др Ра дф — =Л вЂ” —. дЛ дЛ (, Л р ) дб дб р дЛ Аналогичные уравнения для несжимаемой (р р,) жидкости будут иметь в прежних обозначениях внд д!Ро а! / 1 Л дэо дп>а папа дЛо ЫЛо Ло дб, дб, дЛ а ( ) а — о Приближенный метод С.
А. Чаплыгина заключается в сведении урав. пеняй движения сжимаемого газа к уравнениям движения несжнмае. Ф мой жидкости путем замены переменной Л некоторой ее функцией Л(Л), Как будет ясно нз дальнейшего, такое преобразование эквивалентно использованию вместо действительной зависимости р(Л)/р, некоторой приближенной. Уравнение движения сжимаемого газа после этой замены приведется к виду дв д / 1 Ра Л дар дар Ра аГЛ д!р — =Л вЂ” — —.
дЛ дЛ Л Р дэ дэ Р "Л дЛ ') Ч а пи ы ги н С. А. С! газовых струях.— Ученые записки Москоиакого универсе. чета. Отд. фаз. мат. наук, 1904, вып. 21. г64 ГЛ. ЧП!. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Будем считать гр=~р„тр=ф, при одинаковых (Л Л„0 О,) значеинях аргументов, потребовав совпадения соответствующнх днффереецнальных уравнений. Для этого должны выполняться равенства Данная система обыкновенных дифференциальных уравнений определяет зависимости Л(Л,) н р(Л,)/р.
Принимая во внимание условие совпадения Л н Л, при малых скоростях [1пп(Л/Л,) 1], получим решения А О ! — СЛО, ре ! + СЛО )' 1 + 4СЛ' где С вЂ” постоянная интегрирования. Как видно, получившаяся для гипотетического «газа Чаплыгина» зависимость плотности от скоростного коэффициента Р =(1+ 4СЛО) "=1 — 2СЛа+ 0(ЛО) РО отличается от известной зависимости для аднабатнческого движения 1 — '= /1 — й=!Л') =1 — — 'Л + О Р;).
рО 1 й+1 / й+! Выбором постоянной С можно воспользоваться для наилучшего приближения к действительной зависимости р(Л)/р,. Так, полагая 2С =1/(А+1), С=0,2083 [й 1,4; кривая 4 на рнс. 106], имеем погрешность аппроксимации порядка Л'. Как показывают расчеты, для С 0,2и9б (крнвая б на том же рисунке) максимальная относительная погрешность прн Л(0,95 не превышает 2О!Ь '). Использование тех нлн иных зависимостей р(Л)/р, соответствует замене действительной аднабаты Пуассона аппроксимирующими ее различными простыми кривыми нлн прямыми').
Так, Карман н Чень'), используя прямолинейную аднабату, предложили простую приближенную аналитическую формулу связи св н с,: с с РО РО с )/! — М*„+! р! — М'„+ — (! — и 1 М О)РРО 3 1+~7 — М'„ (133) не заключающую в своем составе показателя аднабаты й. Прн малых М„формула (133) переходит в формулу Прандтля— Глауэрта РО )/ ! — М„' ') С т е и а н о в Г. Ю. Гндродннаиика решеток турбомашин.— Мл Физматгнз, 1962, с. 197. ') Детальное наложение такого рода методов можно найти в монографии; Дом 6. р о в с к и й Г.
А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа.— Мл Наука, 1964. ') К а гща п ТЬ. ч. Сошргезз)Ь~!11у енес1з 1п аегобупащ)сз.— уонгп. Аегоп. Зс1.. зн!у !941. ч. 3; Тз! еп Н. Я. Тжоиншепыопа! знЬзоп!с 1!оте о1 сошргезз!Ые пныв.3опгп. Аегоп. Зс)., Апяпз! 1939, ч. 6 (см. 4-е нзд. настоящего учебника, с. 303 — 307).
1 ее. влиянии сжимлпмости на распределение давлении 205 В отличие от последней формула (133), содержащая в знаменателе гаь не позволяет установить простое соотношение между с„и с„„ вычисление с„приходится проводить интегрированием пересчитанного распределения давления в каждом отдельном случае. формула Кармана — Ченя удобна для вычислений и, как показывает сравнение с опытами, дает удовлетворительную оценку влияния скхкаемости (чнсла М„) иа коэффициент давления сае при обтекании гого же профиля несжимаемой жидкостью даже при достаточно больших, ио, конечно, меньших единицы значениях чисел Маха. На рис. 109 приведено для иллюстрации сравнение с опытом результатов расчета коэффициента давления с в точке, находящейся на расстоянии 30то хорды от носика, при угле атаки а= — 2' и при различных значениях числа М для верхней поверхности крылового профиля !ЧАСА 4412.
-I г ср †!5 г)~ г!4 йд йд м„' Рис. 109 Рис. 110 Если отнести верхнюю экспериментальную точку при М„0,6 к чкслу вмпадаюших, то можно заметить, что кривая, составленная по рормуле Кармана — Чена, хорошо соответствует опытным точкам. Влияние сжимаемостн при дозвуковом обтекании профилей проккккется в возрастании разрежений на верхней поверхности профиля— факт, который уже был отмечен при изложении теории малых возмущений Прандтля — Глауэрта. На рис. 110 показаны полученные экспериментально распределения давления по верхней поверхности некоторого крылового профиля при различных числах М„набегающего потока, Можно заметить, что с возрастанием числа М„от значения 0,4 до 0,53 пнк разрежения возрос почти вдвое. Формулу, близкую по структуре к формуле Кармана — Ченя, можно еще получить из простых, не связанных с.
теорией Чаплыгина соображений, если, согласно Лэйтону '), предположить, что коэффициент казлення в данной точке сжимаемого дозвукового потока может быть выражен через соответствуюший коэффициент давления в несжимаеяои потоке по формуле Прандтля — Глауэрта, в которой только под числом М следует подразумевать местное, переменное от точки к точке число М. г) ьа!1опе Е. гг'.
!Чеег согпргеаа!Ы1!1у соггес1!оп !ог ггео-г!!пгепа!опа1 апьаоп!с бее.-допгп Аегоп. 5с1, 1951, и. 18, № 5, р. 350. 288 гл. уш. плосков ввзвнхрввов двпжвнив идеального гдзд На самом деле в дозвуковом потоке, описываемом дифференциаль. ными уравнениями в частных производных эллиптического типа, влияние сжимаемости не сводится к местному, характеризуемому числом М в данной точке, а требует учета влияния сжимаемости на поток в це. лом.
В этом заключается приближенность допущения Лэйтона. Согласно этому допущению коэффициенты давления в соответствующих точках связаны формулой с )т! Мз (!34) Исключим М, пользуясь изэнтропическим соотношением Ф й †! 1+ — М' 2 Р— Р 2ЄР— Р„ с — ! . (!35) Ры ФМ~~ Р р !/з Рс 1 1гз 2 А — 1 1+ — М' 2 Отсюда, находя М' и разлагая полученное для него выражение в ряд лМ' по степеням малой величины — с, будем иметь Подставляя в (!34), получим формулу Лэйтона ро ()3Е) ~( 2 ~у 2 (/ 1 — М' заключающую, так же как и формула Кармана — Чена, поправочные слагаемые в знаменателе в формуле Прандтля — Глауэрта.
Сравнение формул Лэйтона и Кармана — Ченя показывает, что при приближении М к единице поправка Лэйтона возрастает значительно быстрее, чем поправка в формуле Кармана — Ченя. При относительно небольших са н не слишком близких к единице значениях М формула Лэйтона дает лучшее совпадение с опытом, чем формула Прандтля — Глауэрта, и близка к формуле Кармана — Ченя. Все изложенные только что упрощенные методы расчета не были связаны с определением .полного решения задачи о дозвуковом обтекании, в частности с влиянием сжимаемостн на присоединенную циркуляцию, обеспечивающую плавный сход газового потока с задней острой кромки крылового профиля '). Заметим, что в настоящее время есть возможность точного численного расчета распределения скоростей и давлений при обтекании тел газом с любыми скоростями').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
