Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Докажем следующую теорему Кель- еина: если на границе некоторой односвязной области вихревое движе- аае совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого дви- меяия в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихре- еего движения. Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скоро- сти в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна ну- лю как для безвихревого, так и для вихревого движения.
В самом деле, условимся обозначать символом ст разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь сле- хувщее выражение для разности кинетических энергий: ГЛ ГН БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ СРЕДЫ где о — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а диверген. ция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций, По условию теоремы безвихревое и вихревое двнже. ния на поверхности о совпадают, т. е. ЬУ=О на о; кроме того, по условию несжимаемостн й1ч 'т'=О. Таким образом, первый интеграл в равен.
стве (23) оказывается равным нулю и остается ЬТ= Р ( )ЬК~ьйт) О, 20 из которого и следует теорема Кельвина. Теорему Кельвнна можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении по сравнению с любым другим, вихревым, движением, если только эти движения созна. дают на границе области. Из теоремы Кельвнна следует, что если на границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвнхревым движением несжимаемой жидкости внутри такой области является по. кой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вих- ревоеЦ, сколь угодно медленное движение, при котором скорости на границе области равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствую.
щего по теореме Кельвнна безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области. К тому же результату можно прийти и непосредственно, не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем полезную для дальнейшего общую формулу кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвнхревым образом. Имеем Т = —" ~ 'г'Чт = Р ( дгад ~р йтай <р йт. 20 2э' Применим вновь формулу дивергенции произведения скаляра на вектор, полагая в ней а= дгаб<р; тогда получим Т= Р ( й!ч(~рйгаб<р)йт — Р ~~рй1чдгад~рдт=- 20 2 й — — 1 <р(огай р), йо — — ' ( ~р7'<р йт.
2 й 2 О Ю ч В поверхностном интеграле, полученном из объемного по формуле Гаусса — Остроградского, под а понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл равен нулю, будем окончательно иметь Т= — Р~<р ~ао. рг (24) 23 ап в Если на ограничивающей односаязный объем жидкости поверхности о скорость равна нулю, то и У„= -х =О, дн откуда по (24) сразу будет следовать, что и Т=О. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина, $ чк плОскОе Безвихгевое дВижение несжимАемОЙ жидкости 167 $49, Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Применение функций комплексного переменною дз,у у<у т~Ф= — ~+ — ~=0. дх дух= .
(25) В случае плоского движения задача эта может быть с успехом разрешена при помощи метода комплексной переменной, применение которого составляет основное содержание гидродинамики плоского безвихревого движения несжимаемой жидкости. Из уравнения неразрывности (несжимаемости) й) ч= — + — =о ди дь дх ду следует, что всегда можно найти функцию ф(х, у), тождественно удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями скорости и и о равенствами и= —, о= — —. дф дф (26) ду дх Функция ф(х, у) имеет простой гидродинамический смысл. В самом дезе, напишем дифференциальное уравнение линий тока (7) гл. П, в случае плоского движения имеющее вид дх ду и ь и подставам в него значения проекций скорости по (26); тогда будем ккеть йх ду дф/ду — дф/дх изк дФ й +дч йу= ф=б.
дх ду Из последнего равенства следует, что функция ф сохраняет постояялмг значения вдоль линий гока; иными словами, семейство линий Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости. Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается от соответствующего определения для твердого тела.
При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу, причем во всех параллельных плоскостях движения тождественны. Будем рассматривать поэтому лишь движение в плоскости хОу. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к плоскости хОу, Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цилиндрического тела.
Все значения расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и т. д. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в заправлении оси Ог, которая на рисунках в дальнейшем опускается. Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом случае задача сводится к решению задачи об интегрировании при тех зля иных граничных условиях уравнения Лапласа, которое для плоскою случая имеет вид гл. п~ всзвихгсвьш движения идехльноп спады уровня функции (27) ф(х, у) =С, откуда следует выражение расхода сквозь конечную по поперечным размерам трубку (М,М) ()=~ ()=ф(М)-ф(М,). ме (28) Условимся в дальнейшем одну какую-нибудь линию тока произвольно рассматривать как нулевую, полагая, что вдоль нее ф(х, у) =О.
Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять такое условие, то значение константы в (27) на некоторой линии тока будет равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией, Сопоставим выражения (5) проекций скорости через потенциал скоростей, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств д<у д~р дх ' ду (29) и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ф; будем иметь соответствующих различным значениям С, представляет собой совокупность линий гока. Функция ф(х, у) в связи с этим называется функцией 1 тока.
Для выяснения кинематического смысла функции тока рассмот. рим в плоскости течения две бесконечно близкие линии тока: одну— проходящую через точку М„с соответг'. ~л "~4 ствующим значением функции тока фь вторую — через точку М, со значел, ннем функции тока ф=ф,+аф (рис. 53). Часть жидкости, находящаяся между о цилиндрическими поверхностями, перпендикулярными к плоскости рисунка и имелгг~ху~ ющими линии тока в качестве направляющих, образует элементарную трубку гока, которую будем ограничивать плос. костью рисунка и параллельной ей плоскостью, находящейся на расстоянии единицы длины от плоскости рисунка. В случае плоского движения указанный только что образ трубки тока представляется областью, заключенной между двумя линиями тока в плоскости движения жидкости. Это пояснение надо иметь а виду в дальнейшем.
Замечая (рис. 53), что элементарный секундный объемный расход жидкости аЯ через любое сечение трубки тока не зависит от формы этого сечения, выберем его в виде совокупности двух параллельных осям координат отрезков М,М, =ау и М,М,= — г(х. Тогда, как это непосред. ственно следует из рисунка, выражение для НЯ примет вид й~ = и йу — и йх = — йу + — Нх = Иф, д9 д~> ду дх $4э плОскОе БезвикпеВОе движение несжимдемои жидкОсти (бй следующую систему соотношений: д~р дф ду дф (30) дх ду ду дх Эти уравнения выражают известные условия Коши — Римана, при выполнении которых комплексная величина Х=7+(чч=сР(х У)+'"чч(х У) =Х(г) (31) будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функци.
еи одной комплексной переменной г=х+ (у '). Действительно, если величина Х есть функция только положения точки М с координатой г, то производная от йее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т. е. координаты г, а не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, производные ЕХ(ог и производные по направлениям действительной н мнимой осей должны быть равны между собой: дх дх дх (32) дз дх д (Еу) Замечая, что дх д(Ч + (ф) дю ,дф дх дх дх дх дХ . д(ф+ Гф) дф . дйз д ((у) ду ду ду а учитывая условия Коши — Римана (30), убеждаемся в справедливости соотношений (32).
Для дальнейшего полезно вспомнить, что У О СХ) функция комплексного ! переменного Х(г) одно- дг~ е'х, зиачно отображает точки а уг, зз плоскости комплексного о'гг переменного г=х+(у на плоскость комплексного переменного Х=ср+(зк д д При этом происходит отображение фигур: замкну- Рис. 94 тнх кривых и ограничиваемых ими частей плоскости г в соответствующие им фигуры или части плоскости Х. Такое отображение называют конформным. Далее будут приведены многие примеры таких конформных отображений. Основное свойство конформного преобразования (отображения), с которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно палых фигур: данной и преобразованной. Покажем это на примере бесконечно малого треугольника (рис. 54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
