Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вычисляя скорость, получим г Г 1+— 1с г —— с!Х г Г У гг — сг 2л! 'т'= — = и — 1о +— =и — ' . (74) сг "г' гг — сг 2л! г+ 1' гг — с' р гг — сг гл. чп. везвихгевые движения иделльноп сеиды $88 При произвольной величине циркуляции Г и г=~с скорость имеет бесконечные значения, что соответствует обтеканию острых передней и задней кромок. Подчиним теперь величину Г условию конечности скорости на задней кромке (г=с), как того требует постулат Жуковского — Чаплыгина. Для этого должно быть г о'о с — — =О, 2я! т. е Г= — 2псо„.
(75) В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направление совпадает с направлением самой пластинки, так что угол Рис. 69 Рис. 68 е„входящий в формулу циркуляции (63), равен нулю. Определяя циркуляцию по этой формуле и заменяя по (65) т„='/„получим Г= — 4п — с)У ~61пО = — 2пс)Ъ' )з1пО 1 2 в полном соответствии с только что непосредственно выведенной формулой (75). Подставляя выражение циркуляции (75) в (74), получим следующую формулу распределения скоростей: (7=и — Ь =и — Ь 1 (77) Г'ео — со "1 о+с ' На задней кромке (г=с) скорость конечна и равна и„, на передней кромке (г= — с) скорость остается равной бесконечности.
Выбором циркуляции нельзя сделать скорость конечной на обеих острых кромках. Расположение линий тока в случае плавного обтекания задней кромки показано на рис. 69. В формулы (72) и (73) в качестве последнего слагаемого входит комплексный потенциал чисто циркуляционного обтекания эллипса илн пластинки Хо (г) = — )п (г+ '(/Р— с'). (78) 2 он Соответствующие этому течению линии тока — эллипсы — показаны на рис.
70. Сопряженная скорость будет ихо 7~ о ьг 2я )' ст — ео т 52 пРимеРы пРименения метОДА конФОРмных ОтОБРАжений 139 На нижней поверхности у корня следует брать знак минус, так что и = —, (и ) 0 при Г)0). Г Отвлечемся от того, что отрезок г'г представляет собой твердую стенку, и представим себе всю плоскость хОу занятой жидкостью. Тогда линия т'г' явится линией разрыва скоростей в погоке.
В самом деле, по только что доказанному, при Рис. 70 Рис. 71 переходе через линию т"'т" (рис. 70) скорость и претерпевает конечный скачок Г и — и,= яф с2 — хи Построим на бесконечно малом отрезке йэ линии г'Р (рис. 71) прямоугольный контур, охватывающий точку М. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру (и — и,) дэ = ГВ2 отлична от нуля; следовательно, на отрезке йэ линии разрыва скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции. Обозначим через Т Плотность распределения вихрей, т. е.
интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка г"'т"; тогда получим Тйэ= (и=и+) йэ и, следовательно, Г у=и — и+— и Р с2 — хи (79) Непрерывное распределение вихрей на поверхности (при плоском движении вдоль некоторой линии) образует вихревой слой. Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (78) вокруг эллиптического цилиндра (в частности, пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется формулой (79). На верхней поверхности пластинки (у=О, — с<х(с) квадратному корню соответствует знак плюс, так что сопряженная скорость действительна и равна и+= — —, —, (и+с.,О прн Г)0). ГЛ.
ШЬ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ тво $53. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина Разобранные в предыдущем параграфе примеры обтекания эллиптического контура и, в частном случае, пластинки не дают полного пред. ставления об обтекании крыловых профилей. Составляя выражение производной от преобразующей функции (65) %=И'- — ') (60) видим, что точки Р» и Р'* (рис.
66) плоскости й с координатами ~=~с являются особыми точками конформного отображения (65), так как в Рис 72 этих точках производная равна нулю. В точках Р* н Р'* нарушается конформность отображения: углам и в этих точках соответствуют углы 2п в точках Р и Р' плоскости г. Окружность С', проведенная через обе особые точки, преобразовалась в прямолинейный отрезок РР' нли, точнее, в разрез плоскости г с двумя угловыми точками, окружности же С, и С„не проходящие через особые точки, перешли в эллипсы — плавные кривые, не имеющие угловых точек.
Проводя в плоскости ~ окружности или другие какие-нибудь замкнутые кривые так, чтобы онн проходили только через одну особую точку, образуем в плоскости г профили с одной угловой точкой, из которых можно выбрать подходящие для крыловых профилей. 4 53 кРылОВые пРОФили жукОВскОГΠ— чАплыГинА 101 Примерами такого рода теоретических крыловых профилей могут служить профили Жуковского — Чаплыгина, образованные конформным отображением (65) окружностей К", проведенных во вспомогательной плоскости (рис, 72) через особую точку Р5 и содержащих внутри себя вторую особую точку Р'*. Особенностью этих профилей является нулевой угол иа задней кромке.
Если центр круга К, находится в точке Л5, оси 0*$, то в плоскости г получим симметричный профиль К„называемый рулем Жуковского (показан на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок Р'Р, служащий скелетом руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур его К, будет стягиваться к отрезку Р'Р. Чтобы получить руль небольшой (по сравнению с его длиной) толщины, дадим точке 15', малое смещение влево от точки О*, равное по абсолютиой величине Лс, где Л«!. Тогда уравнение окружности К, можно представить в виде ~= — Лс+ (1+Л) се", где Π— полярный угол точек окружности К, (на рисунке не показанимй).
Подставляя это выражение в преобразование (65), получим уравиеиие руля Жуковского г = — ! — Лс+ (1 + Л) се'з + 2 [ Л+(! ! Л),55 1 ' Не составляет труда, используя малость параметра Л, представить правую часть в виде разложения в ряд по степеням Л. Довольствуясь члена. ии с первой степенью Л, получим г=ссозО+ — Лс(со520 — 1)+ЬЛс 1(зш Π— — зщ20), 1 /. 1 2 2 или х=ссозО+ — Лс(соз20 — 1), у=Лс(1 — созО)з!пО. 1 ' 2 Из второго равенства следует, что крайним абсциссам руля соответствуют значения 0=0 и О=а, так что длина, или хорда, Ь профиля равна Ь =х(0) — х(п) =2с, т.
е. в принятом приближении не отличается от длины скелета — отрез- ка РР', Найдем максимальную толщину профиля. Максимальному зна« чеиию ординаты профиля отвечает корень уравнения — = Лс (соз Π— соз 20) = О, ле ЛО равный О =120'. Следовательно, максимальная ордината будет у = Лс 5!и 60' (1 + соз 60') = — Лс, зуз 4 а толщина 1 =2у = Лс. зуз 2 Круг К' с центром в любой точке 151 плоскости ~, проходящий через особую точку Р*, преобразуется в изогнутый профиль Жуковского— Чаплыгина К. Дужка К, служит скелетом для этого профиля, так же как отрезок РР' — для руля К,. Вогнутость дужки К. представляет вместе с тем и вогнутость профиля К. Если, сохраняя вогнутость профиля К, та2 Гл ч!!. незвнхгезые движения идехльной сРеды уменьшать его толщину, то профиль будет стягиваться к своему скелету — дужке К,. Для решения задачи об обтекании профиля К потоком со скоростью У„, направленной под углом й„к оси Ох, проще всего поступить так.
Проведем во вспомогательной плоскости Ь оси У$' и й!Ч' с началом в центре смещенного круга !ч'. Плоскость комплексного переменного (,'= = 5'+ !и' повернута относительно плоскости ~ на угол ( — 5), так что, положив ~" = е-"~', приходим к соответствию между плоскостями ~ и ~" с параллельными осями координат (а — радиус окружности Кч) Рис 73 ~ = с — ае-"+ ~". Тогда, принимая плоскость ~" за вспомогательную, перейдем от преобразования (65) к преобразова.
нию более общему з= — (~+ — ) = — (с — ае-!з+ ь'+ ), которое может быть переписано в виде ряда Лорана 1, 1 1 сч 1 сэ(с — ае !З! г = — Ь'+ — (с — ае-'з) + — — „— —. + ... 2 2 2 ь" 2 Г~ Комплексный потенциал в плоскости ~ч сохранит прежнюю форму г 2'(~") = гл ~Р ~" + — ") + — )и ~".
2га Совокупность последних двух равенств представляет собой искомое решение задачи обтекания теоретических профилей Жуковского в Чаплыгина. Обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, соответствующие преобразованию приводят к крыловым профилям с острым углом т на задней кромке (рис. 73). Приближенные методы расчета обтекания крылоного профиля произвольной формы изложены в четвертом и предыдуших изданиях настоящего курса, а также в $ 55. При современных возможностях машинного счета такие приближенные методы практически 'становятся излишними. В 54. Главный вектор и главный момент сил давления потока на замкнутый контур. Формулы Чаплыгина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
