Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 47
Текст из файла (страница 47)
И. Плоские задачи тидродинамики и аэродинамики.— Мл Гостехиздат, 1950, с. 46 — 64; К и бель И, А., Кочин Н. Е., Розе Н. В. Теоретическав гнд. ромеханика. Ч. 1.— М.: Физматгнз, 1963, с. 297 — 32!. ') См. Во этому поводу замечание в $52. а на нижней — знак минус, так что Ы)= — — [и ($ — О) — 1о'(9, — О)[ = ! 1т.х [и'($, — О) — !о'($, — О)[, ч/В+с /с+ $ $ — с с — В Составляя интеграл (99), убедимся, что интегралы по малым ок. ружностям с центрами в точках А и В при стремлении радиусов этих окружностей к нулю также стремятся,к нулю, а интеграл Коши (99) сводится к разности определенных интегралов в пределах ( — с, с), вы. числяемых в положительном направлении оси Ох по верхней и нижней сторонам разреза АВ.
По основному свойству вихревого слоя, расположенного в этом общем случае вдоль дужки, или, с ошибкой второго порядка малости, по разрезу АВ, будут выполняться условия (97), так что в разности интегралов слагаемые, содержащие иаЦ, +О) и иа($, — О), 203 5 55, ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ При 6 =0 предыдущая формула приводится к виду з, ()Г ((! + 2<6 ) полагая здесь г= <-с, получим )7 (~ с) = ! )Г ( (1 ~ < 2 (106) с ) Замечая, что тангенс или синус малого угла наклона касательной к дужке в точках (х=~с, у=О) равен т26/с, а косинус — единице, заключим, что в рассматриваемом случае векторы скорости на кромках направлены по касательным к дужке в этих точках. Иными словами, при 6„=0 передняя кромка является точкой плавного, или, как говорят, безударного входа жидкости на дужку, а задняя — плавного схода (рас.
79). Подъемная сила, в этом случае равная ()7„)5 =5=2пр(Ъ' )~6= 4ярс))Г (~ —, (107) аропорцнональна относительной вогнутости дужки, На рис. 79 совмещены картины обтекания параболической дужки ара трех различных, наиболее характерных направлениях набегающего потока, причем, чтобы избежать излишнего загромождения рисунка, показаны лишь нулевые линии токов для каждого из трех потоков. Штрихами показаны направления касательных к дужке в передней и задней кромках. Направления набегающих потоков вдалеке от дужки представлены векторами скоростей на бесконечности: )Г„, Р'„и Р"„. и« з< <з< Согласно принятому при выводе равенства (105) условию для всех трех потоков наложенные циркуляции подобраны так, чтобы задняя кромка В была точкой конечной скорости и плавного схода потока. 3 втой точке В, как это видно из рисунка, все три нулевые линии тока (!), (2) и (3) имеют общую точку схода В и общую касательную, показанную штрихами и совпадающую с касательной к дужке в задней кромке В.
Положения точек разветвления потока вблизи передней кромки А, ааоборот, резко различаются. Плавный, безударный вход потока на переднюю кромку с конечной скоростью, определяемой по (106), образуется лишь при направлении набегающего потока по вектору скорости иа бесконечности У'м, т. е.
параллельному хорде дужки АВ по оси Ох. Зто направление естественно назвать направлением безударного натеквния. При бесцнркуляционном натеканин, соответствующем вектору скорости на бесконечности Р'"', так же как и при натекании в направлении касательной к дужке в передней кромке со скоростью на бесконечности У<„'~, скорость в точке А будет бесконечно большой, вход на дужку в передйей кромке не будет безударным. Изложенные обстоятельства, имеющие, строго говоря, отношение лаюь к рассмотренным симметричным относительно оси Оу параболическим дужкам, в той или другой степени приближения оправдываются а зля дужек другой формы. Более того, как показывают точные расчеты 5 опытные материалы, указанные свойства обтекания дужки оказываются качественно справедливыми и для профилей малых конечных толщаи н кривизн.
В этом случае под безударным обтеканием следует условно понимать такое, при котором вблизи носка профиля не образуется резких пиков разрежения, соответствующих большим местным скоростям на лобовой поверхности профиля. Для определения направления ззбегающего потока, соответствующего этому условному безударному гл.
юь ввзвихгнвые движания идкгльнои сгвды обтеканию, необходимо в каждом отдельном случае провести ряд аналитических расчетов обтекания рассматриваемого профиля. Углы атаки при этих расчетах можно выбирать из соображений малого их отлн. чня от угла атаки, отвечающего безударному обтеканию «скелета» профиля. й 56. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке Под плоской решеткой профилей (рис. 80) понимают бесконеч. ную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом длину г в направлении, определяющем ось решетки.
Угол 8 между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол 8' — углом установки профиля. Вектор Г, равный по "«=уг-5~ Ркс. 80 Рис 81 длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом. В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но н поворачивает поток. Обозначим (рис. 81) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через У„ давление — через р„ соответственно вектор скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой в через У» и р;, плотность повсюду одинакова и равна р.
Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки а„ а., параллельные осн решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через »г главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь (р,— р»)1+р($ 7,) )г,— р(1 У») У,— Я=О, (108) Величины 1 1Г,=г У» представляют собой равные между собой секунд- $ Ы.
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОИ СИЛЕ ПРОФИЛЯ В РЕШЕТКЕ 205 иые объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а — )т есть главный вектор сил давления профиля на поток. Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли, получим ! 1 ь Р! — РЯ = — р ('У', — 'У',), 2 яла, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведеаае суммы векторов скоростей на ых разность, ! Р р р(1, + Р',) (У, — 1г!). Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость Р'.
= —,' (1;+ Уя) в скорость девиации потока У а=-' Уа — Уо характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь Р1 Рь=р)т ~ )ти 1 К=! У,=т )т„; 1 'У;=1 (У,— 1',) =О, (109) я равенство (108) перепишется в форме )ч=р(У„У~) 1+ р(Ю. У,) (У,— )т,) =р(!Р'„° У„) à — р(1 У„) )ть Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим лс=рт'„Р', «Х У~). (110) Замечая, что по (109) вектор-шаг т перпендикулярен к скорости девиации потока У'Ф а вектор ГХ У„ перпендикулярен к плоскости течения,т.е.
и )т„, найдем величину главного вектора в виде )т=рГ)т.УФ (111) Векторное равенство (1!О) дает в явной форме зависимость главного вектора лч от плотности жидкости, шага Г решетки и двух характерных скоростей — средней )т и скорости девиации у', потока. Скаляраое равенство (!11) определяет величину главного вектора сил давления потока на профиль в решетке как произведение плотности жидкости, меев решетки, средней скорости и скорости девиации.
Из векторногь равенства (110) следует, что главный вектор )т лежит в плоскости течения и направлен по перпендикуляру к средней скорости У„ в сторону,определяемую векторным произведением (110). Введем единичные векторы оси решетки а и нормали к плоскости рисунка в сторону читателя », направив их так, чтобы совокупность векторов 1, а и » образовывала трнздр, сонаправленный с принятой правой системой координат (вектор 1 не единичный, его величина равна шагу).
Замечая, что, согласно (109), вектор (Г,=(т,— )т, направлен параллельно оси решетки, получим У(= ()т — (т„) а я, следовательно, тх)т,=СХа()т,. ~т,.) =Г(!т )т )» Определим циркуляцию скорости Г по контуру, составленному из направляющих сечений о„о, и двух линий тока, смещенных на шаг. гл, у и. ввзвихрввыв движения идеяльнои среды 206 Составляя интеграл ~ У,г(з по положительному направлению контура, показанному на рис. 81, получим (о,=о,=! 1) Г= ( Уы — Уы) 1, обвода так как интегралы по смещенным на шаг линиям тока равны по величине и противоположны по знаку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
