Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 38
Текст из файла (страница 38)
50). Производя в этом случае интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (7); но другой результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур С„охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (С,+С,) (замыкание показано на рисунке штрихами), как это следует из теоремы Стокса ($15), будет равен интенсивности вихревой трубки ф И ЬЕ=Г, 4СьЕС'7 1 и, согласно (7), потенциал в точке М, после обхода вихревой трубки окажется равным ер(М,)+Г. Выйдя из точки М, и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), й раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку М, со значением потенцнала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Г ер (М,) ~-йГ.
Таким образом, если в односвязной Области безвихревого движения кеидкости имеется вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), будет многозначной функцией точек поля. Значение потенциала скоростей в точке окажется в этом случае зависящим от формы кривой, вдоль которой производится интегрированне. Имея в виду дальнейшие гидродинамические приложения, подойдем к вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении еще иначе.
Выделим из Области течения жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая поверхности тока, ограничивающие вихревые трубки, как твердые стенки. Поясним, что вблизи вихревых линий всегда ~) Одлоеаязяоя называется область, в которой любой замкнутый контур может быть непрерывно стянут в точку.
е-ЫВ7 ГЛ. ЧИ. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ имеются замкнутые линии тока, расположенные на поверхностях тока, отделяющих вихревые линии от окружающей их жидкости. В идеальной среде благодаря отсутствию трения можно мысленно, нисколько не нарушая происходящего движения, заменять поверхности тока твердыми, непроницаемыми для движущейся среды поверхностями. При таком рассмотрении движения в жидкости уже нет вихревых трубок, но зато сама область течения становится многосвязной').
Дей. ствительно, по второй теореме Гельмгольца вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки— вихревые кольца', либо опираются на граничные поверхности (твердые стенки, свободные по. верхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый контур, опоясывз. юший трубку, оставаясь в области безвнхревого течения, не может быть непрерывным преобразованием сведен в точку (рис.
51); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения Рнс. б! при наличии указанного выделения вихревых трубок, вообще говоря, не односвязна. Значения циркуляций скорости Г по контурам, однократно охватывающим трубчатую поверхность, нарушаюшую односвязность пространства, заключающего жидкость, в общих случаях любых физических полей называют циклическими постоянными многосвязных обла.
стей. При наличии в многосвязной области течения вихревых трубок теорема Сто к с а должна быть сформулирована так: циркуляция скорости по замкнутому контуру, проведенному произвольно в много- з связной области, отличается От суммы интенсивностей опоб К ясанных контуром вихревых +.м трубок на сумму целых крат- р ных циклических постоянных многосвязной области.
Проводя в многосвязной области дополнительные поРнс. 52 верхности, можно уменьшить степень ее связности и при желании превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 52), двухсвязную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополнительно провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца. При наличии поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения б двухсвязной обла') й-связное нззывзетск область, в которой можно указать й — 1 не сводншнксв друг к другу непрерывным преобразованием контуров, не сткгнвземык в точку.
а1 163 8 48, ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА — КОШИ сти отлична от нуля, то значение потенциала скорости фэ(М) на одной, скажем передней, стороне поверхности а будет отличаться от значения ф (М) на задней стороне поверхности о на величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М (рис. 52, б). В этом случае потенциал скоростей ф(М) при прохождении через поверхность о претерпевает конечный скачок ф, †ф , а поверхность о представляет собой поверхность разрыва потенциала. Рассматривая поверхность о вместе с поверхностью $ как границу области, можно считать потенциал ф непрерывным во всей области.
й 48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать первый интеграл уравнений движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека — Ламба [(8) гл. Ч) дУ тУА — + Ягаб ~ — + У + П) + го1 у' х У = 0 (9) дг ~ 2 и положим в нем, согласно (4), 4т=ягабф, го1 У=О. (10) Тогда, замечая, что вследствие независимости операций частного, или локального, дифференцирования по времени д/д1 и пространствен- ного дифференцирования, выражаемого операцией пгай, можно менять порядок дифференцирования: дУ д /дфт — = — Ягабф=ягас1 1 — ), дг дг 1 дг / ' будем иметь вместо (9) равенство дгаб ~ — + — + У+ П) =О, тдф У' дг 2 интегрирование которого приводит к выражению первого интеграла уравнений движения — + — + У+ П =~(г), (12) дг 2 называемого интегралом Лагранжа — Коши; здесь 1(1) — одинаковая для всей области течения произвольная функция времени, определяемая из граничных условий.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как интеграл Бернулли прп стационарном движении. В последнем случае — =О, 7(1) = сопз1, др дг н равенство (12) превращается в обычный интеграл Бернулли У2 — + У+ П = сопз1, (13) 2 причем при безвнхревом движении константа, стоящая в правой части, алеет одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока. Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и интеграл Бернулли, в случае безвихревого движения служит для выражения давления р через кинематическне элементы ф, И и координаты, от которых зависит П. Выражая У' через проекции йтаб ф на оси декартовых координат, будем ГЛ.
ЧИ, ВЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ иметь х + — 1й + ( — ) + ( — ) 1+ У+ П =1(1). (14) В случае движения несжимаемой жидкости при отсутствии объем. ных сил (У=р/р, П=О) найдем ~ + — + Р =/(1). дг 9 р В частном случае нестационарного движения твердого тела сквозь покоящуюся на бесконечном удалении от него несжимаемую жидкость, полагая на бесконечности р=р„, К=О, — =О, ар аг получим (16) ~ (1) = сопз1 =— р Прн безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные величины — проекции скорости и, и, и« вЂ” выражаются через одну неизвестную функцию — потенциал скоростей ф(х, у, е, 1).
Принятое допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропности движения р=р(р) сводит решение задачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин ф и р. Для этой цели могут служить уравнение (14) и уравнение сохранения массы — Р+ б)ч(рУ)=0. др дг Останавливаясь подробнее на случае несжимаемой жидкости, используем два основных условия: несжимаемости б(ч У=О и наличия потенциала скоростей (4). Тогда для определения неизвестной «р получим уравнение Лапласа ф*ф=о, (17) в частности в декартовой системе координат — + — + — =О.
а«ф дзф аг«Р дга дуз дгз Уравнение это должно интегрироваться при заданных граничных условиях, зависящих от типа поставленной задачи. Так, в задаче о движении тела сквозь покоящуюся на бесконечности жидкость должны выполняться следующие граничные условия '): а) на поверхности тела †услов непроницаемости, т.
е. равенства нормальных составляющих скоростей )г„=дф/дн частиц жидкости на поверхности твердого тела нормальным составляющим скоростей Уа со. прикасающихся с ними точек твердого тела ~ =)га; (18) да б) на бесконечном удалении от тела — равенство нулю скоростей частиц жидкости ига«1 ф=О, (19) ') Решение этой задачи, носащей нмн Кн рхго фа, булат дано В $79 гл. 1Х. $48.
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА — КОШИ в декартовой системе дф дф дф дк ду дк В задаче об обтекании неподвижного твердого тела жидкостью, имеющей на бесконечности заданную скорость )т, будем иметь граничные условия: а) на поверхности тела д<р — =0; д (20) б) на бесконечности — =)т соз(К, х), ар ° др к" — =)т, соз($', у), — =1', соз(ук,,г).
(21) ау "' ' ак аТ= г [ (()к+ Ь)т)з — 'т")йт=р ( !к гзутйт+ —" Г!Ь)т/эйт. (23) 2 а 2,) Первый интеграл справа равен ) 'т Лттйт=) огай р Лукйт к к и по известной формуле ОПч(фа) =ф г(!ч а+ огай ф.а кажет быть преобразован так; ) у.байт=) агайф.й йт=1й!ч(фйу)йт — ~ф И!ч(йр)й = 1 Г = ~ ф (Ь'т')„йа — ~ фй (б!ч )т) йт, Как известно, задача интегрирования уравнения Лапласа (17), или, что все равно, разыскания гармонической функции, удовлетворяющей условиям (18), (19) или (20), (2!), представляет собой пример внешней задачи теории потенциала. В дальнейшем будут разобраны различные примеры решения задач такого типа, как для обтекания тел жидкостью (внешняя задача), так и для внутреннего протекания жидкости сквозь навалы (внутренняя задача), Определив потенциал скоростей ф(х, у, г, у), найдем давление р при помощи интеграла Лагранжа — Коши (15); будем иметь р=р(У(г) — ф — — ~~ ф ) + ~ — ) + ( ф) Д. (22) Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает иногими интересными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
