Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Зададим в точке М плоскости комплексного переменного г два бесконечно малых приращения с(г, и йгз, образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке а( плоскости комплексного переменного Х появятся приращения НХи ((Хз, образующие между собой некоторый угол р. Переход из плоскости г в плоскость Х происходит согласно преобразованию (31) Х=Х(г) ° ') Коардината а, соответствуюпсая перпендикулярной к плоскости Оху оси Ог, в папском движении нс встречается; это позволяет использовать букву я для обозначеааа квмплепсной величины х+(у. ГЛ. Ч1Е БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ 170 Отсюда следует, что приращения йХ с приращениями аг связаны соотношениями (предполагается, что производная Х'(г) существует и в точке М не обращается ни в нуль, ни в бесконечность) йХ,=-Х'(г)йгн йХ1=Х'(г)йге, так что дк1 ах1 «х д ° Положим (г = й еич йг ~з ееи аХ, = ао,ега йХ,= йо,еФЕ Тогда из предыдущего равенства следует — Е'В-Ва = — Еа -а й дз, дч до, д Сравнивая модули и аргументы, получим до~ дп —, р, — р,=а,— а„т.
е. р= а, до, сЬ, что и доказывает подобие указанных на рис. 54 бесконечно малых фигур (треугольников). Для дальнейшего важно подчеркнуть, что при конформном преобра- зовании фигур соответствующие углы сохраняются, за исключением, быть может, одной или нескольких точек, которые называются особыми.
Отделяя в произвольной функции комплексного переменного Х(г) действительную Ке и мнимую 1гп части, получим потенциал скоростей ф(х, у) и функцию тока ф(х, у) некоторого плоского безвихревого дви. жения ф(х, у) =Ке Х(г), ф(х, у) =1гпХ(г). Приравнивая функцию ф(х, у) различным постоянным В7(х, У) = С, (ЗЗ) (34) получим семейство изопотенциальных линий; аналогично совокупность равенств ф(х, у) =С', (35) согласно (27), представит семейство линий тока. Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для этого достаточно показать, что взаимно перпендикулярны векторы — градиенты функций ф и ф. Имеем дгабф пгабф — — — + — — — ( )+ — — =О, дф дф дф дф дф т дф 1 дф дф дх дх ду ду дх („ду) ду дх а это и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока.
Если вместо функции Х(г) рассмотреть функцию (Х(г), то в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотеициальные линии — с линиями тока; этим приемом часто прихо. дится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует,что функция тока ф(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией ф(х, у)— потенциалом скоростей; каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между со. бой безвяхревых плоских движениях идеальной жидкости. Функцию Х(г) =ф+1ф называют комплексным потенциалом.
$4а плоскОе Безвихгевое ДВижение несжимкемои жидкости 171 ( )4 ( = )4 и*+ о'. Наряду с комплексной скоростью У введем в рассмотрение сопрязсенную скорость Г, равную Г= и — 4В. (36) Если 0 — угол между )' и осью Ох, то У = и + 4О = ~ $' ) (соз 6 + 4' з)п 8) = ( )х ( е49, (37) 7( = и — ш = ( Ъ' / (соз 8 — 4' з)п О) = ! Ъ' ( е-". Можно заметить, что сопряженная скорость Г является зеркальами изображением 9' относительно оси Ои. Плоскость Оху значений комплексной координаты г называют физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости Р' образует плоскость годографа скорости, или просто плоскость годографа иОгц в этой плоскости расположатся годографы скорости, т. е.
геометрические места концов проведенных из начала О векторов скорости частиц жидкости. Рассмотрим производную с(~~Ц4(г комплексного потенциала по комплексному аргументу. По ранее отмеченному свойству функций комплекеаой переменной дк Х д(4р-!-449) дя + .дф дх дх дх дх дх отсюда следует дх — = и — ги = 3l = ) )х ( е-49, дх (38) т. е.
производная от комплексного потенциала по комплексной координа- те равна сопряекенной скорости. Проекции скорости и и о определятся как и=йе( ~), о= — 1щЯ (39) Полезно е4це рассмотреть контурный интеграл от сопряженной скорости Г по замкнутому контуру С в плоскости течения, равный $ )' с(г = ~ — йг = $ 41Х = ~ (йф + 4 4(ф). (40) Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, найдем, что действительная часть определяет циркуляцию скорости Г по замкаутоиу контуру, а мнимая — секундный объемный расход жидкости Я через замкнутый контур; действительно, 4Ае ~ )х 4(г = $ (и йх + о йу) = ~ сйр = Г, 1т ~ Г4 йг = ~ (и йу — о 4(х) = 4Рр йф = я.
(41) Покажем, как, зная комплексный потенциал )((г), определить вектор скорости У или его проекции и и о. Каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно рваными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Условимся при изучении плоского движения обозначать светлой буквой У комплексную скорость )х= и+ 4о, а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля комплексного числа ГЛ ШЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕИИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ 172 9 50.
Комплексные потенциалы простейших потоков Пользуясь приемом (33) отделения действительной и мнимой час тей в выражении комплексного потенциала, можем определить потев. циалы скоростей и функции тока, а по (39) — и распределение скорости для нескольких простейших плоских у потоков идеальной несжимаемой жидкости. ф=у 1. Однородный поток с векторои скорости У„(и„, о„), направленный к оси Ох под углом 8 (рис.
55): сг Х(г)=У г, У =и — 1о — )У )е "' =)У )(созΠ— 1зшй„); у у=и„х)-о„у, ф= — о х+и„у, У=У„=и„+1о„. 2, Источник (сток) в начале ко. ординат (рис. 56) с секундным объ. Рис. ЗЗ емным расходом (дебитом) 1;)— действительной величиной, положи. тельной в случае источника и отрицательной в случае стока: Х(г) = — !пг, <р= — )пг, $ = — е (г, е — полярные координаты), 2л 2л 2л У= —, )Я! 2лх 2лг а) Сток а) Истакиак Рис. 56 3.
Вихрь, изолированный в начале координат (рис. 57), с циркуляцией Г (действительная величина): Г Г 1' — Г )Г! Х(г) = — !пг; <р= — е, ф= — — — !пг, У=, )У(= —, 2л) 2л ' 2л 2л)х 2лг 4. Диполь в начале координат с моментом и (рис. 58) (действительная величина) и осью, направленной вдоль оси Ох: т тх тх ту ту Х(г) = —; гу = 2лх 2л (хк + ус) 2лг' 2л (хс -'- ус) 2лгк У= —, (У)= —. т (т! 2лхс 2лги Прием наложения потоков, оправдываемый линейностью уравнений для ~р и ф, позволяет получать новые потоки. Так, например, поток диполя (п. 4) может быть получен сложением потоков источника и стока 178 $ гп, кОмплексные пОтенциАлы пРОстеиших пОтОкОВ одинаковой мощности, размещенных по осн Ох симметрично относительно начала координат О в точках с абсциссами ~И, при предельном переходе: И~-О, !Я)-~со, Я 2И стремится к конечной величине т — моменту деполя: С) 26!п(г+А) — 1п(г — 6) т В1п г т Х(г) = Нш л-~о, Кн 2п 2Ь 2п пг 2пг еи' 3яачение т)0 соответствует расположению стока с положительной стороны оси Ох, т~Π— противоположному случаю.
Путем такого наложения можно получить следующие потоки, ! Рпс. 57 Рис. 58 Рпс 59 5, Вихреисточиик (вихресток) (рис. 59) — сложением комплексных потенциалов вихря и источника (стока): 7.= 1пг. 2п гл. гп вазвихгввын движения идвяльнон сэвды 174 6. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса а пото. ком вдоль оси Ох (рис. 60) — наложением однородного потока (и.
1) на поток диполя (п. 4) при т=2яа'(т„()' — действительная положитель. ная величина): К=)/„г+ - — '=у~ ~г+ — ') (42) Нулевая линия тока (4=0) в рассматриваемом случае распадается на две кривые: окружность (х'+у'=а') радиуса а и ось Ох (у=0). То же обтекание в случае (т„= ) )т (е" определя. ется комплексным потенциалом Х (г) = У„г+ )т„—, (43) уь-в =э выражение которого легко е выводится из формулы (42), если ее применить в плоскости комплексного переменного г' с осью Ох', иаправ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
