Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ленной по вектору скорости У„, так что по (42) Рис 60 Х(г)=(К ° )(г + —,); 7 возвращаясь к плоскости г заменой г' иа ге "", получим (43). Скорость Р в произвольной точке потока (42) равна дх у ~1 а ) (44) Распределение скоростей по контуру окружности г=ае' определяется формулой т. е. удвоенной скорости набегающего потока или удвоенной скорости на бесконечности. Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилиндра может быть представлено в форме коэффициента давления с„= ) )т) =2(т„)з(п е(, (45) где е — полярный угол между радиусом окружности и осью Ох. Если вместо полярного угла е перейти к дополняющему его до я/2 местному углу атаки 8 — углу между вектором скорости в точке на контуре окружности и направлением набегающего на тело потока, то (45) примет вид ! У( =2)т соз 6, выражающий пропорциональность модуля скорости в точках контура окружности косинусу местного угла атаки в этих точках.
Эта закономерность оказывается справедливой для обтекания эллипса и ряда других течений (см. далее 5 52). В точках А(г=я) и В(а=0) скорости равны нулю; эти точки называются критическими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 60, точка А называется передней критической точкой, точка  — задней. Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значение при е=-~-я72 в точках С и О миделевого сечения цилиндра; это максимальное значение скорости равно ! (т,! =2$'„, $50 КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 175 =(р — р )/('/,рУ'„). Применяя теорему Бернулли в форме (26) гл. '(/ и определяя константу как р +'/,рУ'„, найдем в рассматриваемом случае са = = 1 — — = 1 — 4 51п е.
)УР 5 (46) 1/5РУ' 1,5 Полученное распределение давления по контуру окружности, как зто прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям Ох и Оу, результирующей силы не дает. Это является частным случаем парадокса Даламбера, который будет в дальнейшем (см. гл.
1Х) установлен для тела любой формы при поступательном, прямолинейном и равномерном его движении сквозь покоящуюся вдали от него идеальную несжимаемую жидкость. 7. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра можно получить наложением вихря с циркуляцией Г (п. 3) на бесциркуляцнонное обтекание круглого цилиндра (п. 6). Комплексный потенциал составного движения будет, согласно (42) и п. 3, а51 Г Х(г)=~У ~ (г+ — ) + — 1пг, г 2л1 (47) что прн Г)0 соответствует направлению циркуляционного движения против часовой стрелки.
Останавливаясь на этом случае, определим со- пряженную скорость аХ т а т Г У= — =(У„) (1 — — )+ 55 / 2гиг (48) в найдем положение критических точек, решая уравнение !У 1(1 а5)+ Г 0 нлн, что то же, квадратное уравнение Г г'+ г — а'=О. 2л1( У ! Корни его будут г= Г1 (49) 4л)У Оба корня квадратного уравнения мнимы, больше радиуса цилиндра, другого — меньше. В имеет модуль (Г)0) 1г5(= + Г 4л)У причем модуль одного самом деле, корень ) )а; 4л)У ! В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания. а) Циркуляция велика: Г)4па)У„(, В этом случае в выражении (49) под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно написать гл, ги ьезвпхгавыа движения идалльнон сгвды 176 в торой корень г 4л1У ) имеет модуль г г, 1= —— 4л~ У ) а' г га 4л ~ У„~ 1бл~1У Заменим в знаменателе последнего выражения ГД4п~ У„1) на мень.
шую величину а; тогда получим 1г,! ( — =а. Первый корень дает критическую точку А (рис. 61, а), лежащую вне круга на положительной стороне мнимой оси, второй — критическую точку В на той же оси, но внутри круга. Рис. 61 б) Промежуточный случай: Г=4ла~р ~. Корни г, и г, равны между собой; критические точки совпадают (рис.
61, б) и находятся на мнимой оси в точке г,=г,=ай в) Циркуляция мала: Г(4па~ У„~. Корни (49) в этом случае комплексные, г 4л1У имеют общую ординату Г/(4л! У 1) и отличаются лишь знаками абсцисс, по модулю меньших а. Модуль каждого из корней равен а, т. е. они расположены на окружности радиуса а. Положение критических точек показано на рис. 61, в. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещаться, стремясь занять положение на пересечении окружности с осью Ох, как это и должно быть при Г=О. Как видно, при циркуляциоииом обтекании круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси Оу, но нарушается симметрия относительно оси Ох. В связи с ртим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Оу.
Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а над цилиндром вычитаются. При этом под цилиндром скорости больше, а давления, согласно уравнению Бернулли, меньше. Над цилиндром, наоборот, скорости меньше, а давления больше. Это приводит к тому, что в указанном обтекании главный вектор сил О ОО.
КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТЕИШИХ ПОТОКОВ !77 давления )с жидкости на цилиндр будет направлен по оси Оу в отрицательную сторону (вниз). При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г(0) картина обтекания при том же расположении осей координат изменится на перевернутую вокруг оси Ох на 180', и главный вектор окажется направлениым по оси Од в положительную сторону, т.
е. вверх. Можно дать простое правило определения направления главного вектора сил давления жидкости на поверхность цилиндра: поместив начало вектора скорости У„ в центр цилиндра О, повернем его на 90' в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения; это и даст направление главного вектора ес. Остается вычислить величину )то.
Имеем Ю= — 1)1 рп о(з, Р„= — 1~ ри„е!з= — а ~ рз!пее(е. (50) о Иа контуре круга по (48) будет У,!У ((! е-мв) ! " е-м— 2гиа ео — е ' Г .. е . Г ); -1в;е-1в;е-1в (2 ! У ! з!п е 21 2ла 2ла так что )У~=~У ! 2з!пав Г 2л! У !а (51) Г ге=! — (2 з!па†2л! У !а) Б отличие от бесциркуляционного обтекания цилиндра в рассматриваемом сейчас случае циркуляционного обтекания коэффициент давления зависит от параметра Г/(! У (а), содержащего произвольную величину наложенной циркуляции. Как это следует из (51), для подобия циркуляционных обтеканий необходимо ставить условие одинаковости в сравниваемых течениях параметра Г/(! У„!а) — безразмерной циркуляции.
Подставляя в выражение !Т„(50) значение р по уравнению Бернулли и принимая во внимание (51), получим Ре=~— ! 12~У, ~япе — — ~! япео!е= — р~У !Г. (52) 2 ! 2ла / о Проделав аналогичные выкладки, можно было бы показать, что Я„=0, но это очевидно и из соображений симметрии. Как и в случае бесциркуляциониого обтекания цилиндра, при цирхуляционном Обтекании сопротивления иет, но возникает поперечная сила, равная произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию.
Полученное выражение (52) для !т„является частным случаем обшей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано ниже. При вращательном движении тел в реальной жидкости, обладающей внутренним трением (вязкостью), можно наблюдать возникновение цнркуляционных движений, качественно похожих на только что изученные. Эффект образования при этом поперечной силы (эффект Магнуса) помогает объяснить многие интересные явления. Таково, например, возникновение аэродинамического момента действия воздушного потока на вращающийся артиллерийский снаряд, приводящего в совокупности 178 гл, шь везвихгввыв движения идвхльнои спады с гироскопическим моментом к повороту снаряда в плоскости стрельбы и приближению его осн к касательной к траектории.
К тому же роду вопросов принадлежит историческая попытка, вновь привлекающая внимание кораблестроителей, создания судового движителя в виде вертикальных вращающихся цилиндрических башен (так называемых роторов Ф лет не р а), помещенных на палубе корабля и создающих движущую силу, перпендикулярную к направлению ветра. Аналогичный эффект наблюдается при полете закрученных футбольных и теннисных мячей. Та или иная интенсивность закрутки и направление закрутки создают совершенно неожиданные для партнера траектории мячей. Отметим, что комплексный потенциал (47) является частным случаем более общего потенциала Х(7) =У«г+ У + 1пг (53) » 2лг соответствующего, как это следует из (43), наличию между вектором У„и осью Ох некоторого угла О; комплексный потенциал (53) может быть положен в основу метода разыскания комплексных потенциалов плоского обтекания тел иной формы.
й 51. Решение задачи обтекания по методу конформных отображений. Постулат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции Обратимся теперь к рассмотрению приложения метода конформных отображений к решению прямой задачи определения обтекания крыловых профилей. Под крыловым профилем понимают плавный, вытянутый в направлении набегающего на него потока, замкнутый н самонепересекающийся геометрический 1у с," сс" г контур с закругленнои пе() редней кромкой («лоб» профиля) и заостренной задней кромкой («хвост» профиля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
