Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В частности, таким образом можно найти и интересуюший иас закон движения поршня, приводящий к центрированным волнам разрежения. Для этого достаточно составить уравнение движения частицы (107), выбрав константу а нз условия, чтобы 5=0 при !=О. Тогда получим ~-1 =( — 1) ».4! х 2а, А — ! Местное число Маха М=и/а будет, согласно (104) н (105), равно х — х 4+ м= А †! х — х ! —— а, (! — 4! оео сохраняет постоянное значение вдоль каждой характеристики С, и поэтому служит естественной «отметкой» характеристик семейства (рнс.
46). Пользуясь вторым из равенств (103), можно получить соотношение а,=а (1+ — М), а вслед за ним и группу равенств т,=т(1+ — ''М), р,=р(1+'— 'М), р,=р(1+'— 'М) существенно отличных от выведенных в предыдущей главе изэнтропичесхих формул для стационарного движения газа. Прежде всего, в скобках, в отличие от стационарного движения, стоит число М в первой, а ае второй степени; кроме того, показатели степени у круглых скобок справа в два раза превосходят соответствующие значения в стационарном случае.
Для оценки этой разницы предположим, например, что поршень движется с возрастающей скоростью так, что М- ОО, а- 0 и, согласно второму равенству (103), 2 и- и,„= — ао. л †! Если скорость поршня будет больше этой скорости, то между поршнем и газом образуется вакуум, причем скорость истечения в вакуум я в этом песта!!ионарном случае отличаегся от стационарной максимальной скорости (19) тем, что у последней перед величиной а, вместо 2/(й — 1) стоит множитель у2/(й — 1). Таким образом, например, для воздуха скорость истечения в вакуум при рассматриваемом нестационарном цвнжении оказывается в 1Г5 раз больше, чем в случае стационарного движения. При стационарном движении газа удельная кинетическая эаергия истечения в вакуум, согласно (20), точно равна полной энтальпки в резервуаре, из которого происходит истечение; в случае же нестацаонарного истечения кинетическая энергия в 2/(й — 1) раз превосходит полную энтальпию.
Простота приведенного выше решения для центрированных волн ймла обусловлена тем, что решение представляется функцией отношеиня (х — х)/(! — Т), а не отдельно каждого переменного х и й Переходя х полярным координатам, можно было бы сказать, что решение зави- 154 Гл. ч1. ОднОмер1>ый потОк идеАльнОГО ГАЭА Х вЂ” Х сит только от полярного угла 0=ага(ц — и не зависит от расстояния 1 — т =0*:КГ и — г - т~ з ° - т- т- -«-'т кости до точки пересечения характеристик (х, 1). Именно поэтому ре. шение свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению, кото. рое, кроме того, оказалось достаточно простым и позволило представить интеграл в замкнутом виде. В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В этих случаях решение представ. ляется в функции от одного аргумента, который является некоторым со. четанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные между собой.
По этой причине вообще решение дифференциального уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного аргумента, представляющего одночленную совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наименование авто- модельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама задача называется автомодельной.
Примером такого автомодельного решения является только что полученное решение задачи о центрированных волнах разрежения, где в КаЧЕСтВЕ СЛОЖНОГО арГуМЕНта фИГурИрОВаЛО СОЧЕтаНИЕ (Х вЂ” Х) /(т — 1). В полной аналогии с этой одномерной нестационарной задачей в даль. нейшем будет разобрана плоская стационарная задача о центрирован. ных волнах разрежения в сверхзвуковом газовом потоке вокруг внешности тупого угла. Б>ольшое число автомодельных задач будет рассмотрено также в последующих главах, посвященных теории движения вязкой жидкости в пограничном слое'). Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления.
Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях, граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов: времени, длины, массы нли др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки.
Так, например, в предыду. щей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. Рассмотрим теперь общую постановку задачи о волнах разрежения за движущимся по проттзвольно,тту закону поршнем.
Будем, как и ранее, предполагать, что первый инвариант Римана г сохраняет постоянную величину во всей области течения, т. е. выполняется равенство (!01). Тогда, замечая, что вдоль прямолинейных, но в общем случае не центрированных характеристик второго семейства С, (волн разре>ксния) сохраняют свои значения и н а, будем иметь, ') Разнообразные примеры авточодельпых задач можно найти в книге: Седов .П. И.
Методы подобна и размерности в механике.— М Фризматгп, 1981 З 4К ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ 455 выполняя интегрирование дифференциального уравнния (87), х= (и — а)1+ф(и), (108) где у(и) является постоянной интегрирования, различной на разных характеристиках. Для определения функции <р(и) зададимся законом движения поршня х,=Х(1.) и тем самым скорости поршня хР=Х'(1,). Тогда совокупность равенств «р(ге) =Х(г,) — (нг — а(хе) ](„пг=Х'(1,) (109) после исключения 7, определит вид функции гр(ге); функция а(пг) находится по (101).
Решение задачи представляется уравнением х= [и — а(и) ]1+Х(1,) — (та — а(иг) ]7., которое надо рассматривать как уравнение для определения и в функции от х н й В отличие от задачи о центрированных волнах в общем случае и является функцией от х и 7, взятых по отдельности, а не от какой-то их совокупности. В частном случае центрированных волн с полюсом в точке (х„х,) будем по (108) иметь ~р(и) х,— (и — а) 1„ а для определения и(х, 1) получим по (108) равенство и — а(и)= — ', 8 $ 48.
Элементарная теория ударной трубы г=г, Схема ударной трубы, слуг машей для создания в лабораторных условиях кратковремен- р еых сверхзвуковых потоков, не требующих для своего осуществления затраты больших количеств энергии, показана на рис. 47, а. Цилиндрическая труба с закрытыми входом и выходом разделена на два отсека диафРес 47 рагмой, по обе стороны от которой находятся газы различных физических свойств, Газ, находящийся в левом отсеке, сжат до значительно большего давления, чем другой. В некоторый момент времени диафрагма разрушается н газ из левого отсека устремляется в правый.
Разрыв давлений, имевший место до разрушения диафрагмы, распространяется в виде ударной волны вправо, увлекая за собой спутный поток газа. Этот поток встречает на своем т. е. вновь удостоверимся, что в центрированных волнах скорости частиц, так же как скорость звука и другие термодинамические параметры газа, будут функциями отношения (х — х,)/(1 — 1,), а не х и 1 по отдельности. За иллюстративным примером и некоторыми деталями г7ааа7ааггга рассматриваемой задачи отсылаем интересуюшихся к цитированным выше страницам монографии Я.
Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера. д) гл щ ОднОмеРный ЙОГОк идеАльнОГО ГАЗА 156 пути исследуемую модель, размещенную в правом отделении трубы. Специальная оптическая установка позволяет произвести при этом мгновенное фотографирование спектра обтекания модели, а также и другие интересующие исследователя измерения. Элементарный расчет ударной трубы заключается в следующем. Охарактеризуем физические свойства газов двумя константами: молекулярным весом !г и показателем адиабаты й. Пусть газу, вначале находившемуся в правом отделении, соответствуют константы !А, и н„а газу в левом отделении — !г, и и,.
Начальные давления назовем соответ. ственно Р, и р„ причем р,.алр,. Трубу будем считать теплоизолированной, а движение газа адиабатическим. На диаграмме рис. 47, б приведены графики распространения ударной волны, поверхности контакта газов ') н волн разрежения, Как видно из графика, наибольшую скорость, выражаемую производной г!х7с!1, имеет ударная волна, затем поверхность контакта газов и, наконец, волны разрежения, распространяющиеся по газу справа налево, но сносимые вправо спутным потоком.
Область трубы, занятая волнами разрежения (с возрастанием времени эта область расширяется), представляет собой об,пасть непрерывного изэнтропического движения, так что на границах этой области, используя формулы (48) гл. 'Ч, получим — =( — ".')"" Рассматривая волны разрежения как простые волны конечной интенсивности, применим к ним теорию, изложенную в 9 43. Согласно этой теории во всей области, заполненной волнами разрежения, движущимися с абсолютной скоростью и — и, сумма У+и, равная по (94) 2 3з+ и = — а+ и + сонэ!, ь — 1 сохраняет одно и то же значение, так что можно написать (на левой границе области 3 газ неподвижен) 2 2 — а, = аз+ ггз. Ьг-! ' Ьг — ! Замечая, что вблизи поверхности контакта газов давление и скорость непрерывны, будем иметь (рис. 47, в) Рг=РЫ Из=из= У где (г — скорость спутного потока. Таким образом, вместо (110) получим, используя (!!1), (112) Вспоминая формулу (53) сжатия газа при прохождении его сквозь ударную волну (М,=Огга, — число Маха ударной волны) — М,' — ' р, аг-г- 1 Ьг-'- ! и выражение (69) скорости спутного потока за ударной волной, которое ') Предполагается, ято за малый променгуток времени работы ударной трубы газы не успеют сколько-нибудь заметно перемепгаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
