Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отрезок прямой, соединяю- 4 щей некоторую точку перед- Рис. 62 / ней кромки с вершиной угла на задней кромке, называюг хордой крылового профиля жизи«есчал Вспоногллуел«»лл (выбор хорды может быть лл»глл»«п» весьма разнообразен), а длину хорды †длин профиля; максимальную толщину профиля в направлении, перпендикулярном к хорде, называют толщиной профиля, а отношение толщины к длине — относительной толщиной крылового профиля. Угол, образованный вектором скорости набегающего потока вдалеке от профиля (вектором скорости «на бесконечности») н направлением хорды, носит наименование угла атаки. Условясь в этой обычной терминологии, перейдем к постановке основной задачи обтекания крылоного профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости У, образующим с осью Ох угол О„.
Физическая плоскость х имеет заштрихованный на рис. 62 вырез, что делает ее двухсвязной; для определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию скорости Г по произвольному, охватывающему профиль контуру Си Будем считать первую, чисто геометрическую и самую трудную по существу задачу об отображении внешней по отношению к заштрихо- а БК РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 179 ванной на рис. 62 области С в физической плоскости на внешнюю по отношению к заштрихованному кругу С' область вспомогательной плоскости, уже разрешенной.
Пусть функция комплексного переменного г=1(г) представляет собой искомую преобразующую, или отображающую, функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отношению к ограниченной контуром С (на рис. 62 заштрихованной) области плоскости комплексного переменного г=х+ау на внешнюю по отношению к заштрихованному на том же рисунке кругу С* с радиусом а и центром в начале координат системы О* Ва) часть вспомогательной плоскости комплексного переменного ~=6+ап. Наложим на преобразующую функцию (54) дополнительные условия: 1) чтобы бесконечно удаленная точка а=со переходила при отображении в бесконечно удаленную точку й=со, и 2) чтобы направление скорости на бесконечности У при переходе из плоскости г в плоскость ~ сохранялось. Как доказывается в теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при выполнении этих условий преобразование (54) является единственным.
Пусть Х(г) — искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости, а Х' (Ь) — комплексный потенциал течения во вспомогательной плоскости, т. е. определенный в,предыдущем параграфе комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра. Согласно (53) в настоящем случае будет Уаа Г, Х.К) =У'1+ — -+ — '1.1, (55) 2ш где У„и Г' — скорость на бесконечности и циркуляция скорости по произвольному контуру С,, охватывающему С* во вспомогательной плоскости ~. Пользуясь связью (54) между г и ~„заключим, что (Х=ар+аф— инвариант) Х (е) =ХУ(Ю) )=Х* Й) Взяв производную по ~ от обеих частей этого равенства, получим лх' ~х иг лх — = — — = — Р'(О, а!ь а!а а1ь Иг иля по (38) У'=17'(ь), (56) а в бесконечно удаленных точках У' =ла„У„, ла„=~'(~).
(57) У'„= т„У„; будем считать для определенности па„положительной величиной. Преобразующая функция (54) может быть выражена рядом Лорана в=у(ь)=я!, ь+ Я— сходящимся во всей внешней по отношению к кругу С* области (~~)а. (58) По принятому ранее условию направление вектора скорости на бесконечности У при коиформном отображении сохраняется, т. е. векторы У и У параллельны. Отсюда следует параллельность сопряженных векторов У и У, а из (57) заключим о действительности величины т„, так что 180 ГЛ. Ч!!. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЪИОЙ СРЕДЫ Коэффициенты главной части этого ряда, представленной суммой членов с отрицательными степенями ~, могут быть определены при помощи контурных интегралов (а=О, 1, 2,...) 2п! з с' 1 вычисленных по окружности С" или по любей другой окружности, содержащей внутри себя С'.
Преобразующая функция может быть также выражена при помощи интеграла Коши г=7(~) = — у— г 7(Г)л~ 2ти с' ! где ~' — комплексная переменная интегрирования. Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Представив ее, согласно первой из формул (41), как действительную часть интегралов (60) Г*=Гхе$ У'й~ = Йе $ У вЂ” !(~=Гхе~ У!(г= Г, с с' с, 1 1 заключим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, ох- ватываю!цену обтекаемый профиль, при конформном отображении со- храняет свое значение. а! а! Рис 63 Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные величины У и Г* через заданные величины У, Г и коэффициент и„, определяемый, согласно (57), по известной преобразующей функции Щ).
Следовательно, будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала т в плоскости течения в виде параметрической зависимости от параметра Г У.(г)=х'(~)=т (У ~+ — ~+ — 1п~, г=)(Д. (61) 2п! Таким образом, если известно решение геометрической задачи о конформном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру С области физической плоскости г на внешнюю по отношению к кругу С* произвольного радиуса а область вспомогательной плоскости ~, то решение гидродинамической задачи об определении комплексного потенциала т(г) уже не составит труда. Из системы равенств (61) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от произвольного выбора величины циркуляции Г.
С точки зрения теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности, налагая ту или дру- 4 51 РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ гую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекаяия кругового цилиндра с различным расположением критических точек.
Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой точкой на задней кромке и при той же по величине и направлению скорости на бесконечности теоретически возможны три указанных на рис. 63 типа обтекания, Буквами А и В отмечены критические точки обтекания. В случае а), так же как и в случае в), жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в случае в) и с нижней на верхнюю в случае а). При этом на острой кромке либо должны образовываться бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозможным, х ® О» бесконечно большим отрицательным давлениям, либо должны происходить срывы потока с поверхности профиля и вихреобразование, Сре- С С В" ди трех указанных возможных форм В обтекания только одна форма б) с г В задней критической точкой В, совпадающей с угловой точкой на зад- Рис.
64 ией кромке профиля, приводит к плавному стеканию струй жидкости с задней кромки крыла с конечной скоростью. По свидетельству современников в конце 1909 г. С. А. Чаплыгин в дискуссии по докладу Н. Е. Жуковского выдвинул в качестве обобщения известного опытного факта следующий постулат: среди бесконечного числа теоретически возможных обтеканий профиля с угловой точкой на задней кромке в действительности осуществляется плавное обтекание с конечной скоростью в этой точке, Приоритет С. А.
Чаплыгина, давшего общую трактовку этого постулата, оспаривается в связи с использованием подобного постулата в более ранних работах Н. Е. Жуковского по крыловым профилям частной формы. Сохраним общепринятое в отечественной и зарубежной литературе наименование «постулат Жуковского — Чаплыгина». Опыт показывает, что для каждого крылового профиля существует диапазон углов атаки, в котором профиль обтекается без отрыва жидкости от его поверхности с плавным сходом с задней кромки. Крыловые профили, отвечающие постулату Жуковского — Чаплыгина, обычно называют хорошо обтекаемыми, остальные — плохо обтекаемыми. Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свойство профилей.
В дальнейшем будет показано, что обтекаемость зависит не только от формы профиля, но и от скорости потока, от угла атаки, от физических свойств жидкости, присутствия вблизи профиля других тел и др. Постулат Жуковского — Чаплыгина позволяет однозначно определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к безотрывиой форме обтекания крылоного профиля с конечной скоростью на задней его кромке. Пусть угловой точке В (рис. 64) на профиле С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С*. Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в ннх нарушается основное свойство конформиого преобразования — сохранение углов между касательными к преобразуемым контурам. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней кромке, равный 2п — б, где б — внутренний острый угол на задней кромке, переходит в плоскости» в не равный ему угол 55 с вершиной в точке В«.
Гл. чн. БезвихРевые движения идеАльнои сРеды 182 Рассмотрим конформное отображение внешней по отношению к профилю С малой области вблизи вершины угла В на малую„внешнюю по отношению к кругу С* область вблизи точки В* в плоскости ь. Это конформное отображение можно представить формулой 2л-А е — ев = М С вЂ” ьв') (62) где е, и ~,и — комплексные координаты соответствующих друг другу точек В и В» в плоскостях г и ь, а М вЂ” некоторое действительное число. В самом деле, положив вблизи точек В и В' г — г,=ге', ~ — ~,. =г'е"' и подставив эти выражения в (62), найдем -А ел-А — с — а ген= Мг' " е Приравнивая аргументы, получим р" +- 2чп и убедимся, что изменению р* на и соответствует изменение р на 2п — б. Пользуясь преобразующей функцией (54), можем установить связь между скоростями в точках В и В*; получим Ув =( — ) =Я ( — „) =Ув( — ) или, вычисляя производную по (62), л- А — — 2л — 8 л 1в = Ув М(ь — 1в к=св.. По постулату Жуковского — Чаплыгина скорость У, должна быть конечна, последний же сомножитель, поскольку б(п, равен нулю; следовательно, все произведение равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
