Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В этом приближении будем иметь (а'„— (l' ) — + а' — = О, — — — = О, дх ду ' ду дх яли,деля обе части первого равенства на а„', дх ду ду дх (10) Представим потенциал скоростей су и функцию тока ф возмущенного даажения в виде сумм потенциала скоростей ~р„и функции тока ф„однородного движения и соответствующих потенциала ~р и функции тока ~) яалых возмущений, произведенных тонким телом в однородном потоке я=у +у, ф=ф +ф. (1 1) Подставляя эти выражения в равенства (5) и (6), произведем в них ляяеаризацию, отбрасывая малые высших порядков. Будем иметь дЧ ду др„в-„ (/ +и= — "+ —, о= — + —, дх дх ' ду ду 216 ГЛ. ЧП1.
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА (р + р) (У„+ и) = р 1 — + — 11, ду ду / I д!Рсэ д1Р ! (Р-+ Р) = — Р-. 11 — "+ — 1 дх дх / Сравнение конечных (малых нулевого порядка) величин сразу дает ,р =У х, ф„=У„у, (12) а сравнение малых величин первого порядка приводит к системе ра. венств д!р и= —, дх дФ РУ + р„и =р ду ' др ду д!Р В= — —. дх (13) (14) В левой части первого нз равенств (14) выразим возмущение плотности Р через возмущение скорости й, воспользовавшись для этого уравнением (29) гл. Ч, переписанным в форме (р,=р„, р,=р, йр /р =а„.
сопз1= = У'„!2) Произведем в этом равенстве принятую ранее линеаризацию. Перепишем его сначала в виде 2 +а! 1+р 1 2 ° а затем, после простых преобразований н пренебрежения малыми высшего порядка, получим У и+ — Р=О. Р~ Возвращаясь к (14), найдем, ысключая р, 1 д!У д$ — В= —— 1 — М' ду дх Подставляя значения й, П нз (13) в первое из уравнений (10), получим основное лннеарнзованное уравнение для определения потенциала скоростей возмущений 1р (1 — М ) — + — =-О.
д1!Р д1!Р дк! дуВ (10) (17) Взяв значения й, р нз (15) н подставляя нх во второе уравнение системы (10), найдем аналогичное линеарнзованное уравнение для определения функции тока возмущений 1р (1 — М ) — + — =,О. дьр д'% дхВ дух Для решения задач обтекания тонкого крыла можно в одинаковой степени пользоваться как уравнением (16), так н (17). Разница будет в граничных условиях на контуре обтекаемого газом профиля. 1 8К ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ЛИНЕАРИЗАПИЯ 217 Условие непроницаемости контура можно задать в двух различных формах: либо равенством нулю нормальной к поверхности составляющей скорости потока, либо равенством нулю функции тока, если поверхность профиля рассматривается как нулевая линия тока. Зададим контур профиля, расположенного в окрестности отрезка аЬ оси Ох, уравнением (а и Ь вЂ” абсциссы передней и задней кромок профиля) у=й(х), а(х<Ь, так что угол О касательной с осью х определяется равенствами 18 Е В й'(х).
Условие непроницаемости контура профиля в первой из упомянутых только что форм будет у =У +У =0 при у=й(х), а(х(Ь, кли, с той же степенью приближения, о= — Ч =-У й'(х) при у=й(х), а(х(Ь. д~р дУ Вторая форма условия непроницаемости, согласно (1! ) и (12), будет ф=ф„+Ф=У„у+ ф=О при у=й(х), а(х(Ь, клн ф= — У„й(х) при у=й(х), а(х(Ь. Так же, как это уже было сделано в $55, в принятой степени приближения будем требовать выполнения только что выведенных условий непроницаемости не на самом контуре, а на отрезке оси Ох между х=а и х Ь, причем будем различать верхнюю и нижнюю стороны этого отрезка,полагая для этого условно у= .+О.
Таким образом, для уравнения (16) будем иметь граничное условие — к=У й'(х) при у=~О, а(х(Ь, (18) ду 8 для уравнения (17) ф = — У„й(х) при у= ~0, а(х(Ь. (19) Что касается граничного условия на бесконечном удалении от профиля, то оно очень просто формулируется для дозвукового движения (М <1) и сводится к убыванию возмущений до нуля при удалении от контура профиля: <р- О, ф — 0 при Т/х8+у'- оо, Для сверхзвукового обтекания (М ) !) это условие, как вскоре будет выяснено, не удовлетворяется. В заключение параграфа составим необходимое для вычисления Аввления потока на поверхности тела выражение коэффициента давления е„сохранив для него то же определение (46) гл, у'11, что и в случае несжимаемой жидкости, но подчеркнув выбор в качестве характерного зкачения величины плотности на бесконечности р=р„, так что со= 1 (20) — р Р Пользуясь той из изэнтропических формул (87) гл.
у", которая относится к давлениям, и полагая в ней р,=р, р,=р„, М,=М, М,=М, 218 Гл. чнь плОскОе везвихРеВОе движение идеАльнОГО ГАЕА преобразуем выражение (20) коэффициента давления с, к виду 2Р ГР ~ 2А(Р.'Р ) или, производя замену й(р /р ) на а' и Г'„/а„на М„, (2!) Это выражение коэффициента давления является общим, не связанным с допущением о малости возмущений. В случае малых возмущений совершим над уравнением (28) гл. т/ линеаризацию, аналогичную только что проведенной над уравнением (29) той же главы. Тогда найдем р= — р(/й, после чего для коэффициента давления с„получим искомое приближенное выражение, справедливое лишь в случае малых возмущений: 2Р 2и ср —— — — — —. р„й„и (22) 9 59.
Дозвуковое обтекание тонкого профиля. Правило Прандтля — Глауэрта Контур профиля, помещенного в поток, зададим уравнениями верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) частей контура у,=И(х), у, й(х), а(х(Ь, которые для краткости будем обозначать так: у=6,л(х), а<х(Ь. Будем пользоваться уравнением функции тока (17) н соответственно граничными условиями (19).
Введя обозначение в*=! — М'„-, придем Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений представляют собой линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеарнзованной постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение газа дозвуковым (М„<1) или сверхзвуковьгм (М„)!), уравнения (16) и (17) будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу.
В первом случае (М <1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (М„) !) переписать в виде (М вЂ” 1) — — — = О, (М вЂ” 1) — — — = О. 2 дрф дф 2 д'ф дф (23) дкР дук ' дкР дур Наличие отрицательного знака в гиперболических уравнениях соот. ветствует особому, как уже было показано в 932 гл. Ч, волковому харак. теру процессов сверхзвукового течения газа. 219 4 59. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ кследующей краевой задаче: доЧ' ! дояо — '+ — — =О; дхо со о дуо Ч= — и„й, (х) при у=~О, О на бесконечности. а(х(Ь, (24) Перейдем от координат х и у к новым координатам $ и т), произве- дя аффинное преобразование (деформацию ординат) ') е = х, т) = а!у.
(25) Тогда краевая задача (24), поскольку в граничных условиях использу- ются лишь нулевые и бесконечно большие значения у, сведется к такой: — + — =О, де д% д,"о дяо оР= — У й,л($) при т)=~О, а $(Ь, ту- О на бесконечности. (26) Сопоставим эту задачу с задачей (24), в которой предварительно поло- нин М =О, от = 1, что будет соответствовать обтеканию того же самого тонкого профиля несжимаемой жидкостью (отметим это индексом О прн 9), Будем иметь — + — =О, до"Ро до99 да' дуо тР = — (У й,о(х) при у=+ О, а(х(Ь, (27) О на бесконечности.
Сравнивая (26) и (27), сделаем заключение о тождественности решений этах уравнений, выраженных соответственно в переменных $, т) и х, у, так что доу ддоуо до) ду тр ( 91) ф~ (» у) д$ дх (28) (15) и преобразованиями Пользуясь этими тождествами, равенствами (25), получим 1 дЧо 1 дор дЧ 1 И вЂ”вЂ” ! — М„' ду ! — Мо дЧ ду "о ~/ Мо ду Т/! Мо (29) дЧо део — "оо д"; дх после чего на основании формулы (22) получим следующую связь между коэффициентами давления са в линеаризованном дозвуковом потоке газа (М (1) и с„в несжимаемой жидкости (М„=О); со= (30) Полученное соотношение выражает следующее правило Прандтля — !Лауэрта: распределение коэффициента давления в плоском беэви- ') Р г а и д !! С ОЬег З!гогпппяеп дегеп ОеосЬ5ч!пд!ЕКе!!еп пп! дег зсьа1!Ееосьто!пд1- Кей оегя!е!сЬЬаг Мпд.— зспгп.
Аегоп. Вео. 1па!., ТоКуе, 1930, У. 88, р. 14; О!а не г1 Н. Ье енес! о1 согпргеоа!Ы!Иу оп !Ье И1 оп а!г!о!!.— Ргосеед. огпу. Зос. А., 1928, т. 118; Седов Л. И. Плоские задача гнароаннаннкн.— Мс Наука, 1980. 220 ГЛ. ЧИЕ ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА хревом линеариэованном дозвуковом потоке газа при данном значении М„<1 может быть получено из соответствующего распределения в пото- ке несжимаемой жидкости, если все ординаты этого распределения увеут р — м'„р Вспоминая ($54 гл.
ЧП), что подъемная сила профиля 1ч„н коэффи- циент подъемной силы с„определяются по формулам ргу = — Й рпуг( з = — р„У' !~ с дх, 2 ру с дх, х=х®, У вЂ” р иь Ь.! 2 где Ь вЂ” хорда профиля, заключим, что для профиля с одним н тем же контуром в потоках газа и несжимаемой жидкости для коэффициентов подъемной силы с„н с„, справедливо соотношение СУ си= У ~/à — м„' (31) аналогичное (30). Результаты экспериментов показывают, что интегральная формула (31) справедлива в несколько более широком интервале чисел М < 1, чем локальная формула (30).
На рис. 88 приводятся для сравнения результаты опытного определения с„тонкого (относительная толщина 3 с СУУ 2 $4 Цх 4В 47 йВ ВЯ 10 м„ Рис. 88 6,5%), мало изогнутого винтового профиля при двух углах атаки 2' и 4'. Можно заметить, что прн угле атаки 4' экспериментальная кривая (штрихи с кружками) уклоняется от теоретической (сплошная линия) кривой (31) ранее, чем при угле атаки 2' (штрихи с крестиками). Представляет интерес тот факт, что чем больше возмущение потока, в данном случае чем больше угол атаки, тем меньше интервал чисел М, в котором сохраняет свою силу линеаризованная теория.
Изложенная в настоящем параграфе теория не дает количественного объяснения этого важного факта. В дальнейшем будут приведены более общие соображения о связи между линеаризованными обтеканиями тел в дозвуковом течении газа и потоке несжимаемой жидкости, которые теоретически подтвердят только что отмеченный факт. Правило Прандтля — Глауэрта служит только для пересчета уже заранее определенных с„ и с„, в несжимаемой жидкости (например, по методу теории тонкого крыла, изложенному в $55) на их значения при заданном числе М <1 в дозвуковом газовом потоке. $ 60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
