Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 37
Текст из файла (страница 37)
157 4 44. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОИ ТРУБЫ (116) м, 35 з«/б « и и >5 г г ФУ/Д«/Л> г г (х 'Л,тэ) Рис. 48 Рис. 49 Определим приближенно максимальное значение М„соответствующее бесконечному значению отношения р,/ро Для этого положим равным нулю выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части (115), и пренебрежем членом, содержащим М, в знаменателе. Будем ииеть (117) 34 ! ит Отсюда видно, что отношение а,/а, следует выбирать по возможности ббльшнм, для чего выгодно в качестве газа, находящегося в левом отделении трубы под большим давлением, выбирать газ с малым молекулярным весом, например водород (!4,=2,016), и, наоборот, в правое отделение помещать тяжелые газы, например аргон (!41=89,94).
Элементарная теория ударной трубы в ее простейшем виде дает удовлетворительное совпадение с экспериментом, как об этом можно судить по графику (рис. 49), заимствованному из цитированной выше работы и соответствующему применению газов водород — аргон. ') Рес пер Е. Л., Лип С. Ц., Кант ровни А. Получение газов высокой температуры в ударных трубах.— Сборник переводов и обзоров «Механика», !953, вып. 5, с.
33 — 5!. в настоящем случае будет иметь внд (!14) А1+ ! 'Т Мт) подставим эти выражения в равенство (112). Тогда получим ы« Здесь р,/р,— заданное начальное отношение давлений в отсеках трубы, а отношение а,/а« при одинаковости начальных температур газов может быть, согласно $ 32 гл. Тт вычислено как Подставляя это отношение в (116), найдем М„а следовательно, по (114) и скорость спутиого потока )т в трубе. На рис. 48') приводятся графики зависимости числа М, от 1д(/>,//>,) при различных значениях параметра а,/а, для й,='/, и й,='/,, Г Л А В А У11 БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ.
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 9 46. Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия существования безвихревых течений Изучение неодиомерных течений идеальной жидкости или газа: плоских, осесимметричных и более общих, пространственных движений представляет математические трудности. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости и газа в предыдущей главе были использованы для вывода двух основных уравнений: Бернулли и Гельмгольц а — Ф р и д м а н а с вытекающей из последнего уравнения теоремой о сохранении вихоевых линий. Непосредственное интегрирование уравнений Эйлера в общем случае вихревых движений не получило освещения в нашем курсе, хотя появление ЭВМ во многом облегчило решение такого рода задач.
Имея в виду в настоящей главе обратиться к более доступному для решения случаю безвихревых движении, отошлем интересующихся вопросами вихревых движений к специальной монографии, написанной М. А. Гол ьдш тиком'). Основным допущением, сыгравшим историческую роль в деле приближения теоретической гидро- динамики к конкретным приложениям, явилось предположение об отсутствии в движущейся идеальной жидкости завихренности.
Возможность существования такого безвихревого движения обосновывается следующими двумя теоремами. Теорема Кельвина: при барогропнои движении идеальной жидкости под действием поля объемных сил с однозначным потенциалом циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется. Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в $17 кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции скорости. Согласно этой теореме — $ $' бг =$ К бг. Подставим в правую часть этого равенства выражение ускорения по основному уравнению Эйлера (3) гл.
Ч, которое в случае потенциальных объемных сил и баротропности движения может быть переписано в виде (г = — вагаб(П+ У); тогда получим — су Ь' бг = — $ ягаб(П+ У) бг = — 1)16(П+ У), так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное, как дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой. Г о л ь д ш т и к М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское отд иие, 1981. э 46 теоРемы кельвинА и лАГРАнжА 159 н, следовательно, ~ У.
бт = сопз1, что и доказывает теорему Кельвнна. Вспоминая, что циркуляция скоростн по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кель- вина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и наличии однозначного потенциала объемных сил сохраняются также интенсивности вихревых трубок ~ (Го1 У), дв = сопз1.
6 Предположим теперь, что в некоторый начальный момент времени ао всех точках области, заполненной жидкостью, отсутствует завихренность (го1 У=О), т. е. элементарные жидкие объемы движутся без вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда постоянная, стоящая в правой части (1), будет равна нулю, н в любой другой момент времени сохранится равенство ') (го1 У),да=О. о (2) Произвольность выбора поверхности о в равенстве (2) позволит заключить, что в любой момент времени и в любой точке области будет (го1 У)„=0. Наконец, в силу произвольности выбора направления нормали, найдем го1 У=О.
(3) Отсюда следует теорема Лагранжа: если во всех точках баротропно деижуи(ейся под действием объемных сил с однозначным потенциалоя идеальной жидкости вихрь скорости в некоторый начальныи" момент еремени был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой последуюи(ий момент времени. Из аналогичного рассуждения следует также, что если вначале движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем. Предположим, что твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, начинает двигаться. При покое жидкости завихренности не было, следовательно, в условиях справедливости теоремы Лагранжа вихри образоваться не могли, и движение останется во все дальнейшее время безвнхревым.
Если в некоторый момент времени благодаря нарушению условий теоремы Лагранжа завихренность в идеальной жидкости была создана, то в дальнейшем, при сохранении этих условий, движение будет вихревым. В действительности приходится наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной такогс нарушения справедливости теорем К е л ь в и н а и Л а г р а н ж а служит наличие в реальной жидкости внутреннего трения (вязкости), особенно существенного в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в аэродинамическом следе за телом. При однозначности функции П (однозначность в.
очевидна) контурный интеграл по замкнутому контуру от дифференциала равен нулю, так что — $У бе=О (и з ГЛ. Ш!. ВЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ Р!ДЕИЛЬНОЙ СРЕДЫ 160 9 47. Потенциал скоростей и его определение по заданному полю скоростей Если движение жидкости безвихревое, то из условия равенства нулю вихря скорости го( У следует существование функции ф от координат и времени, связанной со скоростью У равенством У=йтабф, (4) или, в проекциях на оси прямоугольных декартовых координат, аф аф (б) дх' ду' дх называемой потенциалом поля скоростей (или потенциалом скоростей), Потенциал скоростей, согласно ра. венствам (4) или (5), определяется с точностью до постоянной.
Уравнением поверхности уровня потенциала скоростей будет служить ф(Х, иа ЕЦ !) =СОДЕ(, причем в случае стационарного поля скоростей время Г как аргумент ф отсутствует. По заданному полю скоростей нз уравнения (4) можно найти потенциал ф. Для этого достаточно умножить обе час. ти (4) скалярно на направленный эле.
мент бт какой-нибудь кривой С, выходя. Рис 50 щей из точки М, (рис. 50), и проинтегрировать полученное выражение вдоль уча- стка этой кривой М„М. Тогда для определения потенциала скоростей <р(М) в точке М получим равенство м м м У бт = ~ пгаб ф бг = ~ бф = ф (М) — !Р(М,), а ма м, !с! !с! !Са (6) Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в свободной атмосфере причиной вихреобразованнй служат отклонения от баротропности при движении воздуха: плотность воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, от количества водяных паров н других причин.
Модель идеальной жидкости допускает еще одну возможность нарушения справедливости теорем К е л ь в н н а и Л а г р а н ж а. Это— образование поверхностей разрыва сплошной жидкости, неустойчивых и сворачивающихся в дискретные вихри. Таковы, например, наблюдаемые в следе за обтекаемым телом вихревь!е дорожки К а р м а н а (см. спектры в ранее цитированном атласе М.
В а н - Д а й к а). Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существо. ванне безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих практических случаях дает близкую к действительности картину. Итак, примем допущение об отсутствии завихренности и обратимся к рассмотрению основных свойств такого безвихревого потока. $4Е ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ откуда будет следовать м м 4р(М)=4р(Ие)+ ~ 1' 'б'=ей(Ме)+~ (ибх+обу+~оба). (7) м, м, ~С7 4С7 Если течение в односвязной области ') безвихревое, то, замкнув (на рисунке штриховой кривой) кривую С при помощи кривой С' так, чтобы точка М совпала с М,, и заметив, что при этом циркуляция скорости по замкнутому контуру (С+С'), равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается в нуль, получим, согласно (7), ер(М) =4р(М,) при М- М„ (8) т, е.
потенциал скоростей представляет собой однозначную функцию координат. Отсюда следует также, что интеграл в выражении (7) не зависит от формы контура интегрирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкнутому контуру, состоящему из участка М,СМ, представленного на рисунке сплошной кривой, и участка МС'М„представленного штриховой кривой, можно заключить, что м м, м м '1+~=0 или м, м Ае, 4С7 4С 7 ~С7 4С 7 Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная вихревая трубка (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
